Équations modulaires

Étant donné un entierN ¾ 2, on cherche à relierj(τ)etj⁰(τ) = j(Nτ) pourτ∈H. Il est facile de vérifier quej⁰est invariante par le groupe

Γ0(N) =

qui est même le stabilisateur dej⁰.

D’autre part j⁰ est méromorphe aux pointes deΓ0(N). En effet, par pourk assez grand. L’extensionK(Γ0(N))/C(j)étant finie, cela implique l’existence d’une relation algébrique entrej etj⁰. Pour exhiber une telle

relation, considérons les transformés dej⁰par les éléments deΓ(1),

avec∆N égal à l’ensemble des matrices entières de déterminantN. On vérifie facilement que le stabilisateur du pointp_N dansΓ(1)estΓ0(N)et l’orbiteON s’identifie donc au quotientΓ0(N)\Γ(1). SoitdN l’indice de Γ0(N)dansΓ(1)et soitαk ∈∆N (k =1, . . .dN) un système de représen-tants de l’orbiteON. Alors les coefficients du polynômeQ_dN

k=1(X−j◦αk) sont invariants parΓ(1), holomorphes surHet (par le même argument que plus haut) méromorphes à la pointe ∞. On trouve donc un poly-nômeΦN ∈C[X,Y]de degrédN enXtel que

ΦN(j⁰,j) =0. (V.12) Il s’agit del’équation modulaireassociée aux transformations d’ordreN. Le stabilisateur de j ◦αk est un conjugué de Γ0(N) (stabilisateur de j⁰), donc le sous-groupe qui fixe tous les j ◦αk coïncide avec Γ(N) = T

γ∈Γ(1)γΓ0(N)γ⁻¹. Par suite, le corps de décomposition de ΦN ∈ C[j][X] est K(Γ(N)). De plus Γ(1) agit par automorphismes de K(Γ(N))en permutant transitivement les racines de ce polynôme qui est donc irréductible, en particulierK(Γ0(N)) =C(j,j⁰)(voir aussi[Shi1971, p. 34]). QuandN =p est premier, on voit facilement que les matrices

€_1k

0p

Š (0 ¶ k < p) et €_{p 0}

0 1

Š forment un système de représentants de Op = Γ(1)\∆p; l’indice deΓ0(p)vaut doncdp=p+1.

Un calcul élémentaire montre queΓ0(N)est normalisé par la matrice

‚ 0 N^−1/2

−N^1/2 0

Œ

(V.13) qui induit un automorphisme involutif de la surfaceX₀(N) =X_Γ0(N)et de son corps de fonctions : c’estl’involution de Frickequi échange j et j⁰ (on peut en déduire queΦN ∈C[X,Y]est symétrique). En s’appuyant sur cette symétrie, Klein étudie l’équation modulaire quandN =2, 3, 4, 5, 7 et 13[Kle1878b, section II]. Pour ces valeurs deN la surfaceX0(N)est de genre 0 et il existeξ∈K(Γ0(N))tel queK(Γ0(N)) =C(j,j⁰) =C(ξ); on a alorsj=F(ξ)etj⁰=F(ξ⁰)avecF∈C(Z), la fonctionξ⁰étant liée àξpar une homographie (l’involution de Fricke). Dans chaque cas, Klein décrit

un domaine fondamental pour l’action deΓ0(N)sur le demi-plan⁽⁷⁾puis il déduit des données de ramification l’expression deFet donne la rela-tion entreξ(connu par ailleurs en fonction deq) etξ⁰. Remarquons que pourN ∈ {2, 3, 4, 5}, la surfaceX(N)est également de genre 0, les groupes d’automorphismes correspondants (qui laissent l’ensemble des pointes globalement fixé) sont un groupe diédral, le groupe du tétraèdreA4, le groupe du cube et de l’octaèdreS4et le groupe du dodécaèdre et de l’ico-saèdreA₅.

V.1.4. SurfaceX0(7)

Nous explicitons maintenant le casN=7. Il s’agit d’abord de déterminer un domaine fondamental pour l’action du groupeΓ0(7). Pourγ=€_{a b}

c d

Š dans SL(2,R), on a la formule bien connue

Imγ(z) = Imz

|c z+d|² (z∈H). (V.14) Comme il n’existe qu’un nombre fini de couples(c,d)∈Z² tels que le module|c z+d|soit inférieur à une constante donnée, on voit que toute orbite deΓ0(7)surHcontient un pointz ∈Hdont la partie imaginaire est maximale, c’est-à-dire tel que|c z+d|¾1 pour toutγ=€_{a b}

c d

Š∈Γ0(7).

Toute orbite deΓ0(7)rencontre donc l’ensemble D⁰= \

d∈7Z/

{|z+d/7|¾1/7} ∩ {|Rez|¶1/2}. L’inégalité|Rez|¶1/2 se déduit du fait que la translation

t :τ7→τ+1

est un élément deΓ0(7). Grâce aux rotationsr1=€₂₋₁

7−3

Šetr2=€₋₂₋₁

7 3

Š, l’ensemble D⁰ se ramène au domaine fondamentalD de la figure V.2.

Celui-ci est pavé par huit translatés deD(1)parΓ(1)et l’imageΓ0(7)de Γ0(7)dans PSL(2,Z)est un sous-groupe d’indice 8, doncDetD⁰sont des domaines fondamentaux pourΓ0(7). On voit enfin (fig. V.2) queX₀(7)est de genre 0 avec 2 pointes (0 et∞) et queΓ0(7)est engendré parr1,r2et la translationt qui réalisent les identifications permettant d’obtenirX₀(7).

7. Il utilise en fait les€_{a b}

c d

Š∈SL(2,Z)avecb≡0(modN), ce qui revient au même.

0 1/2

!1/2 r₂ r

t

1

FIGUREV.2. Domaine fondamental pourΓ0(7)

Proposition V.1.3. — L’expression ξ=

∆(τ)

∆(7τ) 1/6

= 1 q

Y∞

n=1

1−qⁿ 1−q⁷ⁿ

4

(V.15) fournit une coordonnée rationnelle sur X₀(7).

Démonstration. — La deuxième égalité est une conséquence de l’égalité (voir[Ser1970]) :

∆ = (2π)¹²q Y∞

n=1

1−qⁿ24

.

On vérifie ensuite comme pourj(7τ)que∆(7τ)est modulaire pour Γ0(7), doncξ⁶∈M(Γ0(7)). Par suite on aξ◦γ=χ(γ)ξpour toutγ∈Γ0(7), oùχest un caractère du groupeΓ0(7)à valeurs dans les racines sixièmes de l’unité. MaisΓ0(7)est engendré part,r₁etr₂. On aξ◦t =ξ(car ξ s’exprime uniquement avec des puissances entières deq) et on aχ(r1) = χ(r2) =1 car ces rotations ont un point fixe dansH: le caractèreχ est donc trivial. Enfin, comme∆est holomorphe et ne s’annule pas dansH (voir § V.1.2),ξne peut prendre les valeurs 0 et∞qu’aux pointes. Vu que X₀(7)n’a que deux pointes, la fonctionξest nécessairement de degré 1.

En particulier le sous-groupe deΓ(1)laissantξinvariante estΓ0(7).

V.1.5. L’invariant modulaire comme fonction surX0(7)

Nous pouvons maintenant déterminerjcomme fonction deξen suivant la méthode utilisée par Klein dans[Kle1878b, II §14]. On obtient :

Proposition V.1.4. — j= 1

ξ⁷(ξ²+13ξ+49)(ξ²+245ξ+2401)³.

Démonstration. — Posons j = ϕ(ξ)/ψ(ξ), fraction rationnelle de de-gré 8 en ξ. L’équation j = ∞a une racine simple enξ = ∞ – corres-pondant àq = 0 – et une racine d’ordre 7 enξ = 0 (voir éq. (V.15) et fig. V.2) ; on peut donc prendreψ(ξ) =ξ⁷. De même,ϕa 2 racines triples et 2 simples etϕ−1728ψa 4 racines doubles (éq. (V.10) et fig. V.2). De plusψest un polynôme unitaire carj(q)admet un pôle simple de résidu 1 enq =0. Les conditions énoncées suffisent à déterminerϕ de façon unique. En effet posons ϕ = U V³ etϕ−1728ψ = W² oùU, V etW sont des polynômes unitaires de degrés respectifs 2, 2 et 4 ; de plusU, V,W etξsont 2 à 2 premiers entre eux. Le « déterminant fonctionnel » ϕ⁰ψ−ψ⁰ϕest alors un polynôme unitaire de degré 14 divisible à la fois parξ⁶V²etW, doncϕ⁰ψ−ψ⁰ϕ=ξ⁶V²W. Cette relation donneW en fonction des coefficients deU etV; le report dansU V³−1728ξ⁷=W² conduit à l’expression dejannoncée.

L’involution de Fricke transformeξenξ⁰(τ) =ξ(−1/(7τ)). Elle induit un automorphisme involutifσde la surfaceX0(7), doncξ⁰est une fonc-tion homographique involutive deξ. On aj=F(ξ)etj⁰=F(ξ⁰). Les deux pointes deX₀(7)constituent la fibre commune de j et j⁰ au-dessus de l’infini et sont échangées parσ, d’oùξξ⁰=C. De mêmeσéchange les racines simples deF=0 (images des centres der1etr2, voir fig. V.2, reliés parz₁z₂=−1/7), lesquelles vérifientj =j⁰=0 :ξ²+13ξ+49=0 doit im-pliquerξ⁰²+13ξ⁰+49=0, d’oùC=49. Finalement l’involution de Fricke est donnée par

ξξ⁰=49. (V.16)

D’après (V.1.4), on a aussi j = (ξ⁰²+13ξ⁰+49)(ξ⁰²+5ξ⁰+1)³/ξ⁰. C’est l’expression obtenue par Klein dans[Kle1878b]pourJ =j/1728.

Pour la suite, il est important de décrire la fibre de j :X0(7)→CP¹ qui est un intermédiaire essentiel dans le paramétrage deC4. Écrivons comme plus haut J en fonction deξ⁰, c’est-à-dire J⁰ en fonction deξ, soit encore

J⁰−1= 1

12³ξ(ξ⁴+14ξ³+63ξ²+70ξ−7)². (V.17)

Aux points−1/7τet(τ+k)/7 (k =0, . . . , 6), la fonctionJ⁰prend la même permuta-tion s’explicite facilement à partir de (V.15).

Posons maintenant q^1/2 = e^iπτ, ∆^1/2 = (2π)⁶q^1/2Q_∞

n=1(1−qⁿ)¹². Comme J −1 = 27g₃²/∆ (voir équation (V.9)), les racines carrées des solutions de (V.18) sont au signe près solutions de

w⁸+14w⁶+63w⁴+70w²−6³g3w/∆^1/2−7=0. (V.19) Elles s’expriment à l’aide de±ξ^1/2,ξ^1/2=q^−1/2Q_∞

n=1(1−qⁿ)²(1−q⁷ⁿ)⁻². Le signe est déterminé par le comportement du premier membre de (V.19) quandq tend vers 0. Sachant que lim_q→0(g₃) =280ζ(6)[Ser1970,

V.2. Comment Klein paramètre sa quartique