Intégrales abéliennes

Rappelons que notre objectif est de construire des fonctions méro-morphes sur une surface. Riemann les cherche comme primitives de formes méromorphes.

Nous avons vu comment associer une surface de RiemannT à une fonction algébrique.

Un pareil système de fonctions algébriques à mêmes ramifications et d’inté-grales de ces fonctions fera d’abord l’objet de notre étude.

Autrement dit, une fois construite la surfaceT, on étudie l’espace des fonctions méromorphes sur T (qui ont donc les mêmes ramifications que l’équation qui a permis de construireT) et leurs primitives.

Voici le titre choisi par Riemann pour présenter sa vision de la construction des fonctions :

Détermination d’une fonction d’une grandeur variable complexe par les conditions qu’elle remplit relativement au contour et aux discontinuités.

Les fonctions doivent être déterminées par leurs valeurs au bord et par leur comportement au voisinage des discontinuités. L’holomorphie de la fonction recherchée fait que toute autre donnée serait superflue.

Et c’est à nouveau le « principe de Dirichlet » qui permet de construire des fonctions à partir d’un « système de conditions indépendantes entre elles ».

Voici le théorème sur lequel Riemann base toute sa théorie des fonctions d’une variable complexe, théorème déjà présent dans sa thèse[Rie1851]:

Lorsque sur une surface connexeT, décomposée par des sections trans-verses en une surfaceT⁰simplement connexe, l’on donne une fonction com-plexeα+βidex,y, pour laquelle l’intégrale

étendue à toute la surface, possède une valeur finie, cette fonction peut tou-jours, et cela d’une manière unique, être transformée en une fonction de x+y ipar la soustraction d’une fonctionµ+νidex,y, qui satisfait aux condi-tions suivantes :

1. Sur le contourµ= 0, ou du moins diffère de zéro seulement en des points isolés ; en un point,νest donnée d’une manière arbitraire ;

2. Les variations deµsurT, celles deνsurT⁰ne sont discontinues qu’en des points isolés, et cela seulement de telle sorte que les intégrales

Z –∂ µ

relatives à toute la surface, restent finies ; de plus les variations deνle long d’une section transverse sont égales sur les deux bords.

En termes intrinsèques modernes, les pas de la preuve esquissée par Riemann sont expliqués par Ahlfors dans[Ahl1953]. Ils utilisent de l’analyse harmonique sur laquelle nous reviendrons dans la section III.1.

Expliquons brièvement l’énoncé ci-dessus.

Pour faciliter l’explication du texte de Riemann, nous avons choisi de noter par la minuscule latine correspondantea,b,m,nles différentielles (fermées mais pas exactes) des fonctions discontinuesα,β,µ,νutilisées par Riemann.

Si T est une surface de Riemann (éventuellement à bord), son fibré tangent réel est muni d’un opérateur J de carré−1 : la multiplication pari. Sia est une forme différentielle réelle de degré 1 surT, sa différen-tielle conjuguée est définie par∗a =−a◦J. On dit qu’une forme est co-ferméesi sa conjuguée est fermée. Désignons aussi parD[a] =R

Ta∧ ∗a la norme (aussi appeléeénergie de Dirichlet) dea. On voit alors que les trois intégrales de l’énoncé de Riemann sontD[a+∗b],D[m],D[n].

Étant donnée une forme différentielle réelle fermée a sur T ayant des périodes, des singularités (isolées) et des valeurs au bord fixées, on suppose qu’il existe une forme différentielle ferméeb telle que l’énergie

D[a +∗b] est finie. On choisit alors une forme exacte m, dont la res-triction au bord s’annule, et telle que sa distance en norme àa +∗b est minimale.

On rencontre ici des difficultés pour démontrer l’existence de cette formem, analogues à celles que nous avons déjà rencontrées dans la sec-tion II.2.1 lors de la preuve par minimisasec-tion du principe de Dirichlet. Ici aussi, il faut pour contourner ces difficultés travailler dans de meilleurs espaces fonctionnels inaccessibles à Riemann.

L’existence de m est équivalente à l’existence d’une décomposition orthogonale a+∗b = m+∗n, avecm exacte et n fermée, de laquelle il s’ensuit quea −m = ∗n− ∗b est à la fois fermée et co-fermée, donc harmonique.

S’ensuit le théorème d’existence : il existe une forme différentielle har-moniquea−mayant des valeurs au bord, des périodes et des singularités fixées (celles dea). Siu:=a−metv:=b−n, alorsu+i v est une forme holomorphe dont les intégrales sont les « fonctions dex+y i» surT de l’énoncé de Riemann.

Riemann utilise ce théorème d’existence de formes harmoniques pour construire des formes méromorphes. Il part d’une surface de Riemann ferméeT. Il se donne un nombre fini de pointsP₁, ...,P_m surT, et des parties principalesde la forme :

(Aiz⁻¹_i +Biz⁻²_i +Ciz⁻³_i +· · ·)d zi (II.7) (sommes finies) au voisinage de chacun des pointsPi, en termes de para-mètres locauxzi. De plus, il fixe 2gcoupures rendant la surface simple-ment connexe, et ne passant pas par les pointsPi. Il établit alors le théo-rème d’existence qui s’écrit en langage moderne de la façon suivante : Théorème II.2.5(Existence de1-formes méromorphes)

On suppose que la somme des résidus A_i est nulle. Alors, pour chaque système de2g nombres réels, il existe une unique forme méromorphe sur T qui possède des pôles uniquement aux points P_i avec les parties princi-pales données et dont les périodes évaluées sur les2g coupures ont comme parties réelles les2g nombres donnés.

L’importance de ce théorème sera reconnue bien avant qu’une preuve parfaitement rigoureuse soit disponible. Il influença les successeurs de Riemann, au premier rang desquels Hermann Schwarz et Felix Klein,

dont il sera question dans le prochain chapitre. On pourra consul-ter [Coh1967] pour une preuve moderne dans l’esprit de Riemann et nous en donnerons une autre dans la sous-section III.2.1, inspirée de[Spr1957].

Certaines des formes ainsi construites joueront un rôle particulier ; ce sont les formes dites de première, deuxième et troisième espèce. Une forme est dite de nos joursde première espècesi elle est holomorphe, elle estde deuxième espècesi elle est méromorphe ayant tous ses résidus nuls, et enfin elle estde troisième espèce si elle est méromorphe et n’admet que des pôles simples. Les formes de deuxième espèce les plus simples sont celles qui n’ont qu’un pôleP surT : leurs primitives multiformes sont ce que Riemann appelle intégrales de deuxième espèce, notées t_P. Les formes de troisième espèce les plus simples sont celles qui n’ont que deux pôles simplesP1,P2: leurs primitives sont ce que Riemann appelle intégrales de troisième espèce$P1,P2. Ce vocabulaire lui a été inspiré par celui utilisé par Legendre dans sa classification des intégrales elliptiques.

Riemann montre d’abord à l’aide du théorème II.2.5 que l’espace vectoriel complexe des intégrales de première espèce est de dimension g +1 (1 de plus que l’espace des formes holomorphes, à cause de la constante d’intégration). Ceci fournit une interprétation analytique du genre g, introduit d’abord topologiquement. Il montre aussi qu’une telle intégrale est uniquement déterminée, à l’addition d’une constante près, par les parties réelles des modules de périodicité par rapport à un système de sections transverses rendant la surface T simplement connexe.

De la même manière, une intégrale de troisième espèce est détermi-née de manière unique à une constante près par la dondétermi-née de ses pôles, des résidus de sa différentielle en ces pôles et par les parties réelles de ses modules de périodicité par rapport à des sections transverses ne passant pas par les pôles.

Existence de1-formes méromorphes sur les courbes algébriques. — Il a fallu attendre le début du vingtième siècle pour que soit rendu rigou-reux le principe de Dirichlet et la « preuve » imaginée par Riemann de l’existence de 1-formes méromorphes à pôles prescrits sur les surfaces qui portent son nom. Il s’agit cependant ici de 1-formes méromorphes sur des surfaces de Riemann abstraites. En effet, à la suite des travaux d’Abel et Jacobi, les mathématiciens du dix-neuvième siècle savaient

construire explicitement des 1-formes méromorphes (ou plutôt leurs intégrales multiformes : les intégrales abéliennes) sur les surfaces de Riemann définies comme courbes algébriques ; nous allons expliquer comment ils faisaient.

Partons d’une surface de Riemann T compacte. D’après le théo-rème II.1.3, T s’immerge dans CP² comme une courbe algébrique C dont tous les points singuliers sont doubles à tangentes distinctes. Pour un choix convenable de carte affine, la courbeCest transverse à la droite à l’infini et, au voisinage de chaque point double, la première projection x:C→CP¹est une coordonnée sur chaque branche.

Commençons par construire des 1-formes holomorphes sur T. Notons E l’espace vectoriel des polynômes P ∈ C[x,y] de degré au plusd−3 et qui s’annulent en chaque point double deC. Soit P ∈E. NotonsωPle relevé àT de la différentielle abélienne

P(x,y)d x

F_y⁰ (II.8)

oùF_y⁰=^∂_∂^F_y.

Proposition II.2.6. — 1. Pour tout polynôme P de E , la formeωPest holomorphe sur T .

2. L’application P 7→ωP de E vers l’espace Ω¹(T)des1-formes holo-morphes sur T est linéaire et injective.

3. La dimension de E est supérieure ou égale à g , le genre de T . Démonstration. — 1. L’expression (II.8) définit a priori une 1-forme holomorphe surC privée :

– des points où la première projectionx : C →CP¹ ne définit pas une coordonnée holomorphe locale, c’est-à-dire des points d’inter-section deC avec la droite à l’infini, et des points de ramifications dex:C→CP¹;

– des points où F_y⁰ s’annule, c’est-à-dire des points doubles deC et des points de ramifications dex:C→CP¹;

– des points oùP(x,y)devient infini, c’est-à-dire des points d’inter-section deC avec la droite à l’infini.

FIGUREII.4. Une base symplectique de l’homologie

En fait, la 1-forme définie par l’expression (II.8) se prolonge de manière holomorphe aux points de ramification dex:C→CP¹. En effet, en utili-sant l’égalitéF_x⁰d x+F_y⁰d y =0, on voit que l’égalité (II.8) peut se réécrire

ω=−P(x,y) F_x⁰ d y

(là où cela a un sens) ; cette expression définit une 1-forme holomorphe au voisinage de tout point de ramification dex. En chaque point double deC, le polynômeF_y⁰a un zéro d’ordre 1 et le polynômeP(x,y)s’annule, le relevé de la 1-forme définie par l’expression (II.8) se prolonge donc en une forme holomorphe au-dessus des points doubles deT. Enfin, en se plaçant dans les variablesX= ¹_x etY =_y¹, on voit que la 1-forme définie par (II.8) se prolonge de manière holomorphe aux points d’intersection deC avec la droite à l’infini puisque le polynômeP est de degré infé-rieur ou égal àd−3 (on utilise ici le fait queCest transverse à la droite à l’infini).

2. Le point 2 est immédiat.

3. Comptons les dimensions. Les polynômes en les variablesx,y de degré au plusd−3 forment un espace vectoriel de dimension^(d−1)(d₂ ⁻²⁾. Pour s’annuler en chacun desr points doubles deC, un polynôme doit vérifierr équations linéaires. La dimension de l’espaceE est donc supé-rieure ou égale à

(d−2)(d−1)

2 −r

qui est égal au genre deT d’après (II.3).

Nous allons maintenant voir que la dimension deE est en fait égale à g. Comme Riemann, fixons maintenant 2g coupures rendant la sur-face T simplement connexe. Ces coupures correspondent à des lacets

surT. En termes plus modernes considérons le produit d’intersection H1(T,Z)×H1(T,Z)→Z.

Ce produit est bilinéaire et antisymétrique, c’est même une forme symplectique. De plus H₁(T,Z) possède des bases qui sont symplec-tiques relativement au produit d’intersection, c’est-à-dire des bases (a₁, . . . ,ag,b₁, . . . ,bg)telles que pouri,j=1, . . . ,g :

ai·aj =0, bi·bj =0, ai·bj =δi j

(voir figure II.4). Il correspond à toute base symplectique un découpage deTen un polygone à 4gcôtés. Riemann montre alors – à l’aide du théo-rème de Stokes – que pour toute base symplectique(a1, . . . ,ag,b1, . . . ,bg)

Il découle de (II.9) que l’application linéaire

Ψ :

est injective. Une 1-forme holomorpheωnon nulle vérifie en effet i

Z

T

ω∧ω >0.

C’est la démonstration que donne Riemann dans le paragraphe XX de[Rie1857]; c’est aussi la première moitié de la démonstration des rela-tions bilinéaires de Riemann, voir[Bos1992]pour plus de détails. Plutôt que de considérer l’applicationΨon aurait pu considérer l’application linéaire

De la même manière cette application est encore injective. On retrouve ainsi l’unicité dans le théorème II.2.5. Pour ce qui est des formes holo-morphes, la partie existence – problématique chez Riemann – peut être remplacée par la proposition II.2.6. L’application linéaire Ψ est

alors un isomorphisme et on obtient le théorème II.2.5 pour les formes holomorphes.

Proposition II.2.7. — Pour tout g -uplet n = (n1, . . . ,ng) de nombres complexes, il existe une unique 1-forme holomorphe ωn sur S dont l’intégrale le long du lacetαi est égale à ni pour i=1, . . . ,g .

Notons de plus que la1-formeωndépend de manière linéaire (donc, en particulier, holomorphe) du g -upletn= (n₁, . . . ,n_g).

Dans la suite nous allons construire des formesméromorphes. Fixons doncα1, . . . ,αg des lacets représentant les classesa₁, . . . ,a_g et notonsA leur réunion. Vérifions le théorème II.2.5 pour les formes de seconde et troisième espèce.

Intéressons-nous d’abord aux 1-formes méromorphes n’ayant que des pôles simples. Une telle forme peut toujours s’écrire comme combi-naison linéaire de 1-formes méromorphes ayant chacune exactement deux pôles simples de résidus respectifs +1 et −1. Par ailleurs, quitte à soustraire des 1-formes holomorphes, la proposition II.2.7 autorise à ne considérer que des 1-formes dont les intégrales le long des lacets α1, . . . ,αg sont nulles. On est donc ramené à montrer le résultat suivant : Proposition II.2.8. — Étant donnés deux points distincts p,q ∈ T \A, il existe une unique 1-forme méromorphe ωp,q sur T , ayant des pôles simples en p et q de résidus respectifs+1et−1, n’ayant pas d’autre pôle, et dont l’intégrale le long de chacun des lacetsα1, . . . ,αg est nulle.

Démonstration. — On considère l’espace vectoriel Ωp,q des 1-formes méromorphes sur T ayant éventuellement des pôles simples en p et enq, et aucun autre pôle. On noteΘ:Ωp,q→C^g+1l’application linéaire qui à un élément de Ωp,q associe son intégrale le long de chacun des lacetsα1, . . . ,αg, et son résidu enp (le résidu enqest l’opposé du résidu enp). Montrer la proposition équivaut à montrer queΘest bijective. On sait qu’elle est injective : en effet, deux éléments de son noyau diffèrent d’une 1-forme holomorphe dont l’intégrale le long de chacun des lacets α1, . . . ,αg est nulle. Il suffit donc de prouver que la dimension de l’espace vectorielΩp,q est au moins égale àg+1.

La démonstration est similaire à celle de la proposition II.2.6. On construit les formes cherchées sur la courbe C. On peut supposer que les projetés de p etq dansC ne sont pas des points singuliers et

n’appartiennent pas à la droite à l’infini ; nous continuons à les noterp etq.

SoitD la droite deCP²qui passe parpetq. On choisit une équation (a x+b y+c=0)deDet on cherche des éléments deΩp,qqui s’écrivent

ω= P(x,y)

(a x+b y +c)F_y⁰d x, (II.11) où P(x,y) est un polynôme. La droite D intersecte la courbe C en d points, comptés avec multiplicités ; pour simplifier on va supposer que ces points sont deux à deux distincts et ne sont pas situés sur la droite à l’infini. La formule (II.11) définita prioriune 1-forme holomorphe sur la courbeC privée des points de ramification dex:C→CP¹, des points d’intersection deC avec la droite à l’infini, des points doubles deC et des points d’intersection deC avec la droiteD. Le même raisonnement que dans la preuve de la proposition II.2.6 montre que la formule (II.11) se relève en un élément deΩp,qsi et seulement si :

– le polynômePa un degré inférieur ou égal àd−2 ; – le polynômePs’annule en chaque point double deC;

– le polynômeP s’annule en chacun desd −2 points d’intersection deCavecDdistincts depet deq.

Les polynômes en les variablesx,y de degré au plusd−2 forment un espace vectoriel de dimension ^d(d₂⁻¹⁾. Pour s’annuler en chacun des r points doubles deC et en chacun desd −2 points deC∩D distincts depetq, un polynôme doit satisfairer+ (d−2)équations linéaires. La dimension de l’espaceΩp,qest donc supérieure ou égale à

d(d−1)

2 −r−(d−2) =(d−1)(d−2)

2 −r+1

qui est égal àg+1 d’après (II.3).

Un décompte de dimensions similaire (mais plus fastidieux à explici-ter) donne le même résultat dans le cas oùD a des points d’intersection multiples avecC.

La 1-formeωp,qdonnée par la proposition II.2.8 « dépend de manière holomorphe des pointsp,q». Pour donner un sens précis à cette affirma-tion, choisissons un ouvertU ⊂T sur lequel la coordonnéex est injec-tive. Sur l’ouvertUla formeωp,q peut s’écrire :

ωp,q(r) =

‚ 1

xr −xp − 1

xr−xq +G_p^x_,q(r)

Πd xr,

oùx_p,x_q,x_r désignent les valeurs de la coordonnéex aux pointsp,q r. Quel que soit le couple de points distincts(p,q)∈(U\A)², la fonction r7→G_p,q^x (r)est alors holomorphe surU. En fait :

Proposition II.2.9. — La fonction(p,q,r)7→Gp,q(r)est holomorphe en ses trois variables sur

(p,q,r)∈(U\A)×(U\A)×U tels que p6=q . De plus, elle se prolonge de manière holomorphe sur la diagonale p=q . Démonstration. — Reprenons la construction de la 1-formeωp,q dans la preuve de la proposition II.2.8. La 1-formeωp,q s’écrit dans la coor-donnéex

ωp,q= Pp,q(x,y) (a x+b y+c)F_y⁰d x,

où(a x+b y+c=0)est une équation de la droite passant par les points p,q etP_p,q(x,y)est un polynôme de degré au plusd−2. Ce polynôme satisfait un système d’équations affines : d(d−3)/2−(g−1) + (d −2) équations linéaires pour queωp,q appartienne à l’espace Ωp,q, puis g équations linéaires pour que l’intégrale deωp,q le long de chacun des lacets α1, . . . ,αg soit nulle, et enfin une condition affine pour que le résidu deωp,qenpsoit égal à 1. Les coefficients de ces équations affines dépendent de manière holomorphe depetq. L’unicité du polynômePp,q

montre que le système qu’elles forment est de rang maximal. Par consé-quent, le polynôme P_p,q dépend de manière holomorphe des pointsp etq. La première affirmation de l’énoncé en découle immédiatement.

Montrons maintenant que la fonction(p,q,r)7→Gp,q(r)se prolonge de manière holomorphe sur la diagonalep=q. Pourp,q,t ∈U\Adeux à deux distincts, l’unicité dans la proposition II.2.8 implique que l’on a

ωp,q=ωp,t+ωt,q et G_p,q(r) =G_p,t(r) +G_t,q(r).

La quantitéGp,t(r)+Gt,q(r)se prolonge de manière holomorphe lorsque les pointsp etq se confondent en un même point (pourvu quet soit différent de ce point) ; il en est donc de même deG_p,q(r).

Le même genre d’arguments que ci-dessus permet de construire des 1-formes méromorphes avec des pôles d’ordres supérieurs ou égaux à 2.

Sans chercher à être exhaustif, donnons un résultat typique :

Proposition II.2.10. — Étant donné un point p ∈ T \A, il existe une unique1-forme méromorphe sur T ayant un pôle d’ordre2en p de partie

principale _(x−x¹

p)², n’ayant aucun autre pôle, et dont l’intégrale le long de chacun des lacetsα1, . . . ,αg est nulle.

Démonstration. — Il suffit de reprendre la preuve de la proposi-tion II.2.8, à ceci près que la droite D est maintenant la tangente à la courbeC au pointp.

Remarque II.2.11. — Dans les énoncés des propositions II.2.7, II.2.8 et II.2.10, on peut – comme dans l’énoncé du théorème II.2.5 – remplacer la condition « dont l’intégrale le long de chacun des lacetsα1, . . . ,αg est nulle » par la condition « dont l’intégrale le long de chacun des lacets α1, . . . ,αg,β1, . . . ,βg est imaginaire pure ». Il suffit pour cela de considérer l’applicationΦdéfinie plus haut en lieu et place de l’applicationΨ.

Dans le document Uniformisation des surfaces de Riemann (Page 85-95)