Id´ eogramme ´ el´ ementaire : l’unit´ e

Les concepts lus dans le pr´esent travail sont relativement peu nombreux et ne d´eveloppent qu’un nombre restreint d’id´eogrammes. Sont not´es, la distinction, l’unit´e, l’identit´e ou ´egalit´e, les quatre op´erations, les symboles des relations d’ordre strict (sup`ere/ inf`ere) ainsi que les diff´erents signes ou non-signes s´eparateurs qui sont (( essence )) mˆeme de toute (( chaˆıne )) ´ecrite en maillons distincts. Il n’est pas question de refaire [re-´ecrire] ici l’historique de l’id´eographie math´ematique pour laquelle il existe depuis longtemps une litt´erature [une essence ´ecrite lisible] acad´emique tr`es abondante. Il est par ailleurs ´evident que la plupart des concepts de base qu’´ecrivent les symboles math´ematiques courants trouvent leur origine lointaine au sein de la philosophie et notamment de la philosophie grecque et de la philosophie religieuse hindoue, c’est `a dire de la tradition orale du (( d´ebat philosophique )). Ce sont les ´

ecrits de Platon qui rendent compte de la parole philosophique de Socrate. Qu’en est-il de (( la pens´ee de Socrate )) [du (( concept )) socratique], si ce n’est ce qu’on en peut lire dans les ´ecrits [traduits] de Platon ou de X´enophon qui sont parvenus `a notre lecture ?

C’est en revanche la mise en place progressive des(( id´eographies )) strictes qui d´elimite avec pr´ecision les champs distincts des math´ematiques, de la logique et leur r`egles

2.2. ID ´EOGRAMME ´EL ´EMENTAIRE : L’UNIT ´E 59

[ordres] de d´eveloppements [d´emonstrations ´ecrites], en rejetant d´esormais dans le domaine [l’espace] philosophique ce qui ne peut se pratiquer qu’en(( sens d’un ´ecrit )) [contenu de l’´ecrit, espace ´ecrit-lu] par le langage, autrement dit la parole ou discours philosophique.

En tentant d’expliciter en chrono-logiques ´ecrites-lues-r´e´ecrites la/les logique(s) de contenu(s) lu(s) math´ematiquement, le pr´esent ouvrage r´e´ecrit en autre ordre le sens lu d’un ´ecrit-r´ecrit math´ematique premier. Cet autre ´eclairage [cette polarisation inverse] s’appuie sur l’usage non classique d’une id´eographie existante dont les r`egles permettent non seulement de s’´eclairer elle-mˆeme, mais d’´eclairer ´egalement les fondements philologiques dont elle est issue, fondements qui ont ´et´e(( effac´es )).

Ce qui suit tend `a montrer au lecteur que l’´emergence des principaux symboles math´ematiques n’est en aucun cas ind´ependante de l’analogie `a leurs pr´ed´ecesseurs ou lus chrono-logiques de leurs formes ´ecrites-r´ecrites ana-logiques [ ´etymologiquement : logiques `a rebours : ´ecrit←r´ecrit]. L’´emergence id´eographique n’est qu’une autre (( forme r´ecrite accomplie )) des ´ecritures pr´ec´edentes. C’est cette forme r´ecrite (( `a l’instant)) [instante] qui s’imagine (( accomplie )) de ses pr´ed´ecesseurs ´ecrits red´efinis comme (( ´ecritures ´el´ementaires )) pr´ec´edentes de et par les op´erateurs humains. En imaginant que l’´emergence id´eographique est issue (( d’une pens´ee intrins`eque )) `

a l’op´erateur —math´ematicien— et non d’une pr´ec´edence des op´erateurs lecteurs d’´ecrits-r´ecrits, le(( g´enial op´erateur )) math´ematique place un lu-non-´ecrit id´eal avant sa (( g´eniale ´ecriture )) [subjectiv´ee]. Ainsi l’intelligence humaine qui se d´efinit, dans le pr´esent ouvrage, comme (( d´eveloppement historique de la transition )) [chrono- logique] de l’´ecrit-lu-r´ecrit, est r´eduite par(( la math´ematique )) en (( intelligence d’un sujet-objet imaginaire)) de cet ´ecrit : un lu-r´ecrit (( math´ematicien )). Ce caract`ere fondamentalement r´eductionniste du lu-id´eel-r´ecrit [sens premier d’id´eographie, du grec(( idea )) id´ee et (( graphein )) ´ecrire] math´ematique contemporain s’illustre et se montre dans l’automatisation totale du calcul symbolique `a l’aide d’outils logiciels (cf. MathematicaTM_{, Maple}TM_{, etc.). L’intelligence humaine [le d´eveloppement}

ana-logique de l’´ecrit-r´ecrit chrono-logiquement lu] est alors compl`etement effac´ee dans la polarisation particuli`ere d’un ´ecrit-lu premier infiniment re-´ecrit [reproduit] par la fonction programmative mˆeme de la machine. Machine qui re-produit et re-copie l’´ecrit pr´ec´edent sans faire ´evoluer sa d´efinition-lue. Il est temps d’imaginer ce qui est autre humanit´e dans le calcul symbolique, c’est `a dire la (( transition intelligente)) de l’´ecrit-lu-r´ecrit et cesser de se plier `a la reproduction infinie d’un ´

ecrit-re-´ecrit strictement logique-binaire aussi stable qu’inesth´etique. En l’occurrence c’est bien cette(( instabilit´e )) de la transition {´ecrit-lu-r´ecrit} qui s´epare l’humain du (( lu-r´e´ecrit-relu )) binaire de la machine. Une machine ne se met jamais en route (( de son plein gr´e)) mˆeme si elle peut d´esormais ˆetre programm´ee pour s’´eteindre seule. En derni`ere instance, l’ana-logique de l’action humaine triomphe de la chrono-logique

60 CHAPITRE 2. HISTOIRE DU CONCEPT NUM ´ERIQUE

analogique binaire de la machine en ´ecrivant (( son ˆetre )) sur (( l’existence )) du contacteur de mise sous tension de l’ordinateur.

Une ou des unit´es ana-logiques ?

Il n’est pas original d’´ecrire que le mot(( calcul )) renvoie au mot (( caillou )) [calcu- ler : 1372, du bas-latin calculare, latin calculus, caillou, jeton servant `a compter(5)_;

pluriel calculi ] puis, par extension(( boule )), (( jeton )) et (( pion )). Les calculs biliaires ou r´enaux trouvent d’ailleurs leur ´etymologie dans cette analogie. La m´ethode du tas de cailloux, aussi primitive que l’entaille, a marqu´e le degr´e z´ero de toute technologie du nombre n’exigeant ni (( m´emoire id´eelle )), ni connaissance abstraite et ne faisant intervenir que le principe de la correspondance unit´e ´ecrite par unit´e ´ecrite, une forme de m´emoire de l’instant.

S’agissant de tenir `a jour le d´enombrement d’un troupeau ou d’une arm´ee, le (( comptable )) assure par une proc´edure de d´efilement simple [´ecrit-lu-r´ecrit instant] la correspondance simultan´ee entre les objets ou individus compt´es et les (( unit´es cailloux)) ramass´ees `a l’instant sur le sol. La (( r´eserve )) de cailloux ne pouvant ´

emerger qu’ult´erieurement dans une(( rem´emoration seconde )) [r´e´ecriture au second ordre] de l’acte premier de comptage {´ecrit-lu-r´ecrit}. L’addition ou la soustraction d’une ou de plusieurs unit´es acquiert ici une signification intuitive imm´ediate. Il convient toutefois de noter que la somme se mat´erialise par l’enfermement spatial r´ealis´e par le contenant figur´e ci dessous par la paire de parenth`eses (si chaque 1-´ecrit est {r´ecrit-1}(( ramass´e )) dans un-´ecrit pr´ec´edent) :

1 + 1 + . . . 1 ( 1 1 1 . . . 1)

Il convient de remarquer que s’il s’agit de compter des objets non d´epla¸cables, des arbres par exemple, c’est le comptable qui doit se d´eplacer et qui marque [r´ecrit] (( l’objet-lu )) pour ne pas le compter deux fois. L’unit´e est lue-r´ecrite par un geste laissant une trace [r´etroacte] sur le premier objet[´ecrit]-lu, elle-mˆeme relue puis r´e´ecrite par un autre (( geste )), par exemple, l’introduction d’ un caillou dans une (( bourse )) [une m´emoire au second ordre ´ecrit, un r´etroacte r´ecrit-r´e´ecrit ana-logique]. L’unit´e de compte est interchangeable dans la limite de la forme/d´efinition(( sociale )) du rapport de transition caillou/bourse [compte/banque] de fa¸con `a ´eliminer tout ambigu¨ıt´e li´ee `a la pr´esence d’´el´ements inhomog`enes.

La d´efinition du nombre existe donc de la correspondance biunivoque [transition pratique] entre deux s´eries d’objets : celle qui doit ˆetre d´enombr´ee mais qui ne peut ˆ

etre manipul´ee ni tenue facilement dans un sac et celle qui la repr´esente en tant que nombre de transitions. Il n’y aurait ni raison ni int´erˆet de repr´esenter par un sac

2.2. ID ´EOGRAMME ´EL ´EMENTAIRE : L’UNIT ´E 61

[somme (( boursi`ere ))] de calculi, un lot de cailloux ou mˆeme d’autres petits objets (( sans valeur )) tenant dans un autre sac.

L’identification {1 calculus = 1 vache} est bien l’unique op´eration [r´etroacte ana-logique] du d´enombrement de transition ´ecrit → r´ecrit. Le processus de comptage est bien un processus [une op´eration, une pratique] de transition {´ecriture→ lecture→r´ecriture} au sens large. Le troupeau, pour peu qu’il soit nombreux, n’est pas(( lisible )). Pour le lire en tant que nombre, il convient de le faire d´efiler d’un enclos vers un autre devant le comptable qui, `a chaque passage d’une tˆete devant un rep`ere convenu, transf´erera [´ecrira] un calculus depuis(( une r´eserve )) [le sol lui-mˆeme] dans (( une bourse )) [aux bestiaux, aux pierres taill´ees. . .etc.]. L’unit´e ne r´eside en fait ni dans l’objet compt´e ni dans le caillou mais dans l’espace temporel sans forme s´eparant les deux. La bourse est ensuite scell´ee. Le nombre de tˆetes de troupeau [l’ˆetre] (( est )) le nombre de calculi que contient d´esormais [(( r´ecrits )) dans] la bourse scell´ee mais il ne pourra ˆetre (( lu )) [exister] que par l’op´eration inverse : l’acte de transfert [r´e´ecriture] de chaque calculus depuis la bourse bris´ee devant t´emoin [devant (( l’autre-lecteur ))], en synchronisation avec le re-d´efilement du troupeau, du groupe, toute diff´erence se traduisant par une ou plusieurs unit´es r´esiduelles ou manquantes. Noter que la r´eserve de calculi dans laquelle puise le comptable doit ˆetre imp´erativement imm´ediatement (( suffisante )) pour toutes transitions de d´enombrement instant. Ce qui(( forme )) [´ecrit] les cailloux en(( calculi )) est justement leur (( grand nombre )) qui reste, dans beaucoup de soci´et´es archa¨ıques, l’image ´ecrite : (( plus que toutes les pierres de ce chemin )) ; autrement dit,(( toutes les pierres de ce chemin )) que (( je )) peux instamment lire mais que (( je )) ne peux re-´ecrire,(( compte-tenu )) de leur (( nombre impossible )) [compte impossible `

a tenir en main,(( `a main-tenir ))]. La v´erification du nombre d’objets qui ne peuvent ˆ

etre d´eplac´es doit s’op´erer une fois encore par le d´eplacement du comptable lisant l’unit´e de calcul contenue dans la bourse et la r´e´ecrivant par une autre marque sur l’objet-compt´e jusqu’`a ´epuisement du stock de calculi. C’est bien la transition [le mouvement] qui est (( comptable )), sujet du (( d´ecompte )) ´ecrit-lu [ des] calculi r´e´ecrits en objets.

Le syst`eme de d´ecompte par transition instante ana-logique ´ecrit-r´ecrit n’est, par d´efinition premi`ere, pas applicable [main-tenable] aux(( grands nombres )), `a (( toutes les pierres du chemin)), [pour compter jusqu’`a mille, il faut mille transitions cal- culi /bourse]. Pratiquement, le syst`eme de d´ecompte ana-logique des grands nombres pose les probl`emes de (( collecte )) massive des cailloux, dans le d´esert notamment, et de taille des contenants. D’autre part ce syst`eme entraˆıne rapidement des erreurs lorsqu’il s’agit de re-manipuler les (( calculi des grands nombres )), les comparer ou les fractionner en partie ´egales. Le remplacement [re-´ecriture] de(( plusieurs )) calculi par un (( re-pr´esentant )) unique induit n´ecessairement l’´emergence d’une forme de (( re-groupement des calculi )), une forme d’unification d’une (( multitude )) ; et par

62 CHAPITRE 2. HISTOIRE DU CONCEPT NUM ´ERIQUE

Figure 1. se lit r´e´ecrit 6 × 60 + 1 × 10 + 5 × 1

cons´equent l’´emergence des (( op´erations )) complexes de d´enombrement : regroupe- ment, fractionnement, identification, unification, effacement [annulation].

Le d´etail du processus a bien ´et´e d´ecrit-r´ecrit par Ifrah(6)_{. Pour prendre un exemple,}

dans le milieu du IV`eme mill´enaire avant JC, les Sum´eriens ont utilis´e des calculi en argile de formes et tailles vari´ees (petit cˆone, bille, grand cˆone, grand cˆone perfor´e, sph`ere, sph`ere perfor´ee) repr´esentant respectivement les nombres 1, 10, 60, 600, 3600 et 36000. Des bourses ou bulles ovo¨ıdes creuses en argile contenant des petits jetons et portant l’empreinte du sceau cylindrique de leur d´etenteur ont ´et´e retrouv´ees parfois intactes(7) _{sur des sites arch´eologiques orientaux. Ainsi, l’inventaire de ces bourses}

scell´ees (qu’il fallait casser) permettait l’identification du nombre relatif `a un contrat entre particuliers (tˆetes de b´etail, mesure de c´er´eales, etc.). Avec le syst`eme de jetons donn´e un peu plus haut, le nombre 375 se serait(( ´ecrit )) par (( une bourse )) regroupant les(( pi`eces )) dessin´ees ci-dessous.

La bourse de calculi n’est qu’ un interm´ediaire [une transition, un espace]. Par exemple, il est confi´e un troupeau de vaches `a un berger. Le contrat qui le lie au propri´etaire s’appuie sur le nombre conserv´e dans la bourse. Lorsqu’il ram`ene les bˆetes, leur nombre peut ˆetre compar´e `a l’initial. Les propri´et´es arithm´etiques des nombres(( mis en jeux )) n’apparaissent nulle part : n’existent ici que des processus de lecture-´ecriture de (( mise en m´emoire )) et nul n’a besoin d’ˆetre math´ematicien pour utiliser le proc´ed´e ; ou plutˆot, le berger s’´enonce alors en op´erateur math´ematique [math´ematicien au sens subjectif] de la transition pr´esentation-repr´esentation de ses bˆetes-calculi ou plutˆot bˆetes calcul´ees.

Il est probable que le d´eveloppement du proc´ed´e a pris un temps assez long car il fallait un accord total entre tous les praticiens du syst`eme quant au choix de la forme et de la taille des calculi, pi`eces ou jetons repr´esentant les multiplicit´es [regrou- pements]. Ceci ne s’est sans doute pas produit sans un grand nombre d’ajustements, ´

ecriture-re-´ecriture, pendant des si`ecles. Par la suite, ces premiers (( comptables )), plutˆot (( employ´es aux ´ecritures )), ont pris directement l’empreinte des jetons sur la

(6)_{Georges Ifrah. Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, Paris, 1991, 1994.} (7)_{Le contenu a alors ´et´e visualis´e par radioscopie.}

2.2. ID ´EOGRAMME ´EL ´EMENTAIRE : L’UNIT ´E 63

Figure 2. ´Evolution de la bourse de calculi

surface externe de la bourse d’argile tout en maintenant bien entendu la pr´esence du sceau d’authentification : la v´erification de l’identit´e entre l’empreinte externe et le contenu interne pouvait toujours se faire en cassant la bourse jusqu’`a ce que cette redondance eu parut inutile et que la bourse creuse fut remplac´ee par un pain d’argile de taille identique, le nombre n’´etant plus attest´e que par l’empreinte externe [ancˆetre du(( livre de compte ))].

En (a), il faut casser la bourse pour connaˆıtre le nombre, en (b), l’empreinte fonctionne comme une(( pr´esence d’absence )) [unit´e d’ef- facement] : le bris [effacement de la pr´esentation ´ecrite] de la bourse lit le nombre en lib´erant [re-´ecrivant] les jetons. La marque externe est form´ee, au plus simple, par l’empreinte successive de chaque je- ton avant de le glisser dans la bourse : toute solution qui consisterait `

a glisser l’ensemble des jetons, `a sceller la bourse, puis `a former les empreintes avec un calame n´ecessiterait de (( noter pr´ealablement le nombre au brouillon)), ce qui est inhomog`ene `a des pratiques aussi rustiques. En (c), seule l’empreinte (( m´emorise )) le nombre qu’elle re-pr´esente. Le bris du pain d’argile efface tout. En fait, comme le nombre repr´esente d´ej`a (( un )) regroupement de quelque chose (par exemple un troupeau), l’empreinte est repr´esentation r´e´ecrite d’ une repr´esentation-lue de l’´ecrit {troupeau} premier.

De fait, les repr´esentations archa¨ıques des premiers signes num´eriques sont bien les empreintes en creux des calculi originaux. Ce basculement entre calculus-unitaire et empreinte en creux n’a pas de cons´equences calculatoires directes, le syst`eme de num´eration restant inchang´e, il a cependant un rˆole fondamental sur la transition op´eration-´ecrite → concept-lu. On passe ainsi d’un pseudo lu-´ecrit gestuel [la collecte de cailloux] `a un ´ecrit-lu authentique (empreinte cailloux-crayon sur tablette-feuille). Il y a s´eparation de l’outil calculatoire et de l’outil d’enregistrement [m´emorisation] des r´esultats. Les syst`emes ana-logiques calculi -bourse ne sont pas abandonn´es pour autant puisqu’ils subsisteront sous une forme ou une autre pendant des mill´enaires

64 CHAPITRE 2. HISTOIRE DU CONCEPT NUM ´ERIQUE

Figure 3. Calame

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Figure 4. ´Ecriture cun´e¨ıforme

dans des syst`emes d’abaques ou de bouliers. En revanche, le nouvel outil d’enregis- trement ana-logique de donn´ees num´eriques tend `a uniformiser [uni-former] le monde `

a une seule ´ecriture mais ouvre `a un nouveau potentiel de repr´esentations graphiques vari´ees donc `a la (( conceptualisation unitaire )) de ce monde.

Au cours des si`ecles qui suivent, la repr´esentation des unit´es num´eriques se lib`ere peu `a peu de sa forme originale purement ana-logique (empreinte de jeton). Elle s’´epure, se stylise pour ´evoluer temporellement vers les variantes antiques classiques li´ees `a la pression m´ecanique des outils d’´ecriture (stylet, roseau taill´es, etc.) et la nature physique du support. Chez les Sum´eriens, l’outil d’´ecriture est un calame (mot qui signifie roseau).

Il s’agit effectivement d’un morceau de bois ou de roseau taill´e en biseau. En voici ´

ecrit le mode op´eratoire temporel [ordre op´eratoire chrono-logique] : le calame se tient dans la main droite ; main ouverte, il est pos´e perpendiculairement `a la main sur le bout des trois doigts les plus grands ; ensuite le pouce vient se refermer sur le creux pr´evu `a cet effet. La tablette d’argile fraˆıche se tient dans le creux de la main gauche. Le calame s’appuie sur la tablette en biais, presque `a l’horizontale, la pointe du triangle vers le bas, la face plate vers le haut.

L’avant du calame s’enfonce un peu de haut en bas sans se d´eplacer. C’est la po- sition du calame qui imprime un clou plus ou moins allong´e. C’est bien la forme du calame qui donne [applique] `a l’empreinte celle d’un clou, ce qui explique temporelle- ment [dans l’ordre op´eratoire] la forme classique donn´ee `a l’unit´e.

Les variantes, nombreuses d`es que les nombres repr´esent´es sont sup´erieurs `a 4 jouent principalement sur l’orientation (essentiellement verticale et/ou horizontale) et le regroupement des signes.