2. Histoire du concept num´ erique
2.8. Ecritures des variables et s´ eparateurs formels
de ce dessin vers {ce qui est petit} et ceci dans les deux(( ordres ´ecrits )).
De son cˆot´e, Leibniz avait utilis´e une id´eographie originale `a partir de 1679 :
a b c d
< >
Les symboles (a),(b),(c) ont ´et´e respectivement utilis´es pour les ´editions de 1679, 1710 et 1863 (r´eimpression posthume de l’article de 1710). Les symboles de Harriot (d) ont ´et´e utilis´es pour une r´eimpression posthume de 1749. La variante (a) s’inscrit dans l’analogie [ana-logique] aux longueurs distinctes des parties verticales, refl´etant la grandeur relative des nombres de chaque cˆot´e du signe. Il s’agit donc d’une analogie g´eom´etrique rappelant la repr´esentation euclidienne des nombres. La variante (b) proc`ede de l’analogie `a la distinction des longueurs de barres selon le mˆeme principe que la variante (a) mais rien n’y lit la place de {le plus petit} `a gauche ou `a droite du signe dans l’ordre premier de tout ´ecrit. La variante (c) est une combinaison des variantes (a) et (b). Sa concavit´e est la mˆeme que le symbole de Harriot dont la sup´eriorit´e symbolique est ici manifeste.
2.8. Ecritures des variables et s´eparateurs formels
L’usage des lettres pour d´esigner les variables constitue l’apport fondamental de l’id´eographie de Viete (1615) mais l’usage sp´ecifique de la lettre x pour d´esigner l’in- connue d’une ´equation provient de Descartes.
La repr´esentation de l’agr´egation de variables s’est traduite par une id´eographie tr`es diverse. L’id´eographie de Bombelli (1550) utilisant les crochets conjoints au souligne- ment inf´erieur ´etait certainement tr`es en avance sur son temps mais elle est rest´ee sans lendemain. R3[2.p.R[0m121]]e pour 3 q 2 +√121
Le probl`eme s’est pos´e pour deux cas distincts dont la lecture imposait une certaine homog´en´eisation : la factorisation d’expressions du type a.(b + c) et la racine carr´ee ou la racine d’ordre n d’un polynˆome.
Pour la seconde, des expressions du genre des collect (C. Rudolff), v comme universal radix (Brasser 1663) ou u comme universal (Wallis 1685) sont parfois ins´er´ees en
84 CHAPITRE 2. HISTOIRE DU CONCEPT NUM ´ERIQUE d´ebut de formule. √ des collect 17 +√208 pour q 17 +√208
Par la suite, un symbolisme plus simple et plus ´evident s’est mis en place : une accolade horizontale sup´erieure (Harriot 1631).
z }| {
√
ccc +√ccccc − bbbbb une barre horizontale sup´erieure (Van Schooten 1593)
B in D Quad. + B in D pour
B(D2+ B.D) ou une accolade gauche (Vi`ete, 1593).
B inn D quatratum
+B in D pour B(D
2+ BD)
Dans son trait´e de G´eom´etrie de 1637 qui fait r´ef´erence, Descartes repr´esente les radicaux par le ’√’ classique suivi d’une barre horizontale ce qui pr´esente une certaine analogie de lecture avec la notation moderne. En revanche, ses regroupements de termes factoris´es sont plac´es les uns au-dessous des autres et regroup´es par une accolade verticale sur la droite :
− − 2bbcd +ccdd − − ddss +ddvv yy pour (c2d2− 2b2cd + d2v2− d2s2)y2
Dans la mˆeme p´eriode, les repr´esentations des regroupements sous les radicaux utilisent soit le√classique, soit le R suivi d’un point (R.,√.)
√
.8 −√45 pour
q
8 −√45 soit de deux points (Jean Bernoulli, 1689) (R :,√:)
2.8. ECRITURES DES VARIABLES ET S ´EPARATEURS FORMELS 85 √ : 2 +√3 pour q 2 +√3
ou bien encore la barre sup´erieure horizontale en redondance avec l’une des pr´ec´edentes notations (Oughtred, Wallis, Barrow).
y − 4 × y + 5 × y − 12 × y + 17 pour
((y − 4)y + 5y − 12)y + 17
En 1702, Leibniz utilise la virgule pour ´ecrire c − b, l dans le sens de la lecture contemporaine de (c − b)l. Les parenth`eses apparaissent avec Bernoulli (1753) et Eu- ler. Ce dernier utilise conjointement les parenth`eses classiques avec des parenth`eses tr`es incurv´ees plus proche du C majuscule et de son image sym´etrique. Le trait´e de m´ecanique analytique de Lagrange (1788) pr´esente une id´eographie quasi mo- derne : seule l’esth´etique g´en´erale et la casse des formules donne `a l’ouvrage un as- pect un peu vieillot. L’usage des parenth`eses, accolades et crochets dans l’id´eographie math´ematique suit de tr`es pr`es l’introduction de ces signes dans l’´ecrit si l’on en juge par l’apparition des(( mots ´ecrits )) qui les d´efinissent acad´emiquement : parenth`eses (1546 ; parentheze, 1493 ; du lat. parenthesis, et du gr. enthesis (( action de mettre ))), accolade (deb. XVIe ; de accoler ou prov. accolada).
En r´esum´e, la re-lecture historique [chrono-logique de la chronologie] des ´ecritures math´ematiques pr´ec´edentes distingue quatre syst`emes id´eographiques de regroupe- ment (qu’ils se combinent ou non avec celui de la racine carr´ee ou ni`eme) :
1. Un signe unique plac´e avant une chaˆıne formelle :
u R,√
. :
qui op`ere l’espace d’´ecriture qu’il ouvre `a son initial ; espace ´ecrit-lu re-ferm´e par un autre signe(( r´etroacte )) de fin de chaˆıne.
2. Un signe unique horizontal (soulignement ou barre ou accolade sup´erieure). Le signe, dont la longueur ne peut ˆetre anticip´ee, s’´ecrit apr`es la chaˆıne dont elle signifie le regroupement. Le formateur de texte TEX ou LATEX utilis´e pour la
mise en page du pr´esent ouvrage(20) recr´ee d’ailleurs un syst`eme dual explicite
86 CHAPITRE 2. HISTOIRE DU CONCEPT NUM ´ERIQUE
pour mettre en jeu un soulignement ou une barre sup´erieure sur une chaˆıne formelle :
{\underline xxxxx} {\overline yyyyyy} pour xxxxxyyyyy
En revanche un sur-lignage ou un soulignement se lisent naturellement avant ou en mˆeme temps que [simultan´ement `a] la chaˆıne regroup´ee : chaque caract`ere est lu-re-´ecrit [lu-re-marqu´e] comme caract`ere [remarqu´e](( soulign´e )) ou (( sur- lign´e)).
3. Un syst`eme explicitement ´ecrit de dualit´e d’espaces-lus : parenth`eses, crochets, accolades verticales ouvrante/fermante(21). Esquiss´e par Bombelli (1550), ce
syst`eme s’est impos´e tardivement en remplacement de tous les autres. Cette id´eographie est contraignante mais plus rigoureuse dans l’ordre qu’elle impose `
a la lecture d’un ´ecrit : pour des formules tr`es complexes, l’oubli d’un signe de regroupement rend l’expression(( informe )). L’usage contemporain de lecture sugg`ere un ordre de pr´es´eance [nullement strict] `a l’intrication des trois signes :
{
[ ( ) ]}
La taille des graphies des diff´erents s´eparateurs croˆıt avec l’importance de leur ordre d´efinitionnel-lu [ordre d’importance de leur(( contenu )) ´ecrit-lu]. TEX et LATEX mettent en jeu un ensemble sophistiqu´e de s´eparateurs pour
prendre en compte l’esth´etique de ces signes intriqu´es(22) [de mˆeme qu’avec les crochets et les accolades] :
\Biggl( \biggl( \bigl( ( ) \bigr) \biggr) \Biggr) traduit par
( )
!
4. Une ´ecriture par saut de ligne [´ecriture en colonne] appuy´ee par une accolade droite (Descartes) ou gauche (Vi`ete). Cette pr´esentation demeure dans le cal- cul math´ematique manuscrit pour sa commodit´e car elle ´evite de pratiquer des symboles anciens abandonn´es. Elle n’est, par contre, pas utilis´ee dans les revues acad´emiques.
Actuellement, l’´ecrit math´ematique se construit autour d’une id´eographie nor- malis´ee [ l´egalis´ee] et son ´edition dans les revues acad´emiques fait de plus en plus appel `a un ou des syst`emes standards hautement normalis´es (comme celui
(21)Il est `a noter que les guillemets(( )) ne sont jamais utilis´es comme id´eogrammes math´ematiques car
il sont(( caract`eres r´eserv´es )) `a une mise en exergue d´efinitionnelle-lue d’une forme ´ecrite particularis´ee d’un texte extensif.
2.8. ECRITURES DES VARIABLES ET S ´EPARATEURS FORMELS 87
de l’AMS(23) par exemple). La prise en compte de l’id´eographie par les grands progiciels bureautiques ou par les logiciels libres de formatage de texte font peu `
a peu passer les tˆaches de mise en page des articles de l’imprimeur/´editeur vers le r´edacteur lui-mˆeme. La normalisation internationale de l’id´eographie est de plus en plus stricte. Mˆeme si cette rigueur limite l’´emergence d’id´eographies(( in- ventives)) des nouveaux concepts-lus qu’elles actent, aucun (( acte ´ecrit l´egal )) ne pourra jamais interdire cette ´emergence, tout au plus pourra-t-il interdire sa diffusion, son ´edition. Il faut distinguer `a ce titre la production finale normalis´ee, caract´erisant les articles acad´emiques ´edit´es, des ´ecritures personnelles [subjec- tives] (( manuelles )) temporaires du (( chercheur en math´ematique )) ; ´ecritures pratiqu´ees au quotidien `a l’aide de la feuille et du crayon, de la craie et du ta- bleau et qui sont le(( foisonnement )) des ´ecrits-lus pr´ec´edents centr´es `a une (( sub- jectivit´e)) d’un op´erateur de re-´ecriture ´emergente d’une autre math´ematique ´
ecrite [une autre math´ematique d’un autre math´ematicien].
L’informatique a restreint et rationalis´e l’usage de l’id´eographie math´ematique classique au sein de ses pratiques. Les quatre op´erateurs se sont g´en´eralement fix´es `
a +, −, ∗, / pour l’ensemble des langages de programmation classique. La paire de parenth`eses s’est impos´ee pour s´eparer les groupes d’op´erateurs formels (sans se limiter `a ce rˆole). Les paires de crochets ou d’accolades ont pris un usage plus sp´ecifique relatif `a chacun des langages.
L’espacement entre caract`eres a subi une formalisation absolue : il est devenu un caract`ere affichable comme un autre (caract`ere ASCII 20) manipulable, reproductible, s´eparateur imp´eratif des variables : en programmation ab ne peut que repr´esenter la variable unique ab. L’espace entre le a et le b (qui ´evite la superposition) est un-espace ´
ecrit ou espace-pixel qui n’a d’existence que dans sa repr´esentation graphique mais nullement dans le codage m´emoire de ab o`u les valeurs binaires respectives de a et de b sont localis´ees `a des adresses m´emoire cons´ecutives [deux ´ecrits distincts cons´ecutifs].
Le formatage et le traitement de texte utilisent cependant d’autres types d’espaces pour am´eliorer le formalisme des textes et le rendre plus proche(( d’une perfection )) imagin´ee de l’imprimerie classique (Cf. les diff´erents types d’espaces mis en oeuvre par TEX/LATEX. comprennent mˆeme une forme (( d’espace n´egatif )) qui permet la
superposition des caract`eres.)
Dans l’ordre du calcul informatique, l’espace entre caract`eres ne peut ˆetre utilis´e librement. Ainsi la succession a b n’a pas de signification, seuls les op´erateurs ´ecrits- lus [op´erateurs des op´erations distinctes] donnent forme `a l’espace d’identit´e et/ou de distinction entre une variable a et une variable b comme cela apparaˆıt dans les chaˆınes (23)AMS : American Mathematical Society.
88 CHAPITRE 2. HISTOIRE DU CONCEPT NUM ´ERIQUE
a + b, a − b, a ∗ b, a/b. Il est d’ailleurs `a remarquer que le(( caract`ere )) correspondant `
a la frappe de la touche {espacement} est souvent interdit dans l’´ecriture des noms de variables. Cette touche {espacement} est bien, pourtant, un caract`ere de(( frappe analogique)) [´ecrit-r´ecrit ana-logique] sans r´e´ecrit-lisible [sans caract`ere-´ecran].
Le produit s’´ecrit g´en´eralement par une ast´erisque, l’exposant par un symbole parti- culier (** ou ˆ), et l’indice est inscrit dans un nom de variable ou bien renvoie explicite- ment `a une variable vectorielle ou matricielle (par exemple {vect(5), array(4,7)}). Il a ´et´e montr´e plus haut (multiplication) que le rˆole de l’espacement est imp´eratif puisque, simplement en arithm´etique, c’est l’espace simple qui d´efinit le rang des unit´es :
1256843689
Une lecture ais´ee de l’´ecrit num´erique tend `a fractionner, par les s´eparateurs (( . )) ou(( , )), la chaˆıne ´ecrite par groupes de trois chiffres et `a donc re-´ecrire :
1.256.843.689 (en fran¸cais) 1,256,843,689 (en anglais)
Ainsi, le nombre-r´ecrit pr´ec´edent est lu-re-´ecrit en extension : un milliard, deux- cent-cinquante-six millions, huit-cent-quarante-trois mille, six-cent-quatre-ving-neuf unit´es [´ecrit effac´e non-lu]. Les s´eparateurs-lus(( point )) ou (( virgule )) re-´ecrivent en extension les mots d´esignant les ordres-lus : respectivement milliard, million, millier. Seul l’ordre de l’unit´e est non-´ecrit non-lu [comme ´evidence finale lue, ´ecrite initia- lement(( million d’unit´e ))], le chiffre qui ´ecrit le s´eparateur pr´ec´edent [justement en s’en s´eparant] est toujours lu comme nombre re-´ecrit (( une centaine de. . .{ l’ordre lu qui le suit})). Cet usage est interdit en ´ecriture num´erique informatique puisque le s´eparateur (( point )) est affect´e au fractionnement ´ecrit-re-´ecrit digital des parties (( enti`ere )) et (( d´ecimale )) re-´ecrites sur des octets distincts d’un support magn´etique :
1256843689.000
L’ordinateur ne lit jamais, il ne fait que re-´ecrire ce qui est ´ecrit analogiquement `
a partir d’un clavier sous diff´erentes formes purement ana-logiques. L’ordre de lecture humain lui est totalement impos´e : toutes les transitions de l’´ecrit-lu-re-´ecrit imaginaire sont de l’ordre de la (( programmation-lue )) sociale. En quelque sorte la soci´et´e ´ecrit-lit, l’ordinateur ne fait que re-´ecrire cet ordre social-lu. L’espace ´ecrit-lu {ab} d´efinit [lit-re-´ecrit socialement] en extension { un produit {ab}} manuscrit. Le mˆeme espace peut lire-´ecrire {un segment {ab}} dans la pra- tique sociale g´eom´etrique ; il sera alors d´efini par une {proposition r´e´ecrite} [en extension] pr´ealable du genre :
2.8. ECRITURES DES VARIABLES ET S ´EPARATEURS FORMELS 89
Il existe alors en lecture une infinit´e de points(( imag´es )) [imagin´es] par (( l’espace ´
ecrit)) entre la lettre a et la lettre b. Seule l’humanit´e est susceptible de donner sens-lu [temps-lu] `a l’espacement ´ecrit-r´e´ecrit. L’espace ´ecrit-lu entre 3 et a dans 3ab d´efinit [imagine, image] implicitement le produit arithm´etique, mais(( ab3 )) ouvre `a une complexit´e de lectures possibles. Les ´ecrits ab3 ou ab3 apportent une
direction de lecture [un sens-lu] par l’assignation en indice ou en exposant du lu-re- ´
ecrit (( dimension )) 3 ou 3 [Dimension au sens spatio-temporel r´e´ecrit de son terme
´
ecrit-lu]. Le(( calculateur )) est seulement, comme son nom l’indique, un re- ordinateur d’´ecrit d’un ´ecrit-lu-r´ecrit humain [ordinateur d’´ecrit-lu r´ecrit humain(24) ].
C’est bien l’humanit´e qui imagine(( en temps de calcul )) l’espace entre deux ´ecritures distinctes(( intelligibles )) `a sa lecture, un espace de traduction d’´ecrit-r´e´ecrit machine. C’est pourquoi les (( langages informatiques )) ne peuvent tol´erer la moindre faute de (( syntaxe )) [´ecrite] car ils ne sont justement pas et ne seront strictement jamais langages-lus [phono-logiques] d’´ecrit-r´ecrit, mais seulement des (( scribes )) plus ou moins fiables de la transition chrono-logique de l’´ecrit-lu-r´e´ecrit social : un scribe socio- logique ou plutˆot id´eo-logique, une simple et pure(( machine `a ´ecrire )) l’id´eo-graphie sociale.
CHAPITRE 3
NOTES BIBLIO-GRAPHIQUES
RE- ´ECRITURES DE LECTURES D’ ´ECRITS
(( La compr´ehension de la proposition doit par cons´equent ˆetre logiquement plus simple que la compr´ehension de ”A est similaire avec B”. Nous pou- vons exprimer la proposition sous la forme : ”Quelque chose a une certaine relation avec quelque chose, `a sa- voir la similarit´e”. .))
Bertrand Russell. Th´eorie de la connaissance.
3.1. L’effacement de la n´ecessit´e pratique imp´erative. L’´evidence ´ecrite premi`ere effac´ee [contingent´ee]
Le pr´esent chapitre se forme en re-´ecriture de lectures pr´ec´edentes d’´ecrits op´erateurs pr´ec´edents [re-´ecrits de r´edacteurs-auteurs pr´ec´edents]. Le pr´esent cha- pitre est donc n´ecessairement forme ´ecrite d’un image repr´esentative lue d’´ecrits ant´erieurs. Tr`es simplement, le pr´esent livre ne part pas chrono-logiquement (( d’un rien)) logique [un rien-pens´e-rien, ou rien-lu→lu-rien], mais d’une transition de pr´ec´edence {{´ecrit→lu}-re-´ecrite}. Le lecteur instant [op´erateur instant de lecture] est op´erateur au troisi`eme ordre [temps] logique des ´ecrits chrono-logiques pr´ec´edant le pr´esent ´ecrit biblio-graphique(1) [´ecrit-lu re-´ecrit]. Ainsi le lecteur instant op`ere :
lu {lu{lu {1}}} ´ecrit Re-crit {re-´ecrit {´ecrit {1}}} lu
Instant final ´ecrit-lu de l’´ecrit-lu de l’´ecrit-lu imagin´e initial Temps de lecture 3 {temps de lecture 2 {temps de lecture 1}}
(1)Biblio- de(( biblion )), livre. Biblio-graphie : litt´eralement (( livre-´ecriture )), {livre} n’est ´evidemment
pas entendu comme ´ecrit instant mais comme lecture pr´ec´edente instamment re-´ecrite. Autrement ´