7.2 Cas Cobb-Douglas
7.2.2 Efficacité productive
En faisant varier le niveau d’utilité requis ¯Uq pour le consommateur q, nous obtenons
l’ensemble des points optimaux au sens de Pareto. Nous vérifions que l’expression (7.22) ci- dessus est strictement décroissante avec ¯Uq: il est donc impossible d’accroître la satisfaction
de ces deux agents simultanément.4
7.2.2
Efficacité productive
Intéressons-nous à présent aux propriétés d’efficacité d’un équilibre général de concur- rence imparfaite tel que nous l’avons défini dans la section précédente. Nous avons montré que l’efficacité au sens de Pareto implique que les taux de marge soient les mêmes dans tous les secteurs. En particulier, la comparaison des équations (6.28) et (7.19) décrivant
4. Soit φ( ¯Uq) = PN h=1γhln yh+ ln 1 − Qexp( ¯N Uq) z=1(yzγz)
. Cette fonction est strictement décroissante en ¯ Uq et concave ; en effet, dφ( ¯Uq) d ¯Uq = − exp( ¯Uq) QN z=1(yzγz) 1 − Qexp( ¯N Uq) z=1(yz γz) < 0 ∀ ¯Uq< N X z=1 γzln yz≡ ˆUq
respectivement les productions d’équilibre et les productions efficaces au sens de Pareto montre que, tant que δh est constant entre les secteurs, alors les productions d’équilibre
sont efficaces. Cette propriété est vérifiée non seulement quand aucun secteur en concur- rence imparfaite n’existe, mais également quand la concurrence est imparfaite dans tous les secteurs et que le nombre de firmes est le même sur chaque marché.5 Quand aucune
de ces conditions n’est satisfaite, l’équilibre est alors inefficace. Crettez et Fagart (2009) ont montré que - dans une économie constituée d’un agent représentatif, dont les préfé- rences sont séparables, et d’un seul facteur de production - les caractéristiques d’inefficacité diffèrent entre les secteurs. Dans leur modèle, ils déterminent un seuil ˆβ tel que tous les secteurs dans lesquels le taux de marge est plus élevé que ˆβ sous-produisent par rapport
à leurs niveaux efficaces, tandis que les secteurs avec un taux de marge plus faible que ˆ
β sur-produisent à l’équilibre. Ces ensembles de secteurs sont composés de ceux avec des taux de marge relativement élevés (respectivement faibles). La proposition suivante étend ce résultat, dans un modèle dans lequel coexistent deux consommateurs qui se différen- cient par les facteurs de production qu’ils offrent ; elle établit que, lorsque les préférences des consommateurs sont représentées par des fonctions d’utilité de type Cobb-Douglas, il existe, dans chaque secteur, un niveau seuil de concurrence qui lui est propre et tel que, lorsque l’intensité de la concurrence dans une industrie excède ce niveau seuil, alors il sous-produit à l’équilibre. A la différence de ce qui est établi par Crettez et Fagart, ces taux de marge seuil peuvent différer entre les marchés et ils sont tels que ce ne sont pas nécessairement ceux avec des taux de marge relativement élevés (respectivement faibles) qui sous-produisent (respectivement sur-produisent) à l’équilibre.
Proposition 1. Supposons qu’un équilibre général avec concurrence imparfaite au sens
de la définition 1 ne soit pas Pareto efficace. Alors :
1. il existe deux nombres positifs ML et MK et des seuils sectoriels ˆβh ≡ MLαhM
1−αh
K
tels que minhβh < min {ML, MK} ≤ ˆβh ≤ max {ML, MK} < maxhβh et tels que
et : d2φ( ¯Uq) d ¯Uq 2 = 1 QN z=1(yzγz) 1 −Qexp( ¯N Uq) z=1(yz γz) 2 × " − exp( ¯Uq) 1 − exp( ¯Uq) QN z=1(yzγz) ! + exp( ¯Uq) − exp( ¯Uq) QN z=1(yzγz) !# = − exp( ¯Uq) QN z=1(yzγz) 1 −Qexp( ¯N Uq) z=1(yzγz) 2 < 0 ∀ ¯Uq < N X z=1 γzln yz≡ ˆUq
5. En effet, si le nombre de firmes est identique sur chaque marché, c’est-à-dire nh= nz quel que soit
z 6= h, alors nh−1
nh =
nz−1
nz (pour tout z 6= h). Autrement dit, les ratios des taux de marge δz sont tous
les secteurs dans lesquels les taux de marge βhsont plus élevés que ˆβhsous-produisent
comparativement à leurs niveaux efficaces tandis que les secteurs dans lesquels les taux de marge βh sont plus faibles que ˆβh sur-produisent. Ces seuils sectoriels ˆβh sont
d’autant plus élevés (respectivement faibles) que la caractéristique αh du secteur h
est grande si max {ML, MK} = ML (respectivement max {ML, MK} = MK).
2. il existe deux sous-ensembles non vides de secteurs de production tels que tout secteur appartenant au premier (respectivement second) ensemble sous-produit (respective- ment sur-produit) par rapport à son niveau efficace.
Pour illustrer la Proposition 1, dont une démonstration est proposée en annexes (An- nexe A), notons qu’à un équilibre général de concurrence imparfaite, les demandes de facteurs travail et capital s’expriment, en fonction du vecteur β des taux de marge, de la façon suivante : l∗h(β) = αhγhL βhPNz=1 αzγz βz (A.1) kh∗(β) = (1 − αh)γhK βhPNz=1 (1−αz)γz βz (A.2)
de sorte que les rapports des demandes de travail et de capital à l’équilibre aux demandes de travail et de capital à l’optimum de Pareto s’écrivent :6
lh l∗ h(β) = αhγhL PN z=1αzγz αhγhL βhP N z=1 αz γz βz = βh PN z=1 αzγz βz PN z=1αzγz (A.4) kh k∗ h(β) = (1−αh)γhK PN z=1(1−αz)γz (1−αh)γhK βhP N z=1 (1−αz )γz βz = βh PN z=1 (1−αβzz)γz PN z=1(1 − αz)γz (A.5)
6. Nous pouvons vérifier que si βhétait constant entre les secteurs, c’est-à-dire si βh = βz, pour tout
z 6= h, alors l’équilibre serait efficace. En effet, sous cette hypothèse, nous aurions, pour tout h = 1, ..., N : lh l∗ h(β) = βh βh PN z=1αzγz PN z=1αzγz = 1 et kh k∗ h(β) = βh βh PN z=1(1 − αz)γz PN z=1(1 − αz)γz = 1. En conséquence : yh y∗ h(β) = lh αhk h1−αh l∗ h(β) αhk∗ h(β) 1−αh = lh l∗ h(β) αh k h k∗ h(β) 1−αh = 1
c’est-à-dire que les productions d’équilibre seraient efficaces : y∗
ou encore, en posant : ML≡ PN z=1αzγz PN z=1 αzγz βz (A.6) et MK ≡ PN z=1(1 − αz)γz PN z=1 (1−αz)γz βz (A.7), lh l∗ h(β) = βh ML (A.8) et kh k∗ h(β) = βh MK (A.9).
Les nombres ML et MK sont des moyennes harmoniques pondérées des taux de marge de
tous les secteurs de l’économie, dans lesquelles les poids associés consistent respectivement en un produit des paramètres γz (caractérisant les préférences des consommateurs pour
chacun des biens) par les paramètres αz d’une part et les paramètres 1 − αz d’autre part
(représentant respectivement les élasticités de la production par rapport au travail et au capital). Ces nombres sont strictement supérieurs à l’unité et appartiennent à l’intervalle ouvert ] minhβh,maxhβh[.
Compte tenu de ces notations, un secteur h donné utilise à l’équilibre une quantité de travail trop élevée (respectivement trop faible) par rapport à son niveau efficace si lh
l∗
h(β) <1
(respectivement lh
l∗
h(β) >1), c’est-à-dire si βh < ML(respectivement βh > ML) ; il utilise une
quantité de capital supérieure (respectivement inférieure) à son niveau efficace si kh
k∗
h(β) <1
(respectivement kh
k∗
h(β) >1), c’est-à-dire si βh < MK (respectivement βh > MK).
La Proposition 1 établit alors qu’il existe dans chaque secteur h un seuil ˆβh ≡ MLαhM
1−αh
K
tel que le secteur h sous-produit (respectivement sur-produit) comparativement à son ni- veau efficace si βh > ˆβh (respectivement βh < ˆβh). Ces seuils diffèrent d’un secteur à l’autre
à travers les valeurs des élasticités de la production par rapport au travail et au capital dans ce secteur.7 Ainsi, lorsque M
L > MK, le taux de marge seuil ˆβh au-delà duquel le
secteur h sous-produit par rapport à son niveau efficace vérifie MK < ˆβh < ML et il est
d’autant plus élevé que αh est grand. En ce seuil, la production est efficace, bien que la
répartition des facteurs travail et capital dans ce secteur ne soit pas optimale : compte tenu de (A.8) et (A.9), la demande de travail (respectivement capital) est trop élevée (respec- tivement faible) par rapport à son niveau efficace, mais cet excédent de travail permet de compenser le défaut de capital nécessaire à la réalisation du niveau optimal de production dans ce secteur. En revanche, au dessus de ce seuil, le surplus éventuel de travail utilisé ne suffit pas à compenser le manque de capital et le secteur h sous-produit à l’équilibre. Plus
αh est élevé, et plus le seuil auquel le secteur h produit efficacement, c’est-à-dire le seuil
à partir duquel il sous-produit - l’excès de travail utilisé ne permettant plus de remplacer 7. Rappelons que les paramètres αhet 1−αhreprésentent respectivement les élasticités de la production
par rapport au travail et au capital dans le secteur h : une hausse de 1% de la quantité de facteur travail (respectivement capital) se traduit par une hausse de αh% (respectivement (1 − αh)%) des quantités
produites, la quantité de facteur capital (respectivement travail) étant maintenue constante. Ainsi, lorsque le paramètre αh est élevé dans le secteur h, le facteur travail participe pour une part importante à la
un défaut de capital - est grand : dans ce cas où αh est élevé, le travail contribue en effet
à la réalisation d’une part importante de la production de ce secteur.
Les figures 7.1 et 7.2 rendent compte de ces phénomènes lorsque ML 6= MK.
✲ β h 1 MK βˆh ML lh ≤ lh∗(βh) lh > lh∗(βh) kh ≤ kh∗(βh) kh > k∗h(βh) Sur-production Sous-production
Figure 7.1 – Efficacité productive et allocation des facteurs lorsque ML> MK
✲ β h 1 ML βˆh MK kh ≤ kh∗(βh) kh > kh∗(βh) lh ≤ lh∗(βh) lh > l∗h(βh) Sur-production Sous-production
Figure 7.2 – Efficacité productive et allocation des facteurs lorsque MK > ML
Notons que, lorsque ML= MK, MLet MKétant donnés, le seuil ˆβhauquel la production
du secteur h est réalisée efficacement est indépendant des paramètres αh. ˆβh est constant
entre les secteurs, c’est-à-dire ˆβh ≡ ML = MK, pour tout h, et il existe un seuil unique ˆβ
sous-produit (respectivement sur-produit) par rapport à son niveau efficace.8 Ceci renvoie
à une Proposition établie par Crettez et Fagart (2009, Proposition 2) qui définit, dans une économie qui produit inefficacement, un nombre ˆβ ∈ ] minhβh,maxhβh[ tel que tous
les secteurs dont les taux de marge sont plus élevés (respectivement plus faibles) que ˆβ
sous-produisent (respectivement sur-produisent) par rapport à leurs niveaux efficaces. Par ailleurs, remarquons que, d’une manière générale et de façon similaire à Crettez et Fagart (2009), lorsque des secteurs concurrentiels existent, les taux de marge de ces secteurs sont les plus petits et égaux à l’unité, impliquant que minhβh = 1 : d’après la
Proposition 1, la production de chaque secteur concurrentiel z est plus élevée que son niveau efficace (car βz = minhβh < ˆβz ≡ MLαzMK1−αz, pour tout z ∈ Hc). A l’inverse, le
secteur s caractérisé par le taux de marge le plus élevé, sous-produit par rapport à son niveau efficace : en effet, les nombres ML et MK étant des moyennes pondérées des taux
de marge, βs> ML et βs> MK. En conséquence, βs = maxhβh > MLαsMK1−αs ≡ ˆβs.
La Proposition 1 réfute l’idée que la concurrence à la Cournot dans un secteur donné réduit la production, comparativement à son niveau efficace : comme établi par Crettez et Fagart (2009) dans un modèle avec un agent représentatif, ce résultat n’est plus vérifié dans un cadre d’équilibre général. En effet, supposons qu’aucun secteur concurrentiel n’existe et intéressons-nous aux caractéristiques de l’inefficacité sur chaque marché. Dans notre économie, un faible niveau de production dans un secteur implique un faible niveau d’uti- lisation d’au moins un facteur de production. Mais l’équilibre sur les marchés des facteurs implique que, si certains secteurs sous-produisent à l’équilibre, par rapport à leurs niveaux efficaces, alors d’autres secteurs doivent sur-produire. Le phénomène de sur-production a lieu, d’après le premier point de la Proposition 1, sur les marchés en concurrence impar- faite dans lesquels les taux de marge βh sont strictement inférieurs aux seuils ˆβh. Ceci est
à mettre en parallèle avec l’étude de Crettez et Fagart (2009). Mais, alors que, dans leur modèle, les auteurs prouvent l’existence d’un taux de marge commun à tous les secteurs pour évaluer lesquels d’entre eux sur-produisent à l’équilibre, la nature de l’inefficacité dans un secteur donné est déterminée ici en comparant son taux de marge avec un seuil qui diffère en principe selon les secteurs.
A présent, supposons que des secteurs concurrentiels co-existent avec des secteurs non- concurrentiels. Nous avons vu précédemment que, dans les secteurs concurrentiels, les taux de marge sont tous égaux au plus petit taux de marge possible, à savoir 1. Par conséquent, d’après la Proposition 1, tous les secteurs en concurrence parfaite sur-produisent (stricte- ment) et au moins un secteur en concurrence imparfaite sous-produit (de façon à satisfaire les conditions d’équilibre sur les marchés des facteurs). Le fait que la concurrence soit imparfaite sur au moins un marché implique donc que tous les marchés concurrentiels pro- 8. L’égalité de ces seuils ˆβh entre les secteurs pourrait notamment être satisfaite si les taux de marge
étaient tous égaux entre les secteurs. En effet, dans ce cas, d’après les équations (A.6) et (A.7), nous aurions ML= βh et MK = βh, pour tout h. En conséquence, βhserait constant entre les marchés et égal
duisent inefficacement. D’une façon surprenante, il se peut que les niveaux de production de certains secteurs soient efficaces à l’équilibre, mais ces secteurs efficaces sont caractérisés par une concurrence imparfaite.
Notons que, par rapport à l’étude de Crettez et Fagart (2009), l’introduction d’un second consommateur conduit à un changement dans les caractéristiques d’inefficacité. Alors que ces auteurs établissent que la sous-production a lieu dans tous les secteurs avec des taux de marge relativement élevés, ce résultat n’est plus vérifié ici : les marchés qui sur-produisent (respectivement sous-produisent) à l’équilibre ne sont pas nécessairement ceux caractérisés par les taux de marge les plus faibles (respectivement les plus élevés) (excepté pour les secteurs concurrentiels et dans l’hypothèse où ML = MK).9 A titre
d’illustration, considérons deux secteurs h et z avec des taux de marge βh et βz compris
entre MLet MK (avec ML> MK ou ML < MK) et tels que βz > βh. Si ˆβz > ˆβh (parce que αh < αz quand ML > MK ou αh > αz quand ML < MK) et si ˆβz > βz > βh > ˆβh, alors,
d’après la Proposition 1, le secteur h avec un taux de marge inférieur à celui du secteur
z sous-produit par rapport à son niveau efficace tandis que le secteur z sur-produit. Cet
exemple montre que le taux de marge sur le marché d’un bien h peut être relativement élevé à l’équilibre, et, pour autant, si le seuil ˆβh est grand, alors ce secteur peut sur-produire
par rapport à son niveau efficace. Les caractéristiques des inefficacités sur chaque marché dépendent non seulement de la valeur de leur propre taux de marge mais également de ceux de tous les autres secteurs de l’économie et des technologies utilisées. Les résultats obtenus précédemment, notamment concernant les variations des seuils sectoriels avec l’intensité capitalistique de la combinaison productive de l’industrie en question, nous permettent toutefois de formuler certaines remarques et d’émettre quelques conjectures.
Tout d’abord, si les nombres ML et MK sont égaux, alors ˆβh est constant entre les
secteurs, c’est-à-dire βh = ˆβ, pour tout h = 1, ..., N : sous cette hypothèse et si l’équilibre
n’est pas efficace, nous avons une généralisation du modèle de Crettez et Fagart (2009) et nous établissons que tous les secteurs avec des taux de marge βh plus grands que ˆβ sous-
produisent par rapport à leurs niveaux efficaces tandis que les secteurs avec des taux de marge plus faibles que ˆβ sur-produisent. Les marchés qui sous-produisent (respectivement sur-produisent) par rapport à leurs niveaux efficaces sont ceux qui sont caractérisés par des taux de marge relativement élevés (faibles).
Ensuite, si la concurrence parfaite domine, les nombres MLet MK sont tous deux faibles
et légèrement supérieurs à l’unité. En particulier, ils peuvent être inférieurs au taux de marge de chaque secteur non-concurrentiel de sorte que tous ces secteurs (caractérisés par les taux de marge les plus élevés, par rapport aux secteurs concurrentiels) sous-produisent à l’équilibre.
9. En particulier, lorsque ML = MK, ˆβh = ˆβ, quel que soit h, et tous les secteurs dont les taux de
marge sont supérieurs (respectivement inférieurs) à ˆβ sous-produisent (respectivement sur-produisent) par
Enfin, en supposant par exemple que ML> MK, il apparaît plus probable qu’un secteur h avec un taux de marge relativement élevé sous-produise à l’équilibre si αh est faible que
si αh est élevé car le taux de marge seuil ˆβh au dessus duquel ce secteur sous-produit sera
plus faible (puisque nous avons vu précédemment que ˆβh est strictement croissant en αh
quand ML > MK). A l’inverse, il semble plus probable qu’un secteur avec un taux de
marge relativement faible sur-produise si αh est élevé que si αh est faible, car le seuil ˆβh en
dessous duquel ce secteur sur-produit sera plus élevé. De plus, quand ML > MK, ˆβh est
relativement faible quand αh est faible et le secteur h peut sous-produire à l’équilibre, même
si son taux de marge n’est pas très élevé ; de même, quand ML> MK, ˆβh est relativement
élevé quand αh est élevé et donc le taux de marge du secteur h n’a pas besoin d’être très
faible pour que ce secteur sur-produise. L’idée est que, quand ML > MK, un secteur h
dont le taux de marge est supérieur à MK utilise une quantité de capital inférieure à son
niveau efficace, et une quantité de travail qui peut être supérieure, inférieure ou égale à son niveau efficace. Quand αh est faible (de sorte que ˆβh est relativement faible), ce secteur
est peu intensif en travail et l’excès de travail dont il peut disposer peut ne pas suffire à compenser le défaut de capital, de sorte qu’il est plus probable que ce secteur sous-produise (surtout s’il est caractérisé par un taux de marge relativement élevé). A l’inverse, quand
αh est élevé, ce secteur est relativement intensif en travail de sorte qu’une petite quantité
de travail contribue à la production de cette industrie d’une façon significative et il est plus probable que les quantités de travail dont il dispose lui permettent de compenser le défaut de capital ; ce secteur est ainsi susceptible de sur-produire (surtout s’il est caractérisé par un taux de marge relativement faible mais également si son taux de marge est un peu élevé).
Dans cette section, nous nous sommes intéressés aux propriétés d’efficacité d’un équi- libre général avec concurrence imparfaite tel que nous l’avons défini dans la section 6.3.1. En comparant, dans le cadre des hypothèses 2 et 4 décrivant les technologies des entre- prises et les préférences des consommateurs, les allocations d’équilibre et les allocations efficaces au sens de Pareto, nous avons pu calculer des seuils, propres à chaque secteur mais fonction des caractéristiques de l’ensemble de l’économie, qui déterminent les carac- téristiques des inefficacités pour chacun d’entre eux. Notre analyse a mis en évidence que ce qui se produit sur les autres marchés est fondamental, reflètant ainsi les limites d’une analyse d’équilibre partiel. Notre étude nous permettra également, par la suite, d’établir des conditions, en terme de production, pour qu’une politique visant à modifier l’intensité de la concurrence dans un secteur donné puisse accroître la satisfaction des consomma- teurs. La section suivante est ainsi consacrée à l’analyse de la politique de la concurrence.
8
Etude de la politique de la
concurrence
Dans cette section, nous nous intéressons à l’impact de la politique de la concurrence, au sens d’une modification du nombre de firmes dans un secteur particulier, sur les va- riables d’équilibre décrites dans la section 6.3.2. Nous supposons pour cette étude que les technologies des entreprises et les préférences des consommateurs sont représentées par des fonctions de type Cobb-Douglas (hypothèses 2 et 4). L’entrée étant souvent contrôlée politiquement, nous procédons en supposant qu’un régulateur peut favoriser l’entrée, ou, à l’inverse, promouvoir les fusions sur le marché d’un bien h dans lequel les firmes sont en concurrence à la Cournot ; nous étudions alors l’effet général d’un changement de ce nombre de firmes oligopolistiques.1 2 Il convient de préciser que, bien que cela ne soit pas
toujours le cas, des firmes en concurrence à la Cournot dans un secteur donné peuvent avoir intérêt à fusionner, même en l’absence de baisse des coûts de production à travers les économies d’échelle, de progrès technologique ou de synergies... En effet, considérons un secteur h dans lequel les firmes sont en concurrence à la Cournot. Sous nos hypothèses, la fonction de demande totale du bien h s’écrit xh(ph, R1, R2) = γh(R1 + R2)/ph, d’où
la fonction de demande inverse pour ce bien Ph(xh, R1, R2) = γh(R1+ R2)/xh (équations
(6.19) et (6.20)). De plus, à l’équilibre de Cournot symétrique, la quantité yj
h produite par
chaque firme vérifie l’équation (6.13), c’est-à-dire γh(R1+R2)
nhyhj
= Cmh(w,r)
1−nh1 , où nhy
j
h = yh = xh
est la quantité totale produite sur le marché du bien h (rappelons qu’il y a nh firmes iden-
tiques dans le secteur h). Autrement dit, chaque firme j du secteur h produit une quantité 1. L’idée selon laquelle l’entrée relève d’un contrôle politique est étudiée par Djankov, La Porta, Lopez- De-Silanes et Shleifer (2002). Ces auteurs analysent la régulation de l’entrée de firmes dans 85 pays à partir de données relatives au nombre de procédures et aux temps et coûts officiels qu’une entreprise doit supporter avant de pouvoir débuter légalement son activité. Ils en concluent que les coûts officiels de l’entrée sont extrêmement élevés dans la plupart des pays.
2. Plus précisément, toutes les variables d’équilibre ayant été calculées en fonction du vecteur δ des inverses des taux de marge δh, nous raisonnerons en terme de variations de ce taux : accroître le nombre
de firmes dans un secteur particulier h réduit le taux de marge βhde ce secteur et donc accroît son inverse
yjh =
γh(R1+R2)(nh−1)
(nh)2Cmh(w,r) . Le profit réalisé par chacune de ces entreprises vaut alors : πjh = Ph(nhy j h, R1, R2) − Cmh(w, r) yhj = γh(R1+ R2) nhy j h − Cmh(w, r) ! yhj = γh(R1+ R2) (nh)2
Or, la fusion de deux firmes est rentable si le profit qu’elles obtiennent en fusionnant est supérieur à la somme de leurs profits avant la fusion. En supposant que la nouvelle entité conserve la même structure de coût, deux firmes ont donc intérêt à fusionner si la somme des profits qu’elles réalisent à l’équilibre de Cournot est inférieure au profit de la nouvelle entité à l’équilibre de Cournot avec (nh− 1) firmes. Autrement dit, si :
γh(R1 + R2)
(nh− 1)2
>2γh(R
1+ R2)
(nh)2
Cette condition est satisfaite quand nh < 2 +