Dissipativité

Nous commençons par dénir une notion de dissipativité qui correspond à des familles de contraintes quadratiques plus riches que celles introduites dans le chapitre précédent. Elles vont être paramétrées par l'utilisation de multiplieurs fréquentiels.

5.2.1 Système

dissipatif

22 trois fonctions de transfert de RL nn 1 telles que  11 (j!)= 11 (j!)  0,  22 (j!)= 22 (j!) . L'inertie de la matrice: (j!)= "  11 (j!)  12 (j!)  12 (j!)   22 (j!) #

est supposée constante et égale à (n;0;n). Un système stable H est dit f

11 (j!); 12 (j!); 22 (j!)g dissipatif si avec z 2 L 2 et w2L 2 tels que z =H(w ): Z +1 ?1 " z(j!) w (j!) #  "  11 (j!)  12 (j!)  12 (j!)   22 (j!) #" z(j!) w (j!) # d!0:

Analyse des systèmes par multiplieurs dépendants 157 Pour simplierles développementset sans (grande) perte de généralité, nous supposons que(j!) a la structure: 2 6 6 6 6 6 4 0 0  121 (j!) 0 0  112 (j!) 0  122 (j!)  121 (j!)  0  221 (j!) 0 0  122 (j!)  0  222 (j!) 3 7 7 7 7 7 5 avec  112 (j!)<0: Lien entre f 11 (j!); 12 (j!); 22 (j!)g dissipativité et f   11 ;   12 ;   22 g dissipativité:

nous venons d'introduire la notion def 11

(j!); 12

(j!); 22

(j!)gdissipativité qui généra-lise celle def 11 ; 12 ; 22

gdissipativité. Pour cette dernière, des liens entre les conditions écrites dans diérents domaines ont été proposés dans le chapitre précédent. La notion de f 11 (j!); 12 (j!); 22

(j!)g dissipativité pour un système peut se réduire à celle de

f   11 ;   12 ;   22

gdissipativité pour un système augmenté. Dans le cas de systèmes linéaires stationnaires, cela généralise la mise sous forme standard de la méthode de commande

H

1. Dans celle-ci, assurer que les fonctions de transfert en boucle fermée ont leurs gains contraints par les gains de fonctions de transfert appelées gabarits revient à assurer que les fonctions de transfert pondérées ont une normeH

1 inférieure à un [Zam81]. Dans le cas où 

11

(j!) < 0, ce résultat repose sur la factorisation suivante qui sera abordée dans la section suivante:

"  11 (j!)  12 (j!)  12 (j!)   22 (j!) # = " W 1 (j!) W 2 (j!) 0 W 3 (j!) #  "   11   12   T 12   22 #" W 1 (j!) W 2 (j!) 0 W 3 (j!) #

Par suite, un systèmeH seraf 11

(j!); 12

(j!); 22

(j!)g dissipatif si et seulement si, avecz =H(w ): " z(j!) w (j!) #  " W 1 (j!) W 2 (j!) 0 W 3 (j!) #  "   11   12   T 12   22 #" W 1 (j!) W 2 (j!) 0 W 3 (j!) #" z(j!) w (j!) # 0;

ce qui est équivalent après pré multiplication par W 3

(j!)

? et post multiplication par

W 3 (j!) ?1 à: "  z(j!) w (j!) #  "   11   12   T 12   22 #"  z(j!) w (j!) # 0; avecz(j!) =W 2 (w )+W 1 (H(W 3 (w ) ?1 )).     + + - - - - -6 H W ?1 3 W 1 W 2

Fig. 5.4  Mise sous forme standard Ainsi vérier laf 11 (j!); 12 (j!); 22

(j!)gdissipativité du systèmeH revient à véri-er laf   11 ;   12 ;   22 gdissipativité deW 2 +W 1 HW ?1

158 Chapitre 5 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

dans la littérature anglo saxonne sous le terme de loop shifting (voir, en annexe du chapitre, la section 5.8.1). C'est l'opération qui est couramment eectuée dans le cas li-néaire pour l'étape de mise sous forme standard de la méthode de commandeH

1[Fon95]. Par exemple, pour spécier qu'une fonction de transfert est en fait {?W

o (j!)  W o (j!),0, W i (j!) ? W ?1 i

(j!)} dissipative,la fonction de transfertW o

(j!)H(j!)W i

(j!)est contrainte à avoir une normeH

1 inférieure à un, c'est-à-dire qu'elle est f?I;0;Ig dissipative. Puisqu'il est possible de se ramener à la f

  11 ;   12 ;   22

g dissipativité comme cela est classiquement fait dans la méthode H

1, quel peut être l'intérêt de considérer la

f 11 (j!); 12 (j!); 22

(j!)g dissipativité? Un premier argument (naïf) serait de remar-quer que les critères de stabilité qui se formulent en terme def

  11 ;   12 ;   22 g dissipativité peuvent être aisément formulés en terme de {

11 (j!),  12 (j!),  22 (j!) } dissipativité: l'avantage est que lors de l'application du critère, il n'est pas nécessaire de faire une trans-formation de loop shifting. Le deuxième argument est plus intéressant au niveau de ses conséquences. Considérer indépendamment le modèle H(j!) du système et le modèle

f 11 (j!); 12 (j!); 22

(j!)g de ses propriétés de dissipativité permet de traiter l'un in-dépendamment de l'autre. Dans l'approche H

1, l'étape d'augmentation du système par des pondérations restreint l'éventail des propriétés de dissipativité. Avec l'approche que nous proposons, il est au contraire possible d'optimiser aisément un certain nombre de caractéristiques des transferts 

11

(j!),  12

(j!) et  22

(j!). Rappelons une fois de plus que les signaux d'entrée et de sortie d'un système vérient un ensemble de propriétés de dissipativité. Nous verrons dans la suite de ce chapitre que cette simple remarque est à la base d'un certain nombre de résultats nouveaux.

Interprétation de la propriété de f 11 (j!); 12 (j!); 22 (j!)g dissipativité: soit la fonction de transfert H(j!)d'un système linéaire stationnaire vériant:

" H(j!) I #  "  11 (j!)  12 (j!)  12 (j!)   22 (j!) #" H(j!) I # 0; avec  11 (j!) =  11 (j!) <0. Par suite,  22 (j!)? 12 (j!)   11 (j!) ?1  12 (j!) 0. L'in-égalité précédente se réécrit alors par simple complétion des carrés:

(H(j!)+ 11 (j!) ?1  12 (j!))  (? 11 (j!))(H(j!)+ 11 (j!) ?1  12 (j!))<





 22 (j!)? 12 (j!)   11 (j!) ?1  12 (j!): r y c x c

Pour une fonction de transfert à une entrée, une sortie, la représentation de la fonction de transfert H(j!), pour une fréquence ! donnée, dans le plan de Nyquist est dans le cercle de centre (x c ;y c ) = (?  12R (j! )  11 (j! ) ;?  12I (j! )  11 (j! ) ) 6 et de rayon r = r  22 (j! )  11 (j! ) ?  12R (j! ) 2 + 12I (j! ) 2  11 (j! )

2 . Pour une fonction de trans-fert à plusieurs entrées et plusieurs sorties, nous obtenons un cône de centre ? 11 (j!) ?1  12 (j!) et de rayon (( 22 (j!) ?  12 (j!)   11 (j!) ?1  12 (j!)) 1 2, (? 11 (j!)) 1

2). Les cônes ont été dénis par Safonov (voir la section 2.8.3, en annexe du chapitre 2).

6. L'indiceRdésigne la partir réelle,I la partie imaginaire. Etant hermitiens, les scalaires 11

(j! ) et

 22

Analyse des systèmes par multiplieurs dépendants 159

5.2.2 Factorisation des multiplieurs fréquentiels

Il résulte de la section précédente qu'il est désirable de factoriser la matrice de

trans-fert: "  11 (j!)  12 (j!)  12 (j!)   22 (j!) # :

D'autre part, les théorèmes de stabilité considérés dans ce chapitre requièrent pour leur mise en ÷uvre des résultats sur la factorisation des opérateurs. Des résultats existent sur la factorisation d'opérateurs linéaires stationnaires dénis par un produit de convolution [Wil69, DV75]. Néanmoins, nous nous restreignons ici au cas où les multiplieurs sont des matrices dénies sur RL

1. Ils sont intéressants à plusieurs titres:

1. ils admettent une représentation d'état de dimension nie (permettant d'obtenir des formulations intéressantes pour les calculs numériques);

2. une fonction d'une variable complexe peut être approchée par une séquence de fonctions rationnelles sur un compact du plan complexe(théorème de Runge [Rud87, page 272]). Par suite, cela permet de considérer que la perte de généralité introduite par la restriction à des fonctions rationnelles n'est pas importante.

Théorème 5.2.1

fonctions de transfert W 1, W 2, W 3 et W 4 de RH nn

1 , la première étant inversible, telles que: = " W 1 (j!) W 2 (j!) W 4 (j!) W 3 (j!) #  " ?I 0 0 I #" W 1 (j!) W 2 (j!) W 4 (j!) W 3 (j!) # :

Dans le cas où  11

(j!)<0, W 4

(j!) peut être choisie nulle.

La démonstration se trouve en annexe de ce chapitre, section 5.8.2.

5.3 Analyse des familles de systèmes linéaires