Commande anti wind up

1 h xT 0 i " x 0 # (+ 2) ~Q 3 7 7 5+ 2 6 4 0 0 I 3 7 5 x h 1 0 0 i + 2 6 4 1 0 0 3 7 5 xTh 0 0 I i >0 ce qui mène à, après application du lemme d'élimination sur la variable x:

x T 2 + 2 Q ?1 x<1:

Pour résumer, la trajectoire du système bouclé reste au cours du temps à l'intérieur de l'ellipsoïdeE 1

 + 2

~

P, la trajectoire de l'état du système seul étant dans l'ellipsoïdeE

2  +

2Q?1. Cela est représenté gure 4.4. Pour obtenir une illustration graphique, nous avons supposé que le système est d'ordre 2 avec une loi de commande d'ordre 1. Rappelons qu'a priori la loi de commande est de même ordre que le système. De plus, nous avons considéré le cas où l'entréew est nulle et où  vaut 1.

Cette propriété va être maintenant utilisée pour assurer que la loi de commande ne sature jamais les actionneurs. Cette propriété est assurée par la condition (4.44). Comme ~

x reste toujours dans l'ellipsoïde E 1  +

2 ~

P, la variable d'état de la loi de commande reste toujours dans sa projection sur le plan x = 0. Par suite, en notant Cui le iieme vecteur ligne de Cu: max_t 0 uTi(t)ui(t) max  x2E 1  + 2 Q ?1  x TCTui  Cuix: L'inégalitékui(t)kuisat est satisfaite pour chaque t0 si

2 6 4 ui 2 sat + 2 Cui  CTui  Q ?1 3 7 5 >0:

En décomposant ~P comme cela a été fait précédemment dans la démonstration, nous obtenons Q = NT( ?2 Q?P ?1)?1 N et Cui = ?2 YiN

?1, où Yi est le iieme vecteur ligne deY. Après quelques manipulations simples, nous avons:

" ui 2 sat + 2 ?2 Yi ?2 YTi ( ?2 Q?P ?1) # >0:

Ce qui est équivalent à la LMI (4.44) après application du lemmede Schur et simplication des

?2 par post et pré multiplication par la matricediag( ; In;In). 2

4.6.2 Commande anti wind up

Nous considérons à présent un système linéaire stationnaire et continuGavec des non linéarités en entrée: _ x = Ax + Bww + Pnu i=1 Bui(ui?gi(ui)) z = Czx + Dzww + Pnu i=1 Dzui(ui?gi(ui)) y = Cyx + Dyww : (4.49)

Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 135 g i (u i ) u i Les fonctions g

i sont des non linéarités sans mémoire indépendantes du temps (de classe C

6

TI). Elles sont f?2;1;0g dissipatives, c'est-à-dire que g i (u i )(1?g i (u i ))  0. De plus, g i (u i )=u

i est supposée être dénie et bornée avec g

i

(0)=0 = 0. Les g

i sont généralement des non linéarités zone mortes (voir la gure 4.5). Cette classe de non linéarités comprend les saturations vues dans la section 4.6 et représentées gure 4.5.

? + u i g i (u i )

Fig.4.5  Non linéarité en entrée

Dans la section 4.6, nous proposons une méthode qui permet de synthétiser une loi de commandequi évite de saturer les actionneurs. La stratégie proposée ici est diérente. Elle repose sur les résultats de stabilité absolue développés pour le problème de Lur'e et sur la remarque qu'une non linéarité sans mémoire peut être remplacée par la multiplication par un gain dépendant du temps.

Cette philosophie a été adoptée dans [BH93] dans le cadre de lois de commande pour des systèmes positifs avec des non linéarités en entrée. Des résultats plus généraux ont été proposés par [HK96]: une méthode de synthèse de lois de commande linéaires est recherchée de façon à minimiser un critère de performance quadratique pour des systèmes avec des saturations en entrée. Leur méthode repose aussi sur les méthodes de stabilité absolue. Malheureusement, les conditions obtenues ne sont pas convexes.

Nous allons rechercher des lois de commande assurant soit la stabilité globale soit la stabilité semi globale pour le système bouclé.

Stabilisation globale: nous recherchons une loi de commande qui assure pour le sys-tème bouclé (i) stabilité (ii) un gain L

2 entre w et z inférieur à pour une condition initiale nulle, malgré la présence de saturations. La première étape est de modéliser le système comme une interconnexion d'opérateurs:

" M M u M y 0 # = 2 6 6 6 4 A ?B u B w B u 0 0 0 I nu C z ?D z u D z w D z u C y 0 D y w 0 3 7 7 7 5 ; avec B u = h B u 1


B un u i etD u = h D u 1


D un u i .

Deux modélisations diérentes de
sont possibles en remarquant que:  g

i est une non linéarité:
= diag( R I n ;diag(g i (:)));  g i (u i )=(g i (u i )=u i )u i, avec(g i (u i )=u i

)gain variant dans le temps:
= diag( R I n ;diag(g i (u i )=u i )):

Ces deux modèles sont équivalents [Pya70]. Par contre, dans le premier cas, commeg i

est une fonction non linéaire, l'application du théorème 3.3.1 mène à des contraintes non convexes.

Il faut noter que la fonction non linéaireg

i est connue et que le signal de commandeu i

est parfaitement mesuré en temps réel. En prenant  i (t) =g i (u i )=u i, ce problème est

136 Chapitre 4 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

alors comparable à celui de séquencement de gains avec une mesure parfaite de i

(t). Une formulation convexe du problème peut donc être obtenue avec le second modèle. La loi de commande aura alors la structure suivante: u=F

u (K ;

diag

( R I n ;

diag

(g i (u i (t))=u i (t)))y (voir la gure 4.6). G -+ K u g(u) w z y

Fig.4.6  Commande anti wind up

Le théorème3.3.1 est alors appliqué avecX =

diag

(0 n ;

diag

(?2)),Y =

diag

(I n ;

diag

(1)) etZ =

diag

(0 n ;

diag

(0)).

Corollaire 4.6.2

Il existe une loi de commande:

u=F u (K ;

diag

( Z I n ;

diag

(g i (u i (t))=u i (t)))y

où K est une matrice réelle de dimension (n+ n u +n u )(n+n u +n y ) qui stabilise le système (4.49) et lui assure un gain L

2 inférieur à s'il existe des matrices P et Q

appartenant àS(n),n

u scalaires strictement positifss 1 ;


;s nu etn u scalaires strictement positifs t 1 ;


;t n u tels que: S =

diag

(P ;

diag

(s i )); T =

diag

(Q;

diag

(t i )); et (3:18); (3:19 ); " S I I T # 0: (4.50)

Remarque : Dans le cas de la commande d'un système marginalement stable avec en entrée une non linéarité strictement positive17, il est toujours possible de trouver un retour d'étatK

stabilisant. En eet, le système bouclé sera stable si la fonction de transfertK(sI?A) ?1

B est positive, c'est-à-dire s'il existe P  0 telle que A

T

P +PA  0 et K T

= PB. La première contrainte LMI est toujours vériée dans le cas oùAest marginalement stable, la seconde égalité donne la valeur du gainK.

Stabilisation semi globale:

stabiliser semi globalement un système revient à assurer

que le domaine de stabilité du système bouclé contient une partie bornée de l'espace d'état xée a priori. Considérer la stabilisation semi globale n'est pas rédhibitoire. En eet, les modèles des systèmes physiques sont représentatifs pour un ensemble borné de l'espace d'état. De plus, un système instable en boucle ouverte avec des saturations en entrée n'est pas globalement nul contrôlable [LM67]. Par exemple, dans l'article [LS93], il est

Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 137 ?umax umax 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?  -sat(u) valeurs possibles deu u ?usat usat

Fig. 4.7  Partie excitée de la saturation

expliqué que seule la stabilité semi globale peut être atteinte par la commande linéaire pour certaines classes de systèmes instables.

Le fait utilisé est que nous sommes capables de garantir que la loi de commande obtenue génère des signaux avec une amplitude bornée par un niveauumax donné. Siumax

est inférieur au niveau de saturation usat alors les actionneurs ne saturent jamais et nous sommes ramené au cas étudié section 4.6.1. Si ce n'est pas le cas, seule une partie de la non linéarité est excitée (voir gure 4.7). Cette information peut être utilisée pour garantir la stabilité contre la partie de la non linéarité qui est excitée. Cela permet de réduire le conservatisme d'une approche purement basée sur la stabilité absolue, comme cela a été étudié dans le paragraphe précédent.

Nous cherchons à assurer les spécications décrites dans la section 4.6.1.

Comme précédemment,la non linéarité est considérée commeune perturbation variant dans le temps et agissant à l'entrée du système:

sat (ui)=(1?i(t))ui(t) avec 0i(t)<1

où i(t) est une fonction croissante de ui(t) avec i(t) !1 quand ui(t)! +1. Pour des conditions initiales prises dansP et des perturbationswde normeL

2 inférieure à un, nous avons vu dans la section 4.6.1 que nous pouvions garantir que ui(t) avait une amplitude inférieure à un certainumax. Siumax >usatalors nous avons0i(t)1?usat=umax <1. Commeuiest parfaitementconnu, il est aisément possible de déterminerla distorsioni(t). Siumax usat alors nous sommes ramené au cas traité dans la section 4.6.1. Nous allons donc considérer le premier cas.

Soit (t)=[ 1

(t);


;nu

]. Nous recherchons une loi de commande de la forme:

_  x =  A((t))x +  By((t))y; x(0) =0; u =  Cux; (4.51) où  A et 

By sont des fonctions rationnelles de  et 

Cu une matrice constante. Le gain de cette loi de commande est séquencée par le paramètre(t).

Le corollaire suivant donne des conditions susantes assurant l'existence d'un tel correcteur.

138 Chapitre 4 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

Corollaire 4.6.3 S'il existe des matricesP etQde R

nn, S etT deS(nu),Y deR nun,

Z 1, Z

2 et un scalaire umax>usat tels que:

vTjPvj; j=1;:::;p;  S I I T  (4.52)0 2 4 ATP+PA+CTzCz+Z 1 Cy+CTyZT 1 PBw+CTzDzw+Z 1 Dyw ?PBu?CTzDzu+CTyZT 2 BwTP+DzwTCz+DTywZT DTzwDzw? 2 I DTywZT 2 ?DzwTDzu ?BTuP?DTzuCz+Z 2 Cy ?DTzuDzw+Z 2 Dyw DTzuDzu?2S 3 5 <(4.53)0 umaxM?usat 2 4 0 0 YT 0 0 0 Y 0 0 3 5 <(4.54)0 umax 2 4 2 2 +I 0 0 0 Q I 0 I P 3 5 + 2 4 0 Y 0 YT 0 0 0 0 0 3 5 (4.55)0 avec M = 2 6 4 AQ+QAT+BuY +YTBTu +BwBTw QCTz+YTDTzu+BwDTzw YT?BuT CzQ+DzuY +DzwBTw DzwDTzw? 2 I ?DzuT Y ?TBuT ?TDzuT ?2T 3 7 5

alors il existe une loi de commande de la forme (4.51) telle que:

 le système bouclé est stable pour toute condition initiale dans le polytope P et toute entrée de perturbation avec une norme L

2 inférieure à un;  le système bouclé a un gain L

2 faible ( , ) entre l'entrée de perturbation w et la sortie à commanderz.

Remarque : Une troisième possibilité pour aborder la commande avec saturation serait d'approcher la saturation par une fonction rationnelle et d'appliquer les résultats de la section 4.5. Par exemple, nous pouvons utiliser les approximation suivantes:

sat(ui) = 1 1+ ju i j u isat ui; sat(ui) = 1+4j u i u isat j 2 1+ ju i j u isat  1+4j u i u isat j 2  ui:

Des essais numériques montrent que cela ne donne pas de résultats intéressants par rapport aux approches précédentes.

4.6.3 Application numérique

Nous considérons un systèmeGdouble intégrateur avec des saturations en entrée:

_ x = " 0 1 0 0 # x + " 0 1 # w + " 0 1 # sat(u) z = h 1 0 i x y = h 1 0 i x

Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 139

K

^{u ++}

G

^z

w

Fig. 4.8 Exemple de système avec saturation

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig.4.9  Simulation temporelle

avecu sat

=4. Nous voulons assurer une propriété de gainL

2 ( ,10) faible entre l'entrée

w et la sortie z (voir la gure 4.8) pour une condition initiale P = h

0;1 0;1 i

T

et le plus petit possible. En recherchant une commande non saturante, nous obtenons un de

1;01. Nous n'avons pas trouvé de commande anti wind up qui assure un plus faible. La loi de commande obtenue a pour équation:

_  x = " ?2;9850e+03 2;0107e+03 2;0355e+03 ?1;3792e+03 #  x + " 9;7146e+04 ?6;6244e+04 # y; u = h 3;1217e?02 ?5;2048e?01 i  x x(0) =0:

Une simulation est faite pour la condition x(0) = h

0;1 0;1 i

T

et la perturbation w en traits tirés points sur la gure 4.9. Sur cette gure, la commandeu est indiquée en traits tirés et est bien inférieure à 4et la réponse temporelle en trait plein indique bien que son énergie (qui est de 0;62) est bien inférieure à p

2

+ soit 3;3.

Pour une comparaison et une discussion plus détaillées des diérentes méthodes de synthèse de correcteurs en présence de saturation, voir notre article [SFG97]18. L'issue des diérentes expérimentations numériques semble présager que la première stratégie ore le meilleur compromis. De plus, comme elle garantit que le système reste dans sa plage de fonctionnement linéaire, elle assure une stabilisation (et une performance) incrémentale

pour le système bouclé.

18. Dans cet article, une formulationexplicite du correcteur est donnée lorsque les conditions d'existence sont vériées.

140 Chapitre 4 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

Dans le document Approche Unifiée de l'Analyse et de la Commande des Systèmes par Optimisation LMI (Page 143-149)