L'intérêt des techniques de multiplieurs constants peut être discuté. Si, pour certains problèmes d'analyse, elles permettent d'obtenir des conditions nécessaires et su santes10, les conditions ne sont en général que su santes voire a priori conservatives (par exemple, pour l'analyse des systèmes linéaires incertains). Pour ce qui est de la synthèse de lois de commande, il a été discuté dans le chapitre 1 que même avec des multiplieurs constants, les méthodes de synthèse pouvaient être d'une grande complexité pour un certain nombre de problèmes (par exemple la commande robuste). A notre avis, un des grands intérêts de ces techniques est qu'elles permettent malgré tout d'obtenir des méthodes de synthèse de complexité réduite dans un nombre appréciable de cas (dont le séquencement de gains). De plus, la mise en ÷uvre de ces méthodes sur un missile dans le chapitre 6 illustre que si, théoriquement, elles semblent conservatives, pratiquement, elles peuvent donner de bons résultats.
Nous verrons dans le chapitre 5 que si l'introduction de multiplieursdépendants permet de réduire le conservatisme des critères d'analyse, il ne permet par contre pas d'obtenir aisément des méthodes de synthèse peu gourmandes en temps de calcul.
10. Par exemple, les systèmes linéaires stationnaires, les interconnexions de familles d'opérateurs non linéaires/non stationnaires dans le temps de gain inférieur à1[MT93, Sha94, Sha95, YD95].
102 Chapitre 3 Approche unifiée de l'analyse et de la commande
3.7 Annexe
3.7.1 Lemmes de Packard et d'Helmersson
Lemme 3.7.1
[Pac94]Soient S =S T
>02
R
nn, T = T T>0 2
R
nn. Avec un entier r n, il existe des matrices R 2R
nr et U 2R
r n telles que:" S R R T U # >0 et " S R R T U # ?1 = " T ? ? ? # si et seulement si " S I I T # 0 et rang " S I I T # n+r:
De plus, R peut être choisie telle que S?T ?1 =R T R et U =I r.
Lemme 3.7.2
[Hel95a]Soient S 2
R
nn et R 2R
nn telles que S+S T>0 et R+R T
>0. Avec un entier
rn, il existe des matrices N;M 2
R
nr et L2R
r n telles que:" S N M L # + " S N M L # T >0 et " S N M L # ?1 = " R ? ? ? # si et seulement si rang S?T ?1 r:
Un choix possible des matrices N, M et L est donné à l'aide des matrices M t et N
t de rang plein telles que:
L =
diag
(L t ;I) L t = (N T t (S+S T )N t ) ?1 (I?N t (S+S T ) ?1 M T t ) M = " M t 0 # N = h N t L t 0 i S?R ?1 = N t M t :Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 103
Chapitre 4
Analyse et commande des systèmes
interconnectés par multiplieurs
constants: études de cas
Nous considérons, dans ce chapitre, les applications possibles du théorème 3.3.1 à l'étude d'un certain nombre de problèmes de commande. Chaque cas envisagé correspond à un domaine relativement spéci que. Pour des systèmes hétérogènes (voir page 1), il est en général possible de combiner les diérents résultats. Ce qui est important, c'est l'éventail couvert par le théorème 3.3.1 et les ra nements qu'il est possible d'apporter en fonction du problème considéré. Un des objectifs de ce chapitre est de montrer que les potentialités des méthodes présentées précédemment sont (au moins en partie) eectives. Chaque application est abordée avec l'objectif d'obtenir des conditions pratiquement
calculables quitte à ce qu'elles soient conservatives. Nous recherchons le meilleur compro-mis possible.
Certains cas peuvent être traitées par application directe du théorème 3.3.1. Il s'agit de la commande des systèmes linéaires stationnaires, la commande par séquencement de gains ou encore la commande des systèmes non linéaires rationnels. Ce n'est, par contre, pas le cas de la commande décentralisée où dans un premier temps, nous avons recherché une formalisation du problème susceptible de concilier les objectifs de calculabilité et de conservatisme. Aborder ce problème nous a amené à étudier la caractérisation du comportement entrée/sortie des sous systèmes linéaires, à le modi er par commande et à évaluer les interactions des diérents sous systèmes à travers celui-ci. Nous avons ainsi obtenu de nouvelles conditions convexes pour la commande décentralisée. Il en est de même pour la commande de systèmes linéaires saturés pour lesquels nous proposons trois approches possibles. Un certain nombre de ses applications ont fait l'objet d'articles[SG95, EGS96, SFG97, SD97a].
D'autres cas débordent du champ de l'Automatique. Il s'agit, par exemple, des sys-tèmes statiques qui peuvent être interprétés comme la modélisation de phénomènes phy-siques en régime statique ou correspondre à des problèmes d'intérêt plus mathématique. Ce qui est important de noter, ce sont les potentialités de résultats de l'Automatique, hors de son cadre d'application directe. Une application hors du champ de l'Automatique, même si elle nous permettra la mise en ÷uvre numérique de critères d'Automatique, est la résolution de problèmes LMIs in nis.
104 Chapitre 4 Approche unifiée de l'analyse et de la commande
4.1 Analyse des systèmes linéaires stationnaires
Cette section est consacrée à la caractérisation du comportement entrée / sortie des systèmes linéaires stationnaires par des inégalités de la forme:
8T 2
R
+ ; Z T 0 " z(t) w (t) # T " z(t) w (t) # dt 0 (4.1)sur leurs signaux d'entréew et de sortie z.
4.1.1 Lien entre les formulations des diérents domaines:
la caractérisation du comportemententrée/sortied'un systèmelinéairedans le domaine temporel par une propriété de dissipativité (4.1) peut être reliée à une caractérisation par une inégalité sur sa fonction de transfert associée dans le domaine de Laplace (inégalité fréquentielle). La véri cation de la dissipativité d'un système à partir de ces deux formes est malaisée. Le théorème de Kalman Yakubovitch Popov [Wil71b, Pop73, FCG79] pré-senté dans cette section montre que cette véri cation peut se ramener à rechercher une matrice dé nie positive telle qu'une certaine LMI soit véri ée1. Il est à la base de nom-breux résultats.
Remarque : La véri cation de l'inégalité fréquentielle peut aussi se ramener à la véri ca-tion d'une in nité de LMIs dans le domaine complexe paramétrisées par la fréquence, lesquelles peuvent se ramener à la résolution de LMIs réelles [BE93].
Des éléments de démonstration mettant en ÷uvre les outils proposés dans cette thèse et les résultats de [Wil71b] sont proposés en annexe de ce chapitre, section 4.12.1. Ce résultat est classique [Wil71b, Pop73]: l'intérêt est de mettre en ÷uvre les outils présentés précédemment.
Théorème 4.1.1
Soient le système linéaire stationnaire H(s) =D+C(sI ?A)?1 B de
RL np
1 (la représentation d'état introduite est minimale) et la matrice:
= " 11 12 T 12 22 # où 11 = T 11 <02
R
nn et 22 = T 222
R
pp. Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes:1. H estL
2 gain stable et les signauxzetwdeL
2 tels que z =H(w )véri ent l'intégrale suivante: Z +1 0 " z(t) w (t) # T " z(t) w (t) # dt 0 ; (4.2)
2. la fonction de transfert H(s) est stable et véri e l' inégalité fréquentielle:
8!2
R
; " H(j!) I # " H(j!) I # 0 ; (4.3)1.Résoudre cette LMI p eut se réduire dans la plupart des cas à résoudre une équation de Riccati [Wil71b,FCG79].
Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 105
3. il existe une matrice P dé nie positive telle que la LMI suivante est véri ée:
2 6 6 6 4 A B C D I 0 0 I 3 7 7 7 5 T 2 6 6 6 4 0 0 ?P 0 0 11 0 12 ?P 0 0 0 0 T 12 0 22 3 7 7 7 5 2 6 6 6 4 A B C D I 0 0 I 3 7 7 7 5 0: (4.4)
Lorsque la propriété de stabilité de la fonction de transfertH(s)est relaxée,le théorème suivant peut être énoncé.
Théorème 4.1.2
Soit un système linéaire stationnaire H(s) = D+C(sI ?A)?1 B de RL np 1 et la matrice: = " 11 12 T 12 22 # où 11 = T 11 2
R
nn et 22 = T 222
R
pp. Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes:1. les signaux z et w tels que z =H(w )véri ent l'intégrale suivante:
8T 0; Z T 0 " z(t) w (t) # T " z(t) w (t) # dt 0 ; (4.5)
2. H(j!) véri e l' inégalité fréquentielle:
" H(j!) I # " H(j!) I # 0 ; (4.6)
3. il existe une matrice P =P
T telle que la LMI suivante est véri ée:
2 6 6 6 4 A B C D I 0 0 I 3 7 7 7 5 T 2 6 6 6 4 0 0 ?P 0 0 11 0 12 ?P 0 0 0 0 T 12 0 22 3 7 7 7 5 2 6 6 6 4 A B C D I 0 0 I 3 7 7 7 5 0: (4.7)
4.1.2 Interprétation de la propriété de dissipativité:
nous considérons toujours une fonction de transfert H(s) véri ant:
" H(j!) I # " 11 12 T 12 22 #" H(j!) I # 0 ; avec 11 = T
11 dé nie négative. Par suite, 22 ? T 12 ?1 11
12 est semi dé ni positive. L'inégalité précédente se réécrit alors par une simple complétion des carrés:
(H(j!)+ ?1 11 12 ) (? 11 )(H(j!)+ ?1 11 12 ) 22 ? T 12 ?1 11 12 :
La représentation de la fonction de transfert H(j!) avec une entrée et une sortie dans le plan de Nyquist est à l'intérieur du cercle de centre(?
12 11 ;0) et de rayon r 2 12 2 ? 22 11.
106 Chapitre 4 Approche unifiée de l'analyse et de la commande
Par exemple, la fonction de transfert:
H(s)= 2;5 ( s 2 4 + s 2 +1)( s 2 100 + s 100 +1) ;
dont la représentation dans le plan de Nyquist est donnée gure 4.1, à gauche, est, par exemple, {?1, 0;75, 7;24} dissipative, ce qui correspond au cercle de centre (0;75; 0) et de rayon 2;8. Pour un transfert donné, il est possible de trouver plusieurs propriétés de dissipativité, ce qui correspond pour un transfert à une entrée et une sortie à plusieurs cercles (voir gure 4.1, à droite). Une paramétrisation des propriétés de dissipativité peut
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 −3 −2 −1 0 1 2 3 Real Axis Imag Axis −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −6 −4 −2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis
Fig. 4.1 Nyquist de H(s) et propriétés de dissipativité
être obtenue à partir de l'énumération de tous les cercles avec un centre sur l'axe de abscisses et contenant le lieu de Nyquist de la fonction de transfert.
Pour un transfert à plusieurs entrées et plusieurs sorties, il est à l'intérieur du cône2
de centre? ?1 11 12 et de rayon (( 22 ? T 12 ?1 11 12 ) 1 2 ;(? 11 ) 1 2 ). Pour une fonction de transfert à une entrée, une sortie et
11
=0, la représentation de cette dernière se situe pour
12
>0à gauche de la droite verticale passant par le point
? 22 12. 4.1.3 Dualité et dissipativité Le dual H
d de H est dé ni par la relation:
<z;H(w )> T =< H d (z);w> T :
Si H est généré par un produit de convolution, obtenir son dual revient à renverser le tempsdans le noyau qui l'engendre.H
d admetalors commetransforméede FourierH(j!) . Connaissant la propriété de dissipativité véri éeparH(j!)nous pouvons alors caractériser celle véri ée parH(j!)
.
Lemme 4.1.1
Considérons la fonction de transfertH(j!) et les matrices11, 12, 22 telles que 11 =
diag
(0; 112 ), 12 =diag
( 121 ; 122 ) et 21 =diag
( 211 ; 212 ) 3. Sup-posons que 211 est dé nie négative et que
" 11 12 T 12 22 #
2. Les cônes ont été introduits par Safonov est sont dé nis dans l'annexe 2.8.3 du chapitre 2, page 69. 3. L'introduction de cette structure particulière sur les matrices
xxn'entraîne aucune perte de géné-ralité tout en permettant des démonstrations simples.
Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 107
est une matrice de rang plein. Alors
" H(j!) I # " 11 12 T 12 22 #" H(j!) I # 0 est équivalent à " H(j!) I # " ~ 11 ~ 12 ~ T 12 ~ 22 #" H(j!) I # 0 avec ~ 11, ~ 12 et ~
22 des matrices dé nies par:
" 11 12 T 12 22 #" ? ~ 22 ~ T 12 ~ 12 ? ~ 11 # =I:
Une formulation duale de la propriété de dissipativité du système est ainsi introduite. La démonstration de ce lemme est obtenue par simple modi cation de la première partie de la démonstration 2.8.5 du lemme 2.4.1 du chapitre 2, page 72.
4.1.4 Paramétrisation des propriétés de dissipativité
La paramétrisation de toutes les propriétés de dissipativité sous forme de LMIs que véri e un système linéaire stationnaireH(s)=D+C(sI?A)
?1
B deRH np
1 est obtenue par application directe du théorème 4.1.1. L'ensemble des propriétés de f
11 ; 12 ; 22 g
dissipativité que véri eH est donné par:
2 6 6 6 4 A B C D I 0 0 I 3 7 7 7 5 T 2 6 6 6 4 0 0 ?P 0 0 11 0 12 ?P 0 0 0 0 T 12 0 22 3 7 7 7 5 2 6 6 6 4 A B C D I 0 0 I 3 7 7 7 5 0: (4.8) avecP =P T
0. Il faut noter que cette inégalité est linéaire enP, 11,
12 et
22. C'est donc une contrainte LMI.
Pour illustrer cela, considérons la fonction de transfert:
H(s)= 2;5 ( s 2 4 + s 2 +1)( s 2 100 + s 100 +1) ; introduite précédemment. −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −3 −2 −1 0 1 2 3 Real Axis Imag Axis
Nous désirons recherché le plus petit cercle qui contienne le tracé de son transfert dans le plan de Ny-quist. Par suite, nous voulons minimiser
2 12 2 11 ? 22 11. La condition 4.8 étant homogène, nous pouvons prendre sans perte de généralité
11
= ?1. Soit tel que
2 12
+
22. Après application du lemme de Schur (lemme 2.3.1, page 58), nous sommes alors amené à minimiser sous les contraintes:
" ? 22 12 12 1 # 0 et (4:8):
108 Chapitre 4 Approche unifiée de l'analyse et de la commande
Par résolution numérique4, nous obtenons 12
=0;655et 22
=7;20. Cela correspond au cercle de centre(0;655;0) et de rayon 2;76.
Le fait de rechercher la dissipativité la plus petite peut se généraliser au cas où le transfert considéré comprend plusieurs entrées et sorties. Dans le chapitre 5, section 5.3.6 page 181, nous étudierons une généralisation de ce problème. La solution proposée peut se spécialiser au cas considéré ici.