Démonstration du théorème 4.1.1

 1. ,2. découle du théorème de Parseval et du lemme suivant:

Lemme 4.12.1

[MT93] Soit (j!)= (j!)



= (?j!)une fonction matricielle bornée et mesurable. Les deux propositions suivantes sont alors équivalentes:

1. Pour q appartenant à L 2 (

R

+ ;

R

n ): Z +1 ?1 q(j!)  (j!)q(j!)0 ;

2. (j!)0 pour presque tous les ! 2

R

+.

 3. ) 1. La représentation d'état de H est introduite:

_ x = Ax+Bw ; x(0)=0 z = Cx+D w ; x = R _ x:

La condition 3. implique qu'il existe une matriceP dénie positive telle que:

A T P +PA<C T  11 C : Comme 11

<0, la fonction de transfertH(s)est stable.

Nous cherchons maintenant à démontrer que la condition 3. implique que l'ensemble des signaux z etw tels que z =H(w ) vérient:

Z +1 ?1 " z(t) w (t) # T  " z(t) w (t) # dt 0:

Le système étant stable, pour un signal d'entréew appartenant à L

2, les signaux z, xet

_

xappartiennent aussi à L

2. De plus, pour P dénie positive, les signaux xet x_ vérient:

Z x

T

Px_ 0:

Nous considérons donc la paramétrisation des surfamilles de modèles suivantes:

_ x = Ax+Bw x(0) =0 z = Cx+D w R x T Px_ 0;

où les intégrateurs ont été remplacés par l'inégalité R x

T

Px_  0. En notant que x_ et z

apparaissent de façon explicite dans les équations précédentes, nous sommes ramenés à considérer le problème suivant:

Vérier que Z " x w # T " C D 0 I # T  " C D 0 I #" x w # 0

Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 147 pour l'ensemble des signaux xet w deL

2 vériant: Z x T P h A B i " x w # 0:

En appliquant laS procédure, nous obtenons3. comme condition susante. La condition assure la propriété1.pour toutes les surfamilles paramétrisées parP. Par suite, s'il existe un P tel que la condition initiale soit vériée alors la propriété 1. tient pour le système

H lui même.

1. )3.

On peut se reporter à [Wil72]. La démonstration consiste à démontrer que si l'inéga-lité (4.2) est vériée alors il existe une fonction de Lyapunov V quadratique telle que

_ V ? " z(t) w (t) # T  " z(t) w (t) # 0:

Pour les systèmes linéaires, il est démontré dans [Wil72] que V peut être prise qua-dratique.

Analyse des systèmes par multiplieurs dépendants 149

Chapitre 5

Analyse des systèmes interconnectés

par multiplieurs dépendants

Le but de ce chapitre est de proposer des outils aptes à fournir des critères d'ana-lyse plus ns et moins conservatifs que ceux proposés dans le chapitre 3. Pour cela, est introduite la notion de multiplieurs dépendants. Ils vont permettre de paramétriser des familles de contraintes quadratiques plus riches que celles obtenues avec les multiplieurs constants. De ce fait, une description plus ne est obtenue pour les sous systèmes et pour le comportement entrée/sortie du système interconnecté.

les multiplieurs dépendants peuvent être classés dans deux catégories.

1. La première recouvre les multiplieurs fréquentiels: la borne supérieure du /km

[Doy82, FTD91, SL93] peut être interprétée selon cette technique. Nous verrons ici comment elle peut être étendue pour décrire plus nement les incertitudes et améliorer l'étude de la performance, comment elle peut être mise en ÷uvre pour de grands problèmes et, enn, comment elle peut être généralisée pour l'analyse des systèmes non linéaires et non stationnaires. Cela est possible par un changement de perspective par rapport à l'approche conventionnelle de la robustesse des systèmes linéaires. Les conditions sont obtenues dans le domaine fréquentiel.

2. La seconde recouvre les multiplieurs dépendant de paramètres. Ils ont été intro-duits dans le cadre de l'application de l'approche Lyapunov pour l'étude des sys-tèmes linéaires avec des paramètres incertains, éventuellement variant dans le temps [DCAF94, FAG96, GAC96]. Ces conditions s'énoncent donc dans le domaine tem-porel.

Malgré leur apparente diérence, ces deux approches sont en fait dans leurs grandes lignes très proches et peuvent être uniées par la notion de multiplieurs dépendants.

La première partie de ce chapitre va se concentrer sur l'analyse des systèmes linéaires stationnaires incertains par multiplieurs fréquentiels. Le problème d'analyse de la ro-bustesse est classiquement abordé par la  analyse et ses variantes. Pour un ensemble d'incertitudes ayant une norme H

1 inférieure à un [Doy82] ou d'incertitudes positives [SL93, SGL94], la stabilité du système est testée. Le problème d'analyse de la perfor-mance est réduit à celui d'analyse de la stabilité par l'introduction d'une incertitude ctive. Ce cadre est assez contraignant de plusieurs points de vue. En eet, il est néces-saire de formaliser le problème de façon très particulière. Certains problèmes (comme la marge de gain ou d'autres problèmes évoqués dans la suite de ce chapitre) ne se mettent

150 Chapitre 5 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

pas naturellement sous cette forme. De plus, du fait de la spécicité de la forme, la mise en forme elle-même peut être coûteuse en temps de calcul. Enn, dès que l'on cherche à optimiser un paramètre, on est amené à résoudre une série de critères mathématiques. Un tel manque de exibilité ne se justierait que si on en tirait un avantage au niveau du coût de résolution numérique du critère.

Or ce n'est pas le cas. C'est pourquoi nous proposons, dans ce chapitre, une approche qui permet d'éviter l'étape de formulation du problème et de résoudre naturellement un grand nombre de problèmes tout en n'entraînant pas de surcoûts dans la résolution du critère lui-même. Etant donné qu'elle permet de remplacer pour certains problèmes la résolution d'une série de critères par la résolution d'un seul, elle permet de substantielles économies de calcul.

Un autre désavantage de l'approche par  analyse est son incapacité à se généraliser directement pour résoudre certains problèmes avec un conservatisme raisonnable. Cela est du à son mode de description des incertitudes qui est trop grossier. En eet, les ensembles d'incertitudes généralement considérés sont des boules. Nous verrons comment les étendre à des ensembles convexes. Dans notre article [Sco97], les incertitudes considérées sont des ensembles connexes. Une telle généralisation est intéressante pour traiter les retards incertains. Nous avons développé ce point dans un article [Sco97], reproduit dans l'annexe de ce mémoire, page 277.

Cela est possible par l'application des principes généraux exposés dans le chapitre 2. L'idée est de caractériser un système par l'ensemble des contraintes quadratiques vériées par les signaux à ses bornes. Cela nous permettra, dans un second temps, d'aborder la généralisation de l'analyse aux systèmes non linéaires, non stationnaires.

Ce chapitre va être centré sur les questions suivantes:

Stabilité:

un système interconnecté, éventuellement incertain, non linéaire et non

sta-tionnaire est-il stable?

Marge de stabilité:

quelles variations de comportement des sous systèmes peut

absor-ber un système interconnecté sans déstabiliser le système global?

Comportement entrée/sortie:

quelles sont les propriétés de dissipativité

caractéri-sant le comportement entrée/sortie du système interconnecté?

Performance:

quels critères de performance est susceptible de vérier le système

inter-connecté?

Grande échelle:

Comment traiter les questions précédentes dans le cas de systèmes de

dimensions importantes (par rapport à ce que peuvent traiter les algorithmes)? Le premier point peut être vu comme une généralisation du problème de/km analyse au cadre non linéaire, non stationnaire. Le second est une généralisation du problème de 

1 analyse [FT92, FF97] ou même de l'analyse de la marge unilatérale2 [TSC92] à ce cadre-là. Les résultats ainsi obtenus ont été mis en ÷uvre pour le calcul eectif de l'indicateur dans l'article [FSF96] (reproduit en annexe de cette thèse, page 271). Nous généralisons aussi la mesure de la performance associée à ce problème. Un des problèmes

1. La analyse étudie deux types de problèmes: (i) quel meilleur niveau de performance un système peut-il assurer pour un niveau d'incertitude donné? (ii) quel niveau d'incertitude un système peut-il tolérer tout en assurant un niveau de performance donné? [FT92]

Analyse des systèmes par multiplieurs dépendants 151 considérés par la/km analyse est le suivant: étant donnés des gabarits de performance sur le système, sont-ils respectés par le système incertain? Une question plus générale peut être abordée: pour l'interconnexion considérée, quelles sont les relations de dissipativité qui décrivent le mieux les transferts sélectionnés pour évaluer la performance?

Notre approche permet de s'interpréter comme la recherche de gabarits qui collent le  mieux aux fonctions de transfert sélectionnées. Pour le cas d'un système linéaire stationnaire avec des incertitudes paramétriques, cela revient à évaluer l'image d'un hy-percube de l'espace des paramètres incertains par une fonction de transfert [GS88]. Ce problème est de même nature que le calcul exact du /km. Nous allons proposer dans ce chapitre une méthode de résolution approchée de ce problème, en temps polynomial. D'après ce qui a été vu dans le chapitre 2, tous les critères de stabilité/performance que nous considérons reposent sur une (paramétrisation des) propriété(s) de dissipativité des sous systèmes.

La question précédente peut être ramenée aux deux questions suivantes:   Comment déterminer une propriété de dissipativité?

  Comment paramétriser les propriétés de dissipativité pour un sous système ou une interconnexion de sous systèmes?

Deux approches sont possibles: soit rechercher une paramétrisation explicite et analy-tique des propriétés de dissipativité, soit formuler ce problème sous forme d'un programme d'optimisation que nous résolvons numériquement dans un second temps. La première approche est appliquée pour déterminer les propriétés de dissipativité des sous systèmes élémentaires bien que dans certains cas3, il soit possible d'appliquer la seconde méthode. Pour le cas d'interconnexions de sous systèmes, il est possible de propager la paramétrisa-tion des sous systèmes pour obtenir une paramétrisaparamétrisa-tion des propriétés entrée/sortie du système interconnecté. C'est l'approche qui a été adoptée par [Saf83]. L'inconvénient,c'est que le nombre total de degrés de liberté4 reste constant, ce qui dans le cas d'un système relativement grand peut mener à un problème pratiquement insoluble. D'autre part, si les propriétés de dissipativité sont paramétrisées linéairement, la linéarité risque de dis-paraître après propagation. Nous proposons, dans ce chapitre, une méthode qui permet de réduire de façon intéressante le nombre de degrés de liberté et d'obtenir une paramé-trisation linéaire pour les propriétés de dissipativité d'un système interconnecté par une approche basée sur la résolution de problèmes d'optimisation. Cela peut être interprété comme la recherche dans l'ensemble des sur familles d'une interconnexion de celles qui semblent décrire le plus dèlement le comportement entrée/sortie pour un nombre de de-grés de liberté xé a priori. Ces résultats peuvent concerner un certain nombre d'autres problèmes comme la synthèse de correcteurs robustes, la parallélisation de calculs de 

analyse, etc...

Ce chapitre est tout d'abord consacré aux multiplieursfréquentiels. Après avoir motivé notre approche, nous introduisons la notion de {

11 (j!), 12 (j!), 22 (j!)} dissipativité, qui est une généralisation de la notion de {

11,  12, 

22} dissipativité abordée dans le chapitre 3. Cette notion est alors étudiée dans le cadre des interconnexions de systèmes

3. Par exemple, les sous systèmes d'un système hiérarchisé sont eux-mêmes des systèmes interconnectés. Un sous système apparaît alors comme une interconnexion de sous systèmes élémentaires.

4. Le nombre de degrés de liberté est mesuré par le nombre de variables d'optimisation associées à la paramétrisation des propriétés de dissipativité.

152 Chapitre 5 Approche unifiée de l'analyse et de la commande ∆ ∆ ∆ ∆(s) ... ... ... ... 1 i n ... ...

M(s)

p(s) w(s) z(s) q(s)

Fig. 5.1  Analyse de la performance de systèmes incertains

linéaires incertains. Elle permet à la fois d'étudier et de caractériser les propriétés en-trée/sortie des interconnexions. La contribution majeure est de mettre en lumière un ensemble de propriétés de dissipativité qu'il est possible de paramétriser. Une application intéressante est l'analyse de systèmes à grande échelle. L'exemple des retards est pris à titre illustratif. La généralisation à un cadre non linéaire, non stationnaire est enn abor-dée. Dans ce contexte, un certain nombre de nouveaux critères sont proposés. Enn, nous ferons un parallèle entre les techniques de multiplieurs fréquentiels et les techniques de multiplieurs dépendant de paramètres avant de terminer sur une discussion du calcul des conditions proposées.

5.1 Limitations de la formulation



de l'analyse de la

robustesse

Dans le document Approche Unifiée de l'Analyse et de la Commande des Systèmes par Optimisation LMI (Page 155-161)