Commande non saturante

Nous considérons un système linéaire, continu avec des saturations en entrée:

_ x = Ax + Bww + Pnu i=1 Bui sat(ui) z = Czx + Dzww + Pnu i=1 Dzui sat(ui) y = Cyx + Dyww oùx2R

nest le vecteur d'état,u2R

nu l'entrée de commande,y2R

ny la sortie mesurée,

z 2 R

nz la sortie à commander et w 2 R

nw l'entrée de perturbation. Les fonctions de saturation sont dénies de la façon suivante:

ui ?uisat; sat(ui) = ?uisat; juijuisat; sat(ui) = ui; ui uisat; sat(ui) = uisat:

avecuisat le niveau de saturation sur la iieme entrée. Dans ce qui suit, nous posons Bu = h Bu1


Bunu i etDzu = h Dzu1


Dzunu i .

Nous considérons un polytope de conditions initiales contenant le point zéro et déni par ses sommets: P = Co fv

1

; ::: ;vpg. De plus, la perturbation est supposée avoir une normeL

2 inférieure à un, c'est-à-dire que:

8T >0; Z T 0 w (t) T w (t)dt1:

Cela peut être interprété comme une borne sur l'énergie de l'entréew. Etant donné cet ensemble de conditions initiales et de perturbations en entrée, nous recherchons une loi de commande qui assure pour le système bouclé les spécications suivantes:

 la stabilité;  un gain L

2 ( ,) faible entre l'entrée de perturbation et la sortie à commander

z, c'est-à-dire, pour deux scalaires  et strictement positif donnés et pour tout temps T positif: Z T 0 z(t) T z(t)dt< 2 Z T 0 w (t) T w (t)dt+(x 0 ) avec(x 0 )< et (0)=0.

Le dernier point peut être interprété de la manière suivante:  six 0 =0 alors Z T 0 z(t) T z(t)dt< 2 Z T 0 w (t) T w (t)dt:

Le système en boucle fermée a un gain L

Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 131  siw=0alors Z T 0 z(t) T z(t)dt<:

Pour une condition initiale prise dansP, la normeL

2dezest bornée parp

. Le lien peut être fait avec la dénition d'une contrainteH

2 pour l'ensemblePde conditions initiales.

Dans ce qui suit, un ensemble de spécications ainsi déni est noté par fP; ;g. La loi de commande recherchée aura la structure suivante:

_  x =  Ax +  B y y; x(0) =0; u =  C u  x: où 

A est de même dimension que A. Rechercher une loi de commande strictement propre n'est pas en général restrictif.

Le théorème suivant est obtenu par application du théorème 3.3.1 et en utilisant les propriétés d'espace invariant associées au multiplieur P. Il donne des conditions su-santes pour l'existence d'une loi de commande qui ne sature pas les actionneurs tout en remplissant les spécicationsfP; ;g.

Corollaire 4.6.1 S'il existe des matrices symétriques P et Q appartenant à R

nn, deux matrices Y = h Y T 1


Y T n u i T dans R n u n et Z dans R nn y telles que: v T j Pv j ; j=1;:::;p; (4.42) h C y D y w i ? T 2 6 6 6 4 A B w C z D z w I 0 0 I 3 7 7 7 5 T 2 6 6 6 4 0 0 P 0 0 I 0 0 P 0 0 0 0 0 0 ? 2 I 3 7 7 7 5 2 6 6 6 4 A B w C z D z w I 0 0 I 3 7 7 7 5 h C y D y w i ? 0 2 6 6 6 4 A T C T z B T w D T z w I 0 0 I 3 7 7 7 5 T 2 6 6 6 4 0 0 Q 0 0 I 0 0 Q 0 0 0 0 0 0 ? 2 I 3 7 7 7 5 2 6 6 6 4 A T C T z B T w D T z w I 0 0 I 3 7 7 7 5 + " B u D y u # Y +Y T h B T u D T y u i 0; (4.43) u isat 2 6 4 2 2 + I 0 0 0 Q I 0 I P 3 7 5 + 2 6 4 0 Y i 0 Y T i 0 0 0 0 0 3 7 5 >0; i=1;:::;n u : (4.44)

alors il existe une loi de commande linéaire stationnaire de la forme:

_  x =  Ax +  B y y; x(0) =0; u =  C u  x: telle que:

 le système bouclé est stable pour chaque condition initiale prise dans le polytope P

et l'entrée de perturbation w avec une norme L

2 inférieure à un;  le système bouclé a un gain L

2 ( , ) faible entre l'entrée de perturbation w et la sortie à commander z.

132 Chapitre 4 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

La démonstration repose sur le fait que, pour le problème considéré, nous sommes capable d'évaluer la zone de l'espace d'état où évoluent les trajectoires du système bouclé.

Démonstration

La démonstration se décompose en deux étapes:

 la saturation est supposée ne pas exister: quelles sont les conditions qui assurent l'existence d'un correcteur vériant le cahier des charges?

 ces dernières conditions obtenues, quelles conditions faut-il ajouter pour assurer que le correcteur ne sature eectivement pas16?

La premièrepartie de la démonstration est simplementprésentée dans ses grands traits. Elle est très proche de la démonstration du théorème 3.3.1 et d'une partie des démons-trations de l'article [EGS96] reproduit en annexe de la thèse, page 241. Supposons qu'il n'y ait pas saturation. La démonstration consiste alors à écrire que le système (linéaire) en boucle fermée est stable et a une norme H

1 inférieure à . Le lemme d'élimination est alors appliqué comme dans la démonstration de 3.3.1, sauf qu'ici seules les matrices

 A et 

B

y du correcteur sont éliminées. La matrice  C

u n'est pas éliminée. Nous obtenons alors les conditions du corollaire 4.3.1 en eectuant sur 

C

u un changement de variable. En eet, la LMI (4.44) implique que:

"

P I I Q

#

>0: (4.45)

Nous pouvons faire apparaître dans la LMI précédente et dans les LMIs (4.43) le terme

?2

Q en lieu et place deQ. En notant Q le terme ?2 Q et en posant  11 =?I, 12 =0 et  22 = 2

I, les inégalités du corollaire 4.3.1 sont obtenues. Pour une condition initiale nulle, la loi de commande assure donc un gainL

2 inférieur à . Nous devons maintenant démontrer qu'eectivement la loi de commande ne va jamais provoquer la saturation de l'actionneur.

Soient x, le vecteur d'état du système, x le vecteur d'état de la loi de commande et

~ x = h x T x T i T

le vecteur d'état du système bouclé. Soit ~

P le multiplieur associé aux intégrateurs du système bouclé, c'est-à-dire aux intégrateurs du système et de la loi de commande. La condition (4.45) assure queP >

2 Q

?1et l'existence d'une matrice ~ P semi dénie positive telle que

~ P = " P ? ? ? # et ~ P ?1 = " ?2 Q ? ? ? # : Les matrices ~ P et ~ P

?1 sont paramétrisées comme suit. Introduisons une matrice non singulière arbitraire M 2

R

~ P = " I 0 0 M T #" P I I (P ? 2 Q ?1 ) ?1 #" I 0 0 M # : (4.46)

Le choix de M n'a aucune espèce d'importance: il correspond à un changement de base dans l'espace d'état de la loi de commande,x!Mx. D'autre part, nous avons:

~ Q= ~ P ?1 = " I 0 0 N T #" ?2 Q I I ( ?2 Q?P ?1 ) ?1 #" I 0 0 N # ; (4.47)

16. Les conditions que nous obtiendrons peuvent s'interpréter comme des spécicationsL 2/L

Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 133 x c x 1 E Q ?1 x 2 E ~ P E P

Fig. 4.4  Trajectoire du système bouclé

où N =(I ? ?2

QP)M ?T.

Le système bouclé étant de gain inférieur à , nous pouvons écrire que:

Z T 0 _ ~ x(t) T ~ Px(t)~ dt+ Z T 0 z(t) T z(t)dt? 2 Z T 0 w (t) T w (t)dt 0:

Par suite, commeR T 0 z(t) T z(t)dt0, ~ x(T) T ~ Px(T~ )x(0)~ T ~ Px(0)~ + 2 Z T 0 w (t) T w (t)dt:

Commex(0) appartient au polytopeP, la LMI (4.42) implique quex(0) T

~

Px(0) . Par suite, comme de plusR

T 0 w (t) T w (t)dt 1: ~ x(T) T ~ Px(T~ )(+ 2 ):

Pour tout instantT,x(T~ )appartient donc à l'ellipsoïdeE 1  + 2 ~ P de centre 0et de matrice 1 + 2 ~

P. Nous avons donc une propriété d'invariance de l'espace décrit par l'état. Etudions de plus près cet ellipsoïde. Son intersection avec le planx=0est évidemment donnée par l'ellipsoïdex T 1 + 2 Px1puisque: " x x # T 1 + 2 ~ P " x x # 1: (4.48)

Symétriquement, nous pouvons en déduire l'intersection avec le plan x = 0. Une autre question est de connaître la projection de E 1

 + 2

~

P sur le plan x = 0. Le résultat est simplement trouvé par application du lemme d'élimination. En eet, (4.48) est équivalent à, par application du lemme de Schur:

2 6 6 4 1 h x T x T i " x x # (+ 2 ) ~ Q 3 7 7 5 >0:

134 Chapitre 4 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

x appartient à la projection de l'ellipsoïde précédent s'il existe un x tel que l'inégalité précédente est vériée. Cette dernière se réécrit:

2 6 6