Commande

7 7 7 5 = 0; h ?
I i " q p # = 0:

En appliquant le théorème 3.2.1 sur ce système implicite, les conditions du lemme 3.2.1 sont obtenues.

3.3 Commande

Nous nous intéressons dans cette section à la synthèse d'une loi de commande qui confère au système interconnectéexplicite la stabilité interne et une propriété de {X

per f,

Y per f, Z

per f} dissipativité entre l'entréew et la sortie z.

L'approche par LMIs des problèmes de commande a d'abord considéré la synthèse de correcteur par retour d'état au début des années 90 [GPB91, PZPB91, PZP+92, GBP94]. Elle consistait à appliquer les conditions d'analyse obtenues sous forme de contraintes LMIs au système bouclé. Les inégalités matricielles obtenues se réduisaient alors à des contraintes LMIs par des manipulations assez simples. L'obtention de conditions basées sur des inégalités matricielles linéaires pour les problèmes de commande par retour de sortie a été plus dicile. Ce n'est que vers le milieu des années 90 que des résultats ont été obtenus dans ce cas-là [PBPB93, GA94, Pac94, AG95, EGS96]. Les conditions obtenues sont convexes avecéventuellement des contraintes de rang, qui, elles, ne le sont plus. Par exemple,pour le problème de commandeH

1[GA94], si le correcteur recherché ne doit pas être d'ordre strictement inférieur à celui du système, les conditions sont convexes. Dans le cas contraire, une condition de rang non convexe apparaît. Il faut garder à l'esprit que la convexité est une propriété désirable pour remplir l'objectif de calculabilité pratique.

Le théorème que nous proposons ici permet d'unier voire d'améliorer la recherche de lois de commande à partir de conditions d'analyse basées sur la technique des multiplieurs constants introduite dans les sections précédentes. Son énoncé est suivi d'une discussion sur la convexité des diérentes conditions introduites. Ces conditions dépendent du pro-blème de commande considéré, c'est-à-dire des sous systèmes du système à commander et de la structure de la loi de commande selectionnée. Ce résultat sera mis en ÷uvre sur un certain nombre de problèmes de commande dans le chapitre suivant.

Pour énoncer le théorème, nous associons aux matricesX,Y,Z etX per f, Y per f,Z per f, les matrices ~ X, ~ Y, ~ Z et ~ X per f, ~ Y per f, ~ Z

per f telles que:

" X Y Y T Z #" ? ~ Z ~ Y T ~ Y ? ~ X # =I et " X per f Y per f Y T per f Z per f #" ? ~ Z per f ~ Y T per f ~ Y per f ? ~ X per f # =I:

Analyse et commande des systèmes par multiplieurs constants 93

Théorème 3.3.1

S'il existe des matrices S;T 2 S(
) et des matrices G;H 2 G(
)

telles que: M y ? T " M I (n+nw) # T M " M I (n+nw) # M y ? <0; (3.18) M T u ? T " M T I (n+nz) # T N " M T I (n+nz) # M T u ? <0 (3.19)

où les matrices M et N sont dénies comme suit7:

M=P T M

diag

" ZS Y T S+G YS+G T XS # ;? " X per f Y per f Y T per f Z per f #! P M N =P T N

diag

" ~ ZT ~ Y T T +H ~ YT +H T ~ XT # ;? " ~ X per f ~ Y per f ~ Y T per f ~ Z per f #! P N

et si, de plus, les matrices S i ;T i ;G i ;H

i satisfont les contraintes entraînées par la classe à laquelle

i appartient, indiquées dans le tableau 3.2 ci-dessous, alors il existe une loi de commande u = F u (K ;
K )y où
K =

diag

(
K i ) avec
Ki dépendant de
i de la manière décrite dans le tableau 3.2, qui stabilise le système interconnecté:

" z(t) y(t) # =F u " M M u M y 0 # ;
!" w (t) u(t) # et lui assure la fX per f ;Y per f ;Z per f

g dissipativité pour tout
appartenant à
.

classe de
i structure de
Ki contraintesà vérier C 1 (
i =g i I n i )
Ki =g i I k i " S i I I T i # 0 et rang " S i I I T i # =k i +n i , k i n i C 2 [C 4
K i = [] ou
Ki =
i s i t i =1 ou " s i 1 1 t i # >0 C 3 (
i = i I n i )
K i = i I k i rang " S i +? ?1 i G i I I T i +? i H i # =k i +n i avec k i n i et? i =(Y T i Y i ?X i Z i ) 1=2 C 5 [C 6
Ki =[] S i T i =I

Tab. 3.2 Contraintes additionnelles du théorème 3.3.1.

7. Les matricesP M etP

94 Chapitre 3 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

Remarque : Dans le cas où toutes les matricesX,Y,Z,X per f,Y

per f,Z

per f sont diagonales, les expressions peuvent être grandement simpliées (voir l'article [Sco96]).

Tester l'existence d'une loi de commande qui assure stabilité et performance revient donc à trouver des matricesS;T 2S(
)et G;H 2G(
). S;T;G;H apparaissent linéai-rement dans les conditions (3.18), (3.19) et dans la condition

" S i I I T i # 0: (3.20)

En fait, ces conditions sont des contraintes LMIs.

La non convexitéintervient dans certaines conditions du théorème 3.3.1. Il s'agit, d'une part, des conditions d'égalité. Si le système à commander contient un bloc

i de classe C 5 ou C 6 alors la conditionS i T i

=I apparaît. S'il contient un bloc
i de C

5 ou C

6 et si le bloc

i n'est pas  recopié dans le correcteur alors il faut imposer la contraintes i

t i

=1. Il s'agit, d'autre part, de contraintes de rang sur des matrices. Dans le cas où le système à commander contient un bloc

i =g i I n i de la classeC

1 et si le correcteur doit contenir le bloc
Ki =g i I ki aveck i <n

i alors la condition suivante doit être imposée: rang " S i I I T i # =k i +n i :

D'autre part, si le système à commander contient un bloc
i =  i I ni de la classe C 3 et si le correcteur doit contenir le bloc

K i =  i I k i avec k i < n

i alors la condition suivante doit être imposée:

rang " S i +? ?1 i G i I I T i +? i H i # =k i +n i avec? i =(Y T i Y i ?X i Z i ) 1=2.

En résumé, en fonction des classes auxquelles appartiennent les sous systèmes du système à commander et en fonction de la structure de la loi de commande recherchée, les conditions proposées dans le théorème précédent correspondent, ou non, à un problème d'optimisation convexe.

Les conséquences sont les suivantes. Si une loi de commande est recherchée pour une interconnexion de sous systèmes linéaires avec

K

=
, il faut simplement vérier les conditions (3.18), (3.19) et des conditions du type (3.20). Le problème se formule alors comme un ensemble de contraintes LMIs. Si

K est contraint à être une copie partielle de

alors des conditions non convexes apparaissent. La non convexité apparaît aussi pour la commande d'un système interconnecté avec des opérateurs non linéaires (classes C

5 et

C 6).

Les conditions non convexes qui apparaissent dans le théorème précédent prennent toujours la forme d'une contrainte de rang imposée sur une matrice dépendant anement des variables de décision. En eet, la contrainte S

i T

i

= I peut être remplacée par la contrainte rang " S i I I T i # =n i :

Plusieurs algorithmes heuristiques ont été proposés pour cette classe de problèmes. Dans le cas où G=0, El Ghaoui, Oustry et Ait Rami ont proposé une approche ecace pour cette classe de problèmes d'optimisation [EOA96]. D'autres heuristiques ont, par exemple, été proposées par [GdSS94, GTS+94].

Analyse et commande des systèmes par multiplieurs constants 95 Nous démontrons maintenant le théorème.

Démonstration

La démonstration du théorème 3.3.1 repose sur le lemme de complétion / élimina-tion 2.4.1 présenté dans le chapitre 2, page 62.

Sans perte de généralité et an d'éviter des lourdeurs de notation, nous supposons que

possède un seul bloc de dimensionn r

n

r. Une loi de commandeu=F u

(K ;
K

)y est recherchée telle que connectée au système:

" z(t) y(t) # =F u 0 B @ 2 6 4 M q p M q w M q u M z p M z w M z u M y p M y w 0 3 7 5 ;
1 C A " w (t) u(t) # ;

elle assure pour le système bouclé la stabilité et une propriété de fX per f ;Y per f ;Z per f g

dissipativité entre le signal wet le signal z.

Les équations pour le système bouclé sont: z =F u  M;

diag

(
;
K )  w avec M = 2 6 4 M q p 0 M q w 0 0 0 M z p 0 M z w 3 7 5+ 2 6 4 0 M q u I 0 0 M z u 3 7 5K " 0 I 0 M y p 0 M y w #

Suivant la classe à laquelle il appartient,

K possède des structures diérentes:  si
appartient à C

1 ou C

3 (c'est à dire que
=I

n) alors
K =I k aveck n;  si
appartient à C 5 ou C 6 alors
K =[];  si
appartient à C 2 ou C 4 alors
K =
ou
K =[]. Soit k la taille caractéristique de

k. L'opérateur

diag

(
;
K ) est alors f  X;  Y;  Zg dissi-patif avec  X =

diag

(X ;X k ) 8,  Y =

diag

(Y;Y k ),  Z =

diag

(Z ;Z k

)et avec les multiplieurs correspondants:  S = " S    #  G = " G    # ;

où S appartient à S(n) et G à G(n). Par application du théorème d'analyse (3.2.1), le système bouclé est stable etfX

per f ;Y per f ;Z per f g dissipatif si: " M I (n+nw) # T M " M I (n+nw) # <0 où M=P T M

diag

"  Z  S  Y T  S+  G T  Y  S+  G  X  S # ;? " X per f Y per f Y T per f Z per f #! P M :

Le lemme (2.4.1), page 62, est alors appliqué avec:

D = " M 0 0 0 # ; D u = " 0 M u I 0 # ; D y = " 0 I M y 0 # et " X Y Y T Z # = M: 8.X

96 Chapitre 3 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

La condition (2.20) conduit aux deux relations suivantes:

"  X  S  Y  S+  G  Y T  S  Z  S # 2 4 ? ~  Z  T ~  Y T  T +  H T ~  Y  T +  H ? ~ ~ X  T 3 5 =I (3.21) " X per f Y per f Y T per f Z per f #" ? ~ Z per f ~ Y T per f ~ Y per f ? ~ X per f # =I

Considérons la première égalité (3.21).  T et 

H sont découpés de la façon suivante:

 T = " T    # et  H = " H    # ; où T 2S(n) etH 2G(n). D'abord, supposons que 

G=0(
n'appartient pas à la classeC

3). Comme 

Scommute avec 

X,  Y et 

Z, la première égalité (3.21) est impliquée par les égalités suivantes:

" X Y Y T Z #" ? ~ Z ~ Y T ~ Y ? ~ X # = I  S  T = I

Alors, par application du lemme de complétion (6.2) proposé par Packard dans [Pac94],

 S  T =I et  S;  T >0 si et seulement si " S I I T # >0 et rang " S I I T # n+k

Pour toutes les classes, mise à part la classeC

3, les contraintes décrites dans le tableau 3.2 sont obtenues. De plus, la démonstration de ce lemmede complétion suggère une méthode d'obtention de  S à partir de S etT :  S = " S R R T I # ;

avecR telle que:S?T ?1

=RR T.

Maintenant, nous supposons que
2C

3. Dans ce cas-là, X =xI, Y =yI et Z =zI.

~ X, ~

Y and ~

Z sont choisies telles que:

" X Y Y T Z #" ? ~ Z ~ Y T ~ Y ? ~ X # =I Alors, en introduisant =y 2

?xz, la condition (3.21) est équivalente à:

 S  T +y( ?1  G  T +  S  H)+  G  H = I;  G T  T =  S  H;  S  T +y(  S  H T + ?1  G  T +  G T  H T = I En remarquant que  H et 

G sont des matrices anti symétriques, ceci est équivalent à la condition: (  S+? ?1  G )(  T +?  H)=I

Analyse et commande des systèmes par multiplieurs constants 97 avec?=

1=2 I.

Par application du lemme de complétion proposé par Helmersson dans l'article [Hel95b] (voir la section 3.7.1 en annexe de ce chapitre), (

 S+? ?1  G)(  T +?  H) =I et  S;  T >0 si et seulement siS;T >0 et rang

Dans le document Approche Unifiée de l'Analyse et de la Commande des Systèmes par Optimisation LMI (Page 101-106)