Analyse

7 5 2 6 4 q p w 3 7 5 =0:

Les systèmes linéaires stationnaires implicites généralement considérés ont pour équations [Apl91]: " E 0 # _ x= " A C # x+ " 0 B ?I D #" z w # :

La classe des systèmes implicites considérés par Paganini ne les contient pas. Par contre, la classe que nous considérons est susamment générale pour les contenir.

3.2 Analyse

Nous proposons maintenant des critères d'analyse de la stabilité et de la performance, pour les systèmes explicites et implicites et vériables par un programme d'optimisation convexe.

3.2.1 Systèmes interconnectés explicites

Cette section est consacrée à l'analyse des systèmes interconnectés explicites. L'ob-jectif est de proposer des conditions garantissant pour un système interconnecté donné

z = F u

(M;
)w, la stabilité interne et la performance. Cette dernière est évaluée par une propriété defX per f ;Y per f ;Z per f

g dissipativité. Les conditions obtenues sont, sauf cas particuliers, susantes mais aisément vériables puisqu'elles se formulent comme des pro-blèmes d'optimisation convexe sous contraintes LMIs.

Lemme 3.2.1

Le système interconnectéz =F

u (M;
)west stable etfX per f ;Y per f ;Z per f g

dissipatif pour tout
appartenant à
s'il existe des matrices S 2 S(
) et G 2 G(
)

telles que: " M I (n+nw) # T M " M I (n+nw) # <0 (3.2) où3 M=P T M

diag

" ZS Y T S+G YS+G T XS # ;? " X per f Y per f Y T per f Z per f #! P M

De plus, la condition suivante:

" M
1 I n # T " ZS Y T S+G YS+G T XS #" M
1 I n # <0 (3.3)

impliquée par l'inégalité (3.2) assure la stabilité interne.

3. La matriceP

Analyse et commande des systèmes par multiplieurs constants 87

Discussion des conditions du lemme:

les ensembles S(
)et G(
) sont linéaires

et de dimension nie. De plus, les variables S et G apparaissent linéairement dans la condition (3.2). Vérier les conditions du théorème précédent revient donc à résoudre un problème d'optimisation à base de LMIs, plus exactement,un problème de faisabilité (voir section 2.3.4.1, page 57).

Remarque : La contrainte quadratique (3.2), en plus d'être linéaire en S et G et aussi linéaire en X

per f,Y

per f etZ

per f. Une paramétrisation linéaire (implicite) des propriétés de dis-sipativité vériées par les signaux du systèmez=F

u

(M;
)w est ainsi réalisée.

La démonstration s'eectue en trois étapes:

1. le système interconnecté est supposé stable: nous démontrons que sous cette hypo-thèse, l'inégalité LMI (3.2) assure qu'il est {X

per f, Y per f,Z

per f} dissipatif;

2. l'interconnexionest supposée bien posée, c'est-à-dire qu'il existe desp,qetz uniques qui dépendent causalement de w: nous démontrons alors que la condition (3.3) assure la stabilité de l'interconnexion;

3. la troisième étape consiste à démontrer que le bien posé est impliqué par la condi-tion (3.3).

Dans la première étape, la S procédure est appliquée (voir la section 2.3.1, page 49). Dans la seconde, ce qui peut être interprété comme une forme particulière du théorème de séparation des graphes est démontré (voir la section 2.3.2, page 52).

Démonstration

La matriceM est décomposée de la façon suivante:

" q z # = " M
M z #" p w # et M
= h M
1 M
2 i (3.4) où z et wsont les signaux d'entrée et de sortie et q et psont les signaux connectant M à l'opérateur
.

Performance:

le système est supposé stable et bien posé. Il est { X

per f, Y per f, Z

per f } dissipatif si pour tous les signaux z, w, q, pappartenant à L

2 et tels que: " q z # = " M
M z #" p w # ; (3.5) et Z +1 0 " p q # T " XS YS+G T Y T S+G ZS #" p q # 0; (3.6)

la contrainte intégrale suivante est vériée:

Z +1 0 " z w # T " X per f Y per f Y T per f Z per f #" z w # >0: (3.7)

Alors, en utilisant la décomposition de la matriceM et l'égalité (3.5), nous obtenons: (3.7),

0

88 Chapitre 3 Approche unifiée de l'analyse et de la commande avec  0 (p;w )= Z +1 0 " p w # T " M z h 0 I i # T " X per f Y per f Y T per f Z per f #" M z h 0 I i #" p w # ; et (3.6) , 1 (p;w )>0 avec  1 (p;w )= Z +1 0 " p w # T " M
h I 0 i # T " ZS Y T S+G YS+G T XS #" M
h I 0 i #" p w # :

Par utilisation de la S procédure4 dénie page 54,  0

(p;w ) est positif pour tous les signauxpetwtels que

1

(p;w )>0si et seulement si il existe un scalaire positif tel que:

? 0

(p;w )+ 1

(p;w )  0, ce qui est équivalent à la condition (3.2) après l'introduction deM et le changement de notations S!S et G!G.

Stabilité: supposons maintenant que le système est simplement bien posé. Nous de-vons démontrer que la stabilité de l'interconnexion de
avec M

1 est assurée par la condition (3.2). De façon plus précise, la condition (3.2) implique l'inégalité:

" M
1 I n # T " ZS Y T S+G YS+G T XS #" M
1 I n # <0: (3.8)

Nous démontrons maintenant que cette condition assure la stabilité de la boucle. Sans perte de généralité, on peut supposer queS =I et G=0. Nous considérons l'inégalité de dissipativité caractérisant
: pour tous signaux q etp appartenant à L

2 et scalaire T : Z T 0 " p q # T " X Y Y T Z #" p q # 0:

En utilisant les notations de la gure 3.1 page 83, pour toutw 1 etw

2 deL

2, le système est stable si les signaux q et p sont aussi dans L

2. Puisque le système est supposé bien posé,q et p appartiennent à L

2e.

Premièrement, la caractérisation de
entraîne que5:

Z T 0 (q T Zq+(p?w 2 ) T Yq+?+(p?w 2 ) T X(p?w 2 ))dt0; soit: Z T 0 q T Zq+p T Yq+?+p T Xp Z T 0 w T 2 Yq+p T Xw 2 +??w T 2 Xw 2 : (3.9)

La condition (3.8) implique qu'il existe un scalaire >0 tel que:

" M
1 I # T " Z Y T Y X #" M
1 I # ?(M
T 1 M
1 +I):

4. Comme il s'agit de vérier une contrainte pour un ensemble de signaux dénis par une autre contrainte, laS procédure dénie par [Yak73] peut aussi s'appliquer.

Analyse et commande des systèmes par multiplieurs constants 89 Nous obtenons donc pour tout T:

Z T 0 (q?w 1 ) T Z(q?w 1 )+p T Y(q?w 1 )+?+p T Xp)dt? Z T 0 ((q?w 1 ) T (q?w 1 )+p T p)dt; soit Z T 0 (q T Zq+p T Yq+?+p T Xp)dt Z T 0 ?(w T 1 (Z+I)w 1 ?(p T p+q T q)+(q T (I+Z)+p T Y)w 1 +?)dt: (3.10)

Les conditions (3.9) et (3.10) impliquent que:

R T 0 q T q+q T (Yw 2 ?(Z+I)w 1 )+?+p T p+p T (Xw 2 ?Yw 1 )





 R T 0 (w T 2 Xw 2 ?w T 1 (Z+I)w 1 )


0

car X 0et Z 0. En utilisant la complétion des carrés, nous obtenons pour tout T:

R T 0 (q+ 1  (Yw 2 ?(Z +I)w 1 ) T (q+ 1  (Yw 2 ?(Z+I)w 1 )+





(p+ 1  (Xw 2 ?Yw 1 ) T (p+ 1  (Xw 2 ?Yw 1 ) 





1  (Xw 2 ?Yw 1 ) T (Xw 2 ?Yw 1 )+ 1  (Yw 2 ?(Z+I)w 1 ) T (Yw 2 ?(Z+I)w 1 ) (3.11) Par application de l'inégalité triangulaire, pour toutT :

kq+ 1  (Yw 2 ?(Z+I)w 1 )k T  1  (kXw 2 ?Yw 1 k T +kYw 2 ?(Z+I)w 1 k T ) kp+ 1  (Xw 2 ?Yw 1 )k T  1  (kXw 2 ?Yw 1 k T +kYw 2 ?(Z+I)w 1 k T ) Ainsi, commekqk T kq+ 1  (Yw 2 ?(Z+I)w 1 )k T + 1  kYw 2 ?(Z+I)w 1 k T , etc..: kqk T  1  (kXw 2 ?Yw 1 k T +2kYw 2 ?(Z+I)w 1 k T ); kpk T  1  (2kXw 2 ?Yw 1 k T +kYw 2 ?(Z+I)w 1 k T ):

Donc si les entrées w 1 etw

2 sont dans L

2 alors les signaux q et psont aussi dans L 2. Le système bouclé est donc stable.

Bienposé: nous devons prouver le bien posé de la boucle
?M

1. Il est bien connu que l'interconnexion de deux opérateurs causaux est bien posée si et seulement si l'un des deux est strictement causal (voir le livre [Wil69]).

Si
est strictementcausal alors le système bouclé est bien posé. Supposons maintenant que
n'est pas strictementcausal. SoitD

la partie sans mémoirede
. Par un argument basé sur le loop shifting, décrit page 203, vérier le bien posé du système en boucle fermée revient à vérier le bien posé de la connexion D

?M

1.

Supposons que ce système bouclé n'est pas bien posé. Il existe alors un vecteur p6=0

tel que (I ?D
M
1 )p = 0. Soit q = M
1

p. La condition (3.8) implique qu'il existe un scalaire strictement positif tel que:

" p q # T " XS YS+G Y T S+G ZS #" p q # ?(q T q+p T p) (3.12)

Mais les
considérés sont tels que D

satisfait: " p q # T " XS YS+G Y T S+G ZS #" p q # 0 (3.13)

90 Chapitre 3 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

Si p et q sont diérents de 0 alors il y a donc une contradiction entre les contraintes quadratiques (3.12) et (3.13). Le système bouclé original est ainsi bien posé.

2

Dans le même esprit que la section 4.1.1, une version duale de ce lemme peut être aisément obtenue. Pour cela, aux matricesX, Y, Z et X

per f,Y per f, Z

per f, nous associons les matrices duales ~

X, ~ Y, ~ Z et ~ X per f, ~ Y per f, ~ Z

per f telles que:

" X Y Y T Z #" ? ~ Z ~ Y T ~ Y ? ~ X # =I et " X per f Y per f Y T per f Z per f #" ? ~ Z per f ~ Y T per f ~ Y per f ? ~ X per f # =I:

Lemme 3.2.2

Le système interconnecté z =F

u

(M;
)w est stable pour
appartenant à

et fX per f ;Y per f ;Z per f

g dissipatif s'il existe des matrices T 2S(
)et H 2G(
) telles que: " M T I (n+nz) # T M " M T I (n+nz) # <0 (3.14) où6 M=P T M

diag

" ~ ZT ~ Y T T +H ~ YT +H T ~ XT # ;? " ~ X per f ~ Y per f ~ Y T per f ~ Z per f # ! P M

De plus, la condition suivante:

" M
T 1 I n # T " ~ ZT ~ Y T T +H ~ YT +H T ~ XT #" M
T 1 I n # <0 (3.15)

impliquée par l'inégalité 3.14 assure à elle seule la stabilité interne.

3.2.2 Systèmes interconnectés implicites

Nous donnons maintenant une condition susante assurant que le système intercon-necté implicite: M i " p w # = 0
(p) = 0 est stable etX per f dissipatif.

Théorème 3.2.1

Le système interconnecté implicite:

M i " p w # = 0
(p) = 0 est stable et X

per f dissipatif s'il existe un scalaire positif  et deux matrices S et G tels que: M i ? T " X(S;G) 0 0 ?X per f # M i ? ?M i ? T M i ? : (3.16) 6. La matriceP

Analyse et commande des systèmes par multiplieurs constants 91

De plus, la condition suivante:

M i
? T X(S;G)M i
? ?M i
? T M i
? (3.17) (avecM i

une matrice de même dimension que
et telle queM = h M i
? i ) impliquée par l'inégalité (3.16) assure la stabilité du système.

Démonstration

Performance:

le système implicite est supposé stable. Il est X

per f dissipatif si pour tous signaux w etp tels que:

M i " p w # = 0;
(p) = 0;

la contrainte intégrale suivante est vériée:

Z +1 0 w T X per f w0:

La première égalité est équivalente à l'égalité quadratique:

" p w # T M T i M i " p w # =0

et les signaux de la seconde égalité sont englobés dans les signaux générés par l'inégalité:

Z +1 0 p T X(S;G)p0:

Par application de la S procédure, ceci est vrai s'il existe un scalaire positif  et un scalaire tels que:

Z +1 0 " p w # T " X(S;G) 0 0 ?X per f #" p w # + " p w # T M T i M i " p w # <0:

En faisant les changements de variable, S !S et G!G, X(S;G) est remplacé par

X(S;G). Par application du lemme de Finsler qui est:

9 2

R

; G <U T U ,U ? T GU ? <0;

nous obtenons la condition (3.16).

Stabilité:

en reprenant directement la démonstration de la condition de stabilité du

lemme 3.2.1, le système implicite sera stable si:

p T X(S;G)p?p T p pour p vériant M i

p = 0. Par application de la S procédure, ceci est vérié s'il existe un scalaire tel que:

p T X(S;G)p+p T M i
T M i
p?p T p:

92 Chapitre 3 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

Par application du lemme de Finsler, nous obtenons la condition (3.17).

2

Le système explicitez=F u

(M;
)w se met sous la forme implicite suivante:

h I ?M i 2 6 6 6 4 q z p w

Dans le document Approche Unifiée de l'Analyse et de la Commande des Systèmes par Optimisation LMI (Page 95-101)