Théorème de séparation des graphes et analyse de la stabilité

-   6 6   -z w , W(j!) W(j!) ?1 z w

Fig. 2.9  Multiplieurs dépendants,  constant

contraintes quadratiques. Nous allons maintenant rechercher une condition sur l'intercon-nexion garantissant la stabilité du système (sous section 2.3.1) puis une contrainte de performance (sous section 2.3.2), les sous systèmes étant décrits par le ou les contraintes quadratiques qu'ils vérient.

2.3.1 Théorème de séparation des graphes et analyse de la

stabi-lité

Nous avons précédemmentsouligné qu'étudier la stabilité d'une interconnexion de sous systèmes se ramenait à étudier la stabilité de deux opérateurs bouclés, l'un représentant l'interconnexion, l'autre l'ensemble des sous systèmes.

Ce problème a été étudié dans les années soixante par Zames et Sandberg. Leur pré-occupation principale était d'étudier la stabilité de systèmes avec des non linéarités. Les articles fondateurs [San64, San65, Zam66a, Zam66b] exposent une solution élégante, dé-rivée du théorème du point xe. Ce résultat a été généralisé à la n des années soixante dix par Safonov [Saf80]. Ses préoccupations étaient diérentes: son objectif était avant tout d'orir un outil ecace pour l'analyse et la synthèse de lois de commandes robustes pour les systèmes à plusieurs entrées et plusieurs sorties, éventuellement non linéaires et à grande échelle [Saf78]. En eet, à cette époque, les méthodes de synthèse réelle-ment multi boucles se résumaient à la méthode de synthèse LQG où le problème de la robustesse n'était pas pris en compte explicitement. En eet, de bonnes marges de ro-bustesse n'étaient garanties que pour le retour d'état [Doy78] (marge de gain innie et marge de phase d'au moins60

). Parallèlement, pour les systèmes avec une seule boucle, les méthodes de l'Automatique classique permettaient l'obtention ecace de correcteurs assurant de bonnes marges pour le système bouclé. L'idée de base est donc de généraliser le critère de Nyquist en gardant son coté topologique et qualitatif si utile pour la syn-thèse robuste (pour que la stabilité de la boucle fermée soit robuste, le tracé du transfert associé à la boucle ouverte dans le plan de Nyquist doit être susamment éloigné du point?1).

Schématiquement, le critère général de stabilité d'une connexion de deux opérateurs peut s'énoncer comme suit: si le graphe de l'un des opérateurs est topologiquement sé-paré du graphe inverse de l'autre alors leur interconnexion est stable. Par graphe, il faut comprendre les signaux que le système partage avec son environnement. Le résultat de Safonov est très général, trop par rapport au cadre de cette thèse. C'est pour cela que nous

50 Chapitre 2 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

ne considérerons que le corollaire 2.3.1 ci-dessous, qui est un cas particuliers des résultats présentés dans [Saf80]. Il ne faut pas oublier que l'objectif de cette thèse est d'obtenir des critères certes généraux mais avant tout calculables. Ils constituent donc un compromis entre généralité et applicabilité. Dans les chapitres 3 et 5, des formes particulières du théorème de séparation des graphes seront utilisées. Des démonstrations directes simples seront alors proposées.

Corollaire 2.3.1

sys-tème interconnecté est stable s'il existe un secteur F tel que S=

diag

) soit en dehors du secteur et le graphe inverse de l'interconnexion I(:;0) soit strictement à l'intérieur.

Remarque : Le théorème de séparation des graphes s'applique aussi bien sur des modèles implicites qu'explicites. Pour un modèle implicite d'équations:

I(p;w ) = 0; p= 2 6 4 p 1 ... p n 3 7 5 ; S i (p i ) = 0; i=1;


;n

si on sait que l'opérateur regroupant les sous systèmes est en dehors du secteur déni parF = fF 1 ;F 3 g, c'est-à-dire que: Z T 0 (F 1 p) T (F 3 p)dt0

pour l'ensemble des signauxp

i tels queS i

(p i

)=0, la stabilité du système sera démontrée si:

Z T 0 (F 1 p) T (F 3 p)dt< Z T 0 p T pdt;

pour les signauxp vériantI(p;0)=0.

Remarque : Ce corollaire admet comme conséquences les théorèmes du petit gain, de la passivité et du cercle tels qu'ils sont présentés par Zames, par exemple [Zam66a, DV75].

Nous présentons maintenant un exemple simple mais néanmoins signicatif14.

Exemple illustratif: connexion d'une matrice avec une non linéarité statique.

Cet exemple permet d'illustrer le théorème précédent: soit un système à une entrée, une sortie qui est la connexion d'une matrice et d'une non linéarité statique f:

" q z # = " a b c d #" p w # p = f(q)

où a 6= 0. La courbe caractéristique de f et la droite d de pente 1=a sont tracées sur la gure 2.10: elles correspondent respectivement au graphe de f et au graphe inverse de

q=ap.

L'application du corollaire précédent indique que s'il est possible de séparer les deux courbes par deux droites en traits tirés (voir la gure 2.10) alors le système bouclé est

14. C'est une façon de mettre en ÷uvre le principe suivant du à Safonov:

Principle (Simple Case First)Consider rst only the very simplest problem - but strive for a repre-sentation of the simplest problem which generalizes easily.[FT95]

Interconnexion, dissipativité et optimisation 51 0 f(q) q p d

Fig.2.10  Exemple du théorème de séparation des graphes

stable. Cela garantit que les deux courbes ne se coupent qu'en 0. Dans ce cas-là, le corollaire exprime que si les signaux externes sont nuls alors la seule valeur possible pour

p et q est zéro. De plus, les droites en traits tirés qui délimitent les deux secteurs sont choisies parmi une innité de droites possibles.

Dans ce qui suit, nous nous restreindrons à des contraintes secteurs de type quadra-tique. Par suite, vérier la stabilité revient à vérier des contraintes inégalités sur des ensembles de signaux générés par les équations du modèle. Nous nous restreindrons no-tamment à considérer des secteurs avec des bornes linéaires. Cela correspond à l'impératif d'obtenir des critères calculables. Avec ce résultat, l'optimisation apparaît comme un outil naturel d'analyse de la stabilité.

D'autre part, nous avons introduit dans la section 2.2.2 l'idée de paramétriser les condi-tions de secteur vériées par les sous systèmes. Le corollaire 2.3.1 indique une condition susante de stabilité du système interconnecté à partir d'une condition de secteur vériée par les sous systèmes. Cela suggère que l'étude de la stabilité peut se ramener à rechercher une condition de secteur vériée par les sous systèmes parmi la paramétrisation (partielle) de celles-ci an de satisfaire les conditions du corollaire 2.3.1.

Exemplede motivation: analyse d'un système linéaire stationnaire.

cher-chons à établir une condition assurant la stabilité d'un système linéaire stationnaire de représentation d'état: _ x = Ax x = R _ x:

Nous avons vu que ce systèmepeut s'interpréter commeune interconnexion d'intégrateurs. Les signaux aux bornes des intégrateurs vérient les contraintes inégalités suivantes:

8T >0; Z T 0 _ x(t) T Px(t) 0;

paramétrisées par la matrice dénie positive P. Par application du corollaire 2.3.1, ce système est stable s'il existe une matriceP dénie positive telle que:

A T

P +PA<0

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