Synthèse de correcteurs et problèmes de complétion

m X i=1 i()Fi()>0; (2.15)

où les i sont les variables contraintes, fonctions de  dans R et où les Fi sont m+1

matrices symétriques de fonctions bornées de  dans R nn.

De telles contraintes apparaîssent dans [LD93, LD95] où elles portent le nom de LMIs non linéaires car elles sont utilisées pour la synthèse de lois de commande pour des sys-tèmes non linéaires. Nous les qualions de LMIs innis car il s'agit de rechercher des fonctions de , vériant un nombre inni de LMIs paramétrées par .

Une question naturelle apparaît: si les Fi sont des fonctions continues de  et si pour toute valeur  appartenant à , l'inégalité (2.15) est vériée, est-ce qu'il est possible de trouver des fonctionsi continues en? La réponse est armative et cela a été démontré dans [LD93].

2.3.4.4 LMIs fréquentielles innies

Dénition 2.3.3 Une inégalité matricielle ane fréquentielle innie est une inégalité matricielle de la forme: 8!2  R; F1f(;j!)=F0 (j!)+ m X i=1 i(j!)Fi(j!)>0; (2.16)

où les i sont les variables contraintes, fonctions de jR dans C et où les Fi sont m+1

matrices hermitiennes de fonctions de jR dans C.

D'après [Cho96], si l'inégalité matricielle (2.16) est vériée pour chaque valeur ! de



R alors il existe des fonctions continues i telles que l'inégalité soit vraie. De plus, les i

peuvent être prises dans RL

1, sans pôles sur l'axe imaginaire.

2.4 Synthèse de correcteurs et problèmes de complétion

La problématique de la commande peut s'énoncer ainsi:

Comment compléter une interconnexion de sous systèmes de telle façon que l'interconnexion nale soit stable et possède les propriétés de performance désirées? Synthétiser une loi de commande revient donc à déterminer un système interconnecté tel que reliée au système à commander, l'interconnexion totale est stable et possède le niveau de performance désiré (voir gure 2.11). Cette question montre bien que la problématique de la commande est très proche de la problématique de la conception des systèmes. Le problème de la commande est donc un problème de complétion: vulgairement dit, la loi de commande, c'est ce que l'on doit ajouter à l'interconnexion pour obtenir ce que l'on veut. Si le système est modélisé par des opérateurs, nous sommes donc ramenés à un problème de complétion d'opérateurs.

Interconnexion, dissipativité et optimisation 61 S n S 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... I w p 1 p n ... K I K 1 K k u Loi de commande Système

Fig. 2.11  Système interconnecté avec une loi de commande

D'autre part, il est désirable de limiter la complexité voire de xer la structure de la loi de commande. D'une manière générale, ce type de problème est complexe. Des solutions élégantes au problème de synthèse existent dans un certain nombre de cas; néanmoins, pour obtenir une solution pratiquement calculable, la structure n'est pas xée a priori. Une illustration très intéressante des points précédents est la méthode de synthèse H

1. Nous allons nous y attarder car elle illustre bien l'approche adoptée dans cette thèse.

Le problème H

1 a d'abord été abordé dans le domaine fréquentiel, ce qui semble cohérent avec la dénition de la normeH

1.

La première approche a consisté à paramétriser les fonctions de transfert en boucle fermée en fonction du paramètre de Youla Q, fonction de transfert causale et stable [NJB84, FD87, SJVL87]. Le problèmeH

1 s'énonce alors comme suit: pour T 1 (s), T 2 (s) et T 3

(s) trois fonctions de transfert causales et stables données, trouver une quatrième fonction de transfertQ(s) causale et stable telle que:

8!2R; (T 1 (j!)+T 2 (j!)Q(j!)T 3 (j!))  (T 1 (j!)+T 2 (j!)Q(j!)T 3 (j!))<I:

Il s'agit donc d'un problème de complétions d'opérateurs semblable à celui traité par Parrott dans [Par78] ou Davis et al. dans [DKW82], sauf qu'ils n'ont pas considéré queQ

étaitstableetcausal. La diculté vient de ce point-là: l'opérateur à éliminerdoit vérier un certain nombre de propriétés importantes. Cette approche a mené à une solution du problème de formulation et de mise en ÷uvre complexes [GLD+91].

Deux alternatives ont été proposées, la première menant à des équations de Ric-cati [DGKF89], la seconde à un problème d'optimisation à base de LMIs [GA94]. D'une part, par application du lemme réel borné (le bounded real lemma de la littérature anglo-saxonne [BEFB94]), ces deux méthodes travaillent dans le domaine temporel au lieu de travailler dans le domaine de Laplace. D'autre part, (et ceci est surtout vrai pour

62 Chapitre 2 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

la seconde méthode) une interprétation en terme de systèmes interconnectés peut être obtenue: les systèmes linéaires apparaîssent comme des interconnexions d'intégrateurs. Le correcteur recherché est lui-même une interconnexion d'intégrateurs. Leur nombre est contraint par la recherche d'une formulation convexe du problème. Reste alors comme in-connue la matrice d'interconnexion du correcteur (matrices d'une représentation d'état). Alors que précédemmentil était nécessaire d'éliminerun opérateur avec des propriétés bien particulières (causalité et stabilité), avec cette approche il sut d'éliminer une matrice réelle qui a pour seule contrainte le fait d'avoir une certaine dimension. Cette approche est donc beaucoup moins complexe.

Cela reète bien la philosophie adoptée dans cette thèse: essayer d'obtenir les formu-lations les plus simples possibles et, pour cela, essayer de ramener, autant que possible, les problèmes de synthèse à des problèmes de complétion sur des matrices sans propriétés particulières.De manièregénérale, les correcteurs recherchésdans cette thèse se présentent comme des interconnexions de sous systèmes. L'interconnexion est recherchée sous forme d'une matrice constante K et les sous systèmes sont déterminés à partir de ceux du système. Par application des critères d'analyse LMIs obtenus par la démarche proposée précédemment nous verrons dans le chapitre 3 revient à rechercherK telle qu'une certain matrice dépendante deK soit dénie négative.

Pour tester l'existence de la matriceK tel que l'inégalité soit vériée sans la calculer explicitement (dans un premier temps), nous utiliserons le lemme suivant qui peut être désigné comme

lemme de complétion

ou

d'élimination

. C'est la généralisation de diérents résultats proposés par [BEFB94, GA94, PZP+92].

Lemme 2.4.1

Considérons la matrice D 2

R

nn et les matrices de rang plein D

u 2

R

nk, D

y

2

R

ln avec k  n et l  n. Soient les matrices X ;Y;Z 2

R

nn telles que

X =

diag

(0;X 2 ), Y =

diag

(Y 1 ;Y 2 ) et Z =

diag

(Z 1 ;Z 2 ). X 2, Y 2 et Z

2 sont des matrices de

R

pp avec pn. Supposons que X 2 >0 et que " X Y Y T Z #

est une matrice de rang plein.

Il existe alors une matrice K 2

R

k l telle que

" D+D u KD y I n # T " X Y Y T Z #" D+D u KD y I n # <0 (2.17) si et seulement si D y ? T " D I n # T " X Y Y T Z #" D I n # D y ? <0 (2.18) D T u ? T " D T I n # T " ~ X ~ Y ~ Y T ~ Z #" D T I n # D T u ? <0 (2.19) avec ~ X, ~ Y et ~

Z des matrices dénies par:

" X Y Y T Z #" ? ~ Z ~ Y T ~ Y ? ~ X # =I (2.20)

De plus, si les conditions (2.19) sont vériées alors une matrice K satisfaisant (2.17) est donnée par:

K = ? ?1 UV T (VV T ) ?1 
= ( ?1 U T U ?G) ?1 (2.21)

Interconnexion, dissipativité et optimisation 63

avec G, U and V les matrices:

G =

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