Commande décentralisée

L'analyse et la commande décentralisée des systèmes linéaires stationnaires sont des sujets très étudiés depuis vingt ans7. Cette forme de commande repose sur la décompo-sition d'un système en sous systèmes interconnectés. Au niveau de chaque sous système, une loi de commande locale est synthétisée an d'assurer la stabilité du sous système: c'est l'objectif local. D'autre part, l'ensemble des lois de commande locales doit assurer stabilité et performance pour le système total. C'est l'objectif global. L'ensemble de lois de commande forme la loi de commande décentralisée. Nous pensons que ce caractère local/global est le point important de la commande décentralisée.

En dépit de nombreux travaux sur ce sujet, la synthèse de lois de commande décentra-lisées reste un problème ouvert en général. Le problème de stabilisation par retour d'état décentralisé a été démontré être NP dicile dans le cas où les éléments de la matrice des gains sont bornés [BT95]. Le problème de commande décentralisée se met naturellement sous forme d'un problème basé sur des BMIs [SC96]. Une première tentative peut être d'essayer de résoudre de façon heuristique le problème BMI [SC96] ou de modier les conditions an d'obtenir des conditions LMIs [GBP94]. Une autre possibilité consiste à reformuler le problème de façon sans doute conservative mais convexe. C'est l'approche que nous avons adoptée.

Deux approches classiques sont possibles pour la synthèse de lois de commande dé-centralisées [SM89]: la synthèse séquentielle [MS94] et la synthèse indépendante de lois de commande locales. La seconde méthode consiste à synthétiser indépendamment les lois de commande locales et à vérier ensuite les propriétés du système bouclé global. Ce processus est itératif, par essais/erreurs [LM76].

Dans cette section, nous proposons une approche directe évitant le processus essais/ erreurs et capable de tenir explicitement compte du caractère local/global de la com-mande décentralisée. Les deux étapes sont accomplies en même temps: la synthèse de chaque loi de commande locale est contrainte par les objectifs globaux de la synthèse. Cela est réalisé en contraignant chaque sous système à avoir un comportement entrée/sortie cohérent avec l'objectif global de performance. Le comportement entrée/sortie d'un sous système est caractérisé par une propriété de dissipativité. Nous allons nous appuyer sur les résultats que nous avons proposés dans la section 4.3.2 sur les propriétés qu'il est possible de conférer à un sous système par commande. D'autre part, par application du théorème de séparation des graphes, nous assurerons que, connaissant les propriétés de dissipativité, l'interconnexion des sous systèmes reste stable. Nous avons précédemment proposé des formulations convexes pour ces deux problèmes.

Systèmes à grande échelle:

un système à grande échellepeut être modélisé comme

une interconnexion de n sous systèmes. Le iieme sous système est désigné par Si. Leur interconnexion est décrite par le système linéaire stationnaire M. Le système à grande échelle a donc la représentation suivante:

z(t)=Fu(M;S)w (t) avec S =

diag

(Si):

Le signal z(t)2

R

nz est la sortie du système à grande échelle et le signal w (t)2

R

nw est le signal de perturbation en entrée. En introduisant les signaux internes p(t) et q(t), ce

Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 115 modèle peut être réécrit:

" q(t) z(t) # =M " p(t) w (t) #! et p(t)=S(q(t)): (4.17)

Chaque sous système en boucle ferméeSi est le bouclage du iieme sous systèmeHi du système en boucle ouverte et de la loi de commandeKi:

Si =Hi?Ki: (4.18)

L'ensemble des lois de commande Ki forment la loi de commande décentraliséeK.

M

y1 u1 q K H 1 1 1 p1 ui yi K_i H_i qi pi n u yn H K n n qn pn p q z _w

Fig.4.2  Système à grande échelle

Nous recherchons des conditions susantes pour l'existence d'une loi de commande décentralisée qui assure:

 la stabilité de chaque sous système et du système global;  une normeH

1 inférieure à un certain niveau entre l'entréew et la sortie z. Les représentations d'état de l'interconnexionM:

M : 2 6 4 _ x q z 3 7 5 = 2 6 4 A Bp Bw Cq Dqp Dqw Cz Dzp Dzw 3 7 5 2 6 4 x p w 3 7 5

et des sous systèmesHi:

Hi : 2 6 4 _ xi pi yi 3 7 5 = 2 6 4 Ai Biq Biu Cip Dipq Dipu Ciy Diyq 0 3 7 5 2 6 4 xi qi ui 3 7 5

sont introduites avec

p= 2 6 4 p 1 . . . pn 3 7 5 ; q = 2 6 4 q 1 . . . qn 3 7 5 :

116 Chapitre 4 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

Commande

H

1

décentralisée par retour d'état:

dans ce paragraphe, nous

consi-dérons le cas où nous avons accès à la mesure de l'état xi de chaque sous système Hi, c'est-à-dire le cas où Ciy =I et Diyq =0.

Corollaire 4.3.4

Il existe une loi de commande décentralisée H

1 par retour d'état as-surant pour le système global (4.17) la stabilité et une norme H

1 inférieure à entre l'entrée w et la sortie z et pour chaque sous système la stabilité s'il existe des matrices symétriques Q, Qi, Xi, Zi et Yi, i=1;:::;n telles que:

Q>0; Qi>0; X >0; Z<0; (4.19) 2 6 6 6 6 6 6 6 4 AT CTq CTz BTp DTqp DTzp BTw DTqw DTzw I 0 0 0 I 0 0 0 I 3 7 7 7 7 7 7 7 5 T2 6 6 6 6 6 6 6 4 0 0 0 Q 0 0 0 X 0 0 Y 0 0 0 I 0 0 0 Q 0 0 0 0 0 0 YT 0 0 Z 0 0 0 0 0 0 ? 2 I 3 7 7 7 7 7 7 7 5 2 6 6 6 6 6 6 6 4 AT CTq CTz BTp DTqp DTzp BTw DTqw DTzw I 0 0 0 I 0 0 0 I 3 7 7 7 7 7 7 7 5 <0; (4.20) UTi 2 6 6 6 4 AiT CizT BiwT DizwT I 0 0 I 3 7 7 7 5 T2 6 6 6 4 0 0 Qi 0 0 ?Zi 0 ?YTi Qi 0 0 0 0 ?Yi 0 ?Xi 3 7 7 7 5 2 6 6 6 4 AiT CizT BiwT DizwT I 0 0 I 3 7 7 7 5 Ui 0; (4.21) " DizwT I #T" Zi Yi YTi Xi #" DizwT I # 0; (4.22) avec

X=diag (Xi); Y =diag (Yi); Z =diag (Zi); Ui = h

BiuT DipuT i ?

:

Démonstration

D'après la section 4.3.2, la condition (4.21) couplée à la condition Qi>0 assure pour le iieme sous système (i allant de 1 à n) l'existence d'une loi de commande par retour d'état ui = Kixi telle que le sous système bouclé est stable et son dual est {Zi, YTi,

Xi} dissipatif. Par suite, le dual de H =

diag

(Hi) est {?Z, ?YT, ?X} dissipatif avec

X =

diag

(Xi), Y =

diag

(Yi) et Z =

diag

(Zi).

Par application de la version duale du théorème de séparation des graphes 5.3.4 pré-senté page 179, la connexion deH etM est stable si le dual deM est {X,Y,Z} dissipatif. Par application du lemme 4.1.2, nous obtenons la condition (4.20).

2

Commande

H

1

décentralisée par retour de sortie

Nous considérons maintenant

le cas général, c'est-à-dire la commande du système à partir de la seule mesure de y.

Corollaire 4.3.5

Soienti des matrices inversibles xées. Il existe une loi de commande

décentralisée H 1

K assurant pour le système global (4.17) la stabilité et une norme H 1

inférieure à entre l'entrée w et la sortie z et pour chaque sous système la stabilité s'il existe des matrices symétriques Q, Pi, Qi et des scalaires réels xi, yi et zi, i = 1;:::;n

tels que: Q>0; " Pi I I Qi # 0; X>0; Z <0 (4.23)

Analyse et commande par multiplieurs constants: études de cas 117 2 6 6 6 6 6 6 6 4 AT CTq CTz BTp DTqp DTzp BTw DTqw DTzw I 0 0 0 I 0 0 0 I 3 7 7 7 7 7 7 7 5 T2 6 6 6 6 6 6 6 4 0 0 0 Q 0 0 0 X 0 0 Y 0 0 0 I 0 0 0 Q 0 0 0 0 0 0 YT 0 0 Z 0 0 0 0 0 0 ? 2 I 3 7 7 7 7 7 7 7 5 2 6 6 6 6 6 6 6 4 AT CTq CTz BTp DTqp DTzp BTw DTqw DTzw I 0 0 0 I 0 0 0 I 3 7 7 7 7 7 7 7 5 <0; (4.24) UiT 2 6 6 6 4 AiT CizT I 0 BiwT DizwT 0 I 3 7 7 7 5 T 2 6 4 " 0 Qi Qi 0 # 0 0 i 3 7 5 2 6 6 6 4 AiT CizT I 0 BiwT DizwT 0 I 3 7 7 7 5 Ui 0 (4.25) VTi 2 6 6 6 4 Ai Biw I 0 Ciz Dizw 0 I 3 7 7 7 5 T2 6 6 6 6 4 " 0 Pi Pi 0 # 0 0 ?Ti " ziI yiI yiI xiI # i 3 7 7 7 7 5 2 6 6 6 4 Ai Biw I 0 Ciz Dizw 0 I 3 7 7 7 5 Vi0; (4.26) avec i =? " 0 I ?I 0 # ?1 i " ?xiI yiI yiI ?ziI # ?T i " 0 ?I I 0 # ; X = diag h ?I 0 i ?1 i " ?xiI yiI yiI ?ziI # ?T i " ?I 0 #! ; Y = diag h ?I 0 i ?1 i " ?xiI yiI yiI ?ziI # ?T i " 0 I # ! ; Z = diag h 0 I i ?1 i " ?xiI yiI yiI ?ziI # ?T i " 0 I #! ; Ui = h BiuT DipuT i ? ; Vi = h Ciy Diyq i ? :

Démonstration

La démonstration est une adaptation de celle du corollaire 4.3.4 en s'appuyant sur le corollaire 4.3.3 de la section 4.3.2.

2

Comme dans le cas du retour d'état, les conditions (4.25) et (4.26) avec la condition:

"

Pi I I Qi

# 0

assurent qu'il existe une loi de commandeKi qui stabilise leiieme sous système assure une propriété de {i 11,i 12,i 22} dissipativité avec: " i 11 i 12 i 12 T i 22 # =Ti " ziI yiI yiI xiI # i:

118 Chapitre 4 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

La condition (4.24) assure que le dual de l'interconnexion M a un comportement en-trée/sortie compatible avec les propriétés de dissipativité des sous systèmes et l'exigence de stabilité du système interconnecté.

Remarque : Pour un sous systèmeS

i, les propriétés de dissipativité obtenues peuvent être interprétées comme une information pour le correcteur K

i sur les autres sous systèmes et le schéma d'interconnexion.

Discussion du résultat: chaque sous système bouclé étant stable, la conditionZ <0

assure lastabilité connective dénie dans [SV76, Sil91], c'est-à-dire que si un ou plusieurs sous systèmes ne sont plus connectés alors le système global est encore stable.

Toutes les conditions proposées pour la commande décentralisée se formulent sous forme de problèmes d'optimisation sur des contraintes LMIs. Le conservatisme de la so-lution proposée vient, d'une part, de l'utilisation des propriétés de {

11, 12,

22} dissi-pativité pour caractériser chaque sous système, et d'autre part, dans le cas du retour de sortie, du fait de xer les matrices

i a priori. Dans le chapitre 5, nous introduirons la no-tion plus riche de {

11

(j!), 12

(j!), 22

(j!)} dissipativité. Dans ce cas-là, le problème de synthèse est malheureusement très complexe. Notons, enn, que pour des sous systèmes à une entrée et une sortie, les matrices

i peuvent être prises égales à I

2 sans perte de généralité.

Les conditions du corollaire 4.3.5 doivent être vériées simultanément. Cela peut être diciledans le cas où le système est vraimentà grande échelle.Le problèmed'optimisation correspondant peut alors être de taille trop importante pour être résolu ecacement. Nous avons proposé une solution heuristique à ce problème. Par soucis de brièveté, nous n'abordons pas ce point ici. Le lecteur intéressé peut se reporter à la version complète [SD97b] de notre article [SD97a].

La méthode de synthèse de correcteurs décentralisés que nous proposons peut être interprétée comme une généralisation de méthodes antérieures qui réalisent des correc-teurs locaux assurant une propriété de dissipativité xé a priori (atténuation de gain ou passivité) pour chaque sous système local (voir par exemple [HSS82]).

Dans le document Approche Unifiée de l'Analyse et de la Commande des Systèmes par Optimisation LMI (Page 123-127)