Analyse de la performance

∆ ∆ ∆(s) ... ... ... ... 1 i n ... ...

M(s)

p(s) w(s) z(s) q(s)

Fig. 5.1  Analyse de la performance de systèmes incertains

linéaires incertains. Elle permet à la fois d'étudier et de caractériser les propriétés en-trée/sortie des interconnexions. La contribution majeure est de mettre en lumière un ensemble de propriétés de dissipativité qu'il est possible de paramétriser. Une application intéressante est l'analyse de systèmes à grande échelle. L'exemple des retards est pris à titre illustratif. La généralisation à un cadre non linéaire, non stationnaire est enn abor-dée. Dans ce contexte, un certain nombre de nouveaux critères sont proposés. Enn, nous ferons un parallèle entre les techniques de multiplieurs fréquentiels et les techniques de multiplieurs dépendant de paramètres avant de terminer sur une discussion du calcul des conditions proposées.

5.1 Limitations de la formulation



de l'analyse de la

robustesse

5.1.1 Analyse de la performance

Nous considérons, dans cette section, la modélisation sous-jacente aux outils de 

analyse. Un système linéaire stationnaire incertain y apparaît comme l'interconnexion d'une matrice de transferts stables M(s) et d'une matrice bloc diagonale de perturba-tions stables
(s) = diag(

i

(s)) où chaque bloc
i

(s) représente soit une incertitude paramétrique (
i =  i I n i avec 

i un paramètre réel constant), soit une incertitude sur la dynamique du système (

iest un transfert stable) [SA81, DS81, Saf82, DWS82].
décrit alors l'ensemble des transferts de cette structure tout en ayant sa normeH

1 inférieure à

1. Nous introduisons enn l'ensemble
déni par:

=f
j
=diag(
i

)g:

L'interconnexion s'écrit alors:

" q(s) z(s) # = M(s) " p(s) w (s) # p(s) =
(s) q(s): (5.1) Etant donné l'ensemble
, nous désirons étudier la performance du système entre l'entréew et la sortie z. D'après les discussions du chapitre 2, ce problème se ramène à

Analyse des systèmes par multiplieurs dépendants 153 étudier les contraintes quadratiques que vérient les signaux z etw. Nous allons d'abord examiner comment les approches standards de l'analyse de la robustesse abordent ce problème.



-analyse [Doy85]:

étant donnés deux transferts stables W

1

(s) et W 2

(s), ce dernier étant inversible, est-ce que5:

8
2
; kW 1 (s)F u (M(s);
(s))W 2 (s)k 1 1 ? D'après les résultats du chapitre 2, cette spécication sur la normeH

1 peut se réécrire comme une contrainte quadratique sur la transformée de Fourier des signaux z etw:

8!2

R

; " z(j!) w (j!) #  " ?W 1 (j!)  W 1 (j!) 0 0 W 2 (j!) ? W 2 (j!) ?1 #" z(j!) w (j!) # 0:

Il est possible de se ramener à la vérication de contraintes quadratiques plus générales en transformant le transfert M(s) par des opérations de loop shifting (voir sections 5.2.1 et 5.8.1 ).

En résumé, la analyse teste si une contrainte quadratique donnée est vériée par les signaux d'entrée et de sortie du système incertain.



-analyse [FT92]:

étant donnés deux transferts stables W

1

(s) et W 2

(s), ce dernier étant inversible, trouver le plus petit scalaire  tel que:

8
2
; kW 1 (s)F u (M(s);
(s))W 2 (s)k 1 :

Ce problème de minimisation de la normeH

1 peut se réécrire comme un problème d'op-timisation sous une contrainte quadratique sur la transformée de Fourier des signauxz et

w: _minimiser  2 tel que 8! 2

R

; " z(j!) w (j!) #  " ?W 1 (j!)  W 1 (j!) 0 0  2 W 2 (j!) ? W 2 (j!) ?1 #" z(j!) w (j!) # 0:

Contrairement à la  analyse, la  analyse recherche dans une famille de contraintes quadratiques de structure particulière paramétrées par le scalaire, celle qui décrit de la façon la plus ne possible (suivant un certain critères) l'ensemble des signaux z etw.

Analyse par multiplieurs de Popov généralisés [SL93, LSC94]:

dans cette

approche, l'hypothèse que
est de normeH

1inférieure à1est remplacée par
négative, c'est-à-dire que
(j!)+
(j!)



0. La dénition de
est modiée en conséquence. Le but de cette approche est alors de vérier que:

8
2
; F u (M(s);
(s))+F u (M(s);
(s))  0:

Par loop-shifting [SL93], le problème de  analyse peut se ramener à ce problème (et inversement).

5. Cette spécication de performance est habituellement transformée en une spécication de stabilité contre un bloc de perturbation ctif de normeH

154 Chapitre 5 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

Discussion: ces deux outils sont-ils susants dans le contexte de l'étude de la perfor-mance? Un exemple simple va nous permettre de mettre en lumière leurs limites. Pour cela, considérons le problème de la distance à la passivité qui se pose dans le domaine de la téléopération [And92]. Il revient à minimiser la grandeur  telle que le transfert

F u (M(s);
(s))vérie [Wen88]: F u (M(s);
(s))+F u (M(s);
(s))  +2I >0: (5.2)

Si le scalaire  est négatif alors le système de transfert F u

(M(s);
(s)) est passif. Si 

est positif alors il constitue un indicateur de la distance du transfert F u

(M(s);
(s)) à la passivité. Essayons de traiter ce problème par application de la  analyse. Pour une valeur de donnée, vérier la contrainte (5.2) revient à vérier que [Fon95]:

(F u (M(s);
(s))+(+1)I)(F u (M(s);
(s))+(?1)I) ?1 1 1:

Si le plus petit  est recherché, il est alors nécessaire de résoudre une série de problèmes de analyse. L'outil de  analyse n'est donc pas adapté pour ce problème.

La  analyse est-elle plus pertinente? Dans ce cadre-là, ce problème se formalise de la façon suivante: minimiser  tel que k(F u (M(s);
(s))+(+1)I)(F u (M(s);
(s))+(?1)I) ?1 k 1  :

Si l'optimum est diérent de 1 alors nous avons:

( 2 ?1)F u (M(s);
(s))  F u (M(s);
(s))+(( 2 +1)+( 2 ?1))





(F u (M(s);
(s))  +F u (M(s);
(s)))+( 2 ?1) 2 +2( 2 +1)+( 2 ?1)>0:

Par rapport au problème posé, l'optimum obtenu, s'il est diérent de 1, ne correspond donc à rien.

L'approche par multiplieurs de Popov généralisés est plus adaptée même si elle se propose de vérier le critère de performance que pour une valeur de donnée.

Cet exemple met en évidence le manque de exibilité des outils actuels d'analyse de la performance robuste, ce qui est très gênant pour traiter certains problèmes. Pour remédierà cette insusance, nous proposons de mesurerla performance par une contrainte quadratique de la forme: 8! 2R; " z(j!) w (j!) #  (j!) " z(j!) w (j!) # 0 avec(j!)= 0 (j!)+k k (j!). 0 (j!)et k

(j!)sont xées et le paramètrek est laissé libre. Il est alors possible de rechercher le plus grand k tel que la contrainte quadratique précédente soit vériée. Pour le problème donné en exemple, nous avons:

 0 (j!)= " 0 I I 0 # ;  k (j!)= " 0 0 0 I # ; et k =2:

Le problème peut être généralisé en recherchantk fonction de la fréquence. Cette formu-lation va être développée dans ce chapitre.

Analyse des systèmes par multiplieurs dépendants 155 ∆ ∆ ∆ ∆(s) ... ... ... ... 1 i n ... ...

M(s)

q(s) p(s)

Fig. 5.2  Analyse de la stabilité de systèmes incertains

Dans le document Approche Unifiée de l'Analyse et de la Commande des Systèmes par Optimisation LMI (Page 161-164)