Caractérisation du comportement entrée/sortie

La première caractérisation d'un système qui apparaît naturellement est la stabilité: l'opérateur associé au système est borné. Néanmoins, le fait qu'un système soit stable donne peu d'informations sur son comportement eectif. Un outil de description plus n doit être donc proposé. D'autre part, la description obtenue doit mener à des critères calculables. C'est pour cela que nous nous proposons de caractériser le comportement d'un système (même non linéaire) par des fonctions linéaires appelées pondérations ou gabarits.

Une expérience imaginaire:

pour illustrer cela, considérons un système causal et

stable
avec un vecteur d'entréeqde dimensionn

q et un vecteur de sortiepde dimension

n

p, tous deux de carré intégrable. Le comportement entrée / sortie du système peut être caractérisé par une fonction de transfert stable U telle que:

Z +1 0 U " p(t) q(t) #!! T " ?I np 0 0 I n q # U " p(t) q(t) # ! dt0: (2.5)

U est appelée fonction de pondération ou gabarit. Pour la déterminer, il faut imaginer l'expérience [MR95] décrite gure 2.5. Dans cette expérience, des signaux de L

2 sont R j:j 2 dt R j:j 2 dt   ?
- -? 6 -
U + ? 0 q p

Fig. 2.5  Comportement entrée sortie et contraintes quadratiques intégrales

envoyés à l'entrée q du système
et sa sortie p est mesurée. Les deux signaux sont ensuite ltrés par la fonction de transfert U et les carrés de leurs énergies (calculés par

R j:j

2

dt) sont comparés. Le ltre U est sélectionné an que la diérence d'énergie soit positive. Il est donc représentatif du comportement entrée/sortie de
. Bien sûr, pour un système
donné, la fonction de pondération U n'est pas unique. D'autre part, une fonction de pondération U peut caractériser une famille de systèmes
. De ce fait, à tous

Interconnexion, dissipativité et optimisation 39 les éléments
d'une famille
de systèmes peut être associées une ou plusieurs fonctions de pondération U.

Domaine fréquentiel, domaine temporel:

le théorème de Parseval permet de faire

le pont entre les contraintes sur les signaux décrits dans le domaine temporel et dans le domainefréquentiel. Par son application, l'inégalité quadratique (2.5) sur des signaux dans le domaine temporel est équivalente à une inégalité quadratique sur la transformée de Laplace de ceux-ci: Z +1 ?1 " p(j!) q(j!) #  U(j!)  " ?I np 0 0 I n q # U(j!) " p(j!) q(j!) # d! 0:

Cette dernière inégalité est intéressante car elle est quadratique. En eet, l'objectif est d'obtenir des critères calculables et pour cela nous cherchons à nous ramener à des formu-lations mathématiques adéquates. Nous verrons dans la suite de ce chapitre que mettre le problème sous forme de contraintes quadratiques est eectivement un choix pertinent du fait de la puissance des résultats mathématiques et algorithmiques associés.

Le cas où U est une matrice de gain sera étudié dans le chapitre 3 et le cas où U est un système linéaire stationnaire stable dans le chapitre 5. Dès à présent, nous pouvons remarquer que:

 si U(j!) = I alors le système en plus d'être stable n'amplie pas l'énergie: on dit que le système
est de gain L

2 inférieur à un;  siU(j!)= " I ?I I I # avec n p =n

q alors le système
est dit passif, c'est-à-dire:

Z 1 0 p(t) T q(t)0:

Contraintes quadratiques intégrales et normes induites:

dans la suite de ce

mémoire, nous ferons largement appel à ces contraintes quadratiques intégrales dont nous introduisons la dénition ici.

Dénition 2.2.1

Une contrainte quadratique intégrale est dénie par une fonction bornée

(j!) de j

R

dans C 2n2n telle que: (w )= Z +1 ?1 " q(j!) p(j!) #  (j!) " q(j!) p(j!) # d!:

On peut distinguer les cas:

 (w )0: contrainte quadratique integrale inégalité;  (w )=0: contrainte quadratique integrale égalité.

Dans l'inégalité (2.5), la fonction(j!)correspondante a une contrainte sur son iner-tie4. En eet, puisque:

(j!)=U(j!)  " ?I n p 0 0 I nq # U(j!)

4. L'inertie d'une matrice est le triplet constitué par les nombres de valeurs propres négatives, nulles et positives. Elle est dénie page 7, dans les notations.

40 Chapitre 2 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

la matrice (j!) a n valeurs propres positives et n négatives. C'est à cause de cette contrainte qu'elle est qualiée de dure [MR95]. Si cette contrainte est relaxée, la contrainte est dite douce. Dans le cadre de cette thèse, nous considérons des contraintes dures car les démonstrations sont simpliées tout en permettant de remplir les objectifs que nous poursuivons. La formulation des contraintes quadratiques intégrales a, de plus, la propriété intéressante de ne pas faire la distinction entre signaux d'entrée et signaux de sortie. Par suite, elles sont tout à fait adaptées à la caractérisation des systèmes modélisés sous forme implicite.

Pour dénir précisément la stabilité, il est nécessaire d'introduire une mesure sur les signaux. Les normes Lp sont usuellement considérées. Elles permettent de dénir une norme induite pour l'opérateur correspondant.

Dénition 2.2.2 La norme Lp d'un signal u de R

+ dans R

n est donnée par l'intégrale (si elle existe):

kukp
= Z +1 0 ju(t)j p dt  1 p avec 1p<1: La norme L

1 d'un signal est dénie par:

kuk 1
= ess sup t2R + ju(t)j:

L'ensemble des signaux pour lesquels la norme Lp est nie est noté Lp(R +

;Rn) ou plus simplement Lp lorsque le contexte élimine toute confusion.

La norme induite Lp d'un opérateurH est dénie comme:

kHkp = sup u2Lp

u6=0

kHukp kukp :

Cette norme induite sera désignée sous le terme de gain Lp par la suite car elle possède la propriété suivante, importante dans le contexte de l'Automatique: pour deux opérateurs

H 1 et H 2 de norme Lp nie, on a: kH 1 H 2 kp kH 1 kpkH 2 kp:

Enn, si H représente un système linéaire stationnaire de transfert H(s) alors son gain

L 2 correspond à sa norme H 1 dénie par: kHk 1
= sup Re(s)0

max(H(s))=esssup

! max(H(j!)):

De l'ensemble des normes induites possibles, nous nous intéresserons essentiellement à la norme induiteL

2 (ou gain L

2) pour les raisons suivantes:

 elle a une interprétation physique intéressante: elle correspond à une atténuation énergétique entre les entrées et les sorties considérées du système;

 pour les systèmes linéaires stationnaires, Zames a démontré qu'elle permettait de formuler un certain nombre de spécications du cahier des charges sous forme d'un problème d'optimisation sur une norme pondérée H

Interconnexion, dissipativité et optimisation 41  elle est cohérente avec la formulation de la caractérisation entrée/sortie (perfor-mance) sous forme d'une contrainte intégrale quadratique. En eet, spécier qu'un système stable d'entrée w et de sortie z a une norme induite L

2 inférieure à un certain seuil revient à vérier la contrainte intégrale:

Z +1 0 " z(t) w (t) # T " ?I 0 0 2 I #" z(t) w (t) # dt0:

Il est, par ailleurs, possible de dénir pour des signaux de L

2 un produit scalaire, nécessaire à la dénition de la passivité.

Bien posé de l'interconnexion et dénitions de la stabilité: nous dénissons maintenant plus précisément les notions de bien posé, stabilité et stabilité interne. Pour cela, il est nécessaire d'introduire l'opérateur de troncation et les espaces étendus. Pour un signalw et un scalaireT >0, la troncation causale P

T

(w )pour l'instantT est dénie par: 8tT; P T (w (t)) = w (t); 8t>T; P T (w (t)) = 0: (2.6) Elle permet d'introduire les espaces étendus:

L p e (R + ;R n )
= fw:R + 7?!R n j 8T > 0; P T (w )2L p (R + ;R n )g: Dénition 2.2.3 Le système interconnecté décrit par le modèle explicite:

" q z # = I " p w # ! ; p= 2 6 6 4 p 1 ... p n 3 7 7 5 ;q = 2 6 6 4 q 1 ... q n 3 7 7 5 ; p = S i (q); i=1;


;n:

est dit bien posési pour toute entréew dansL

pe, tous les signauxp, q etz existent, sont uniques et appartiennent à L

pe. Si, de plus, pour tout signal d'entrée appartenant à L p, les signaux de sortie appartiennent à L

p et s'il existe un scalaire k tel que kzk p

kkw k p

alors cette interconnexion est L p

gain stable. Il est L

2 gain stablede façon interne si de plus: kqk p kkw k p et kpk p kkw k p.

Cette dénition peut être étendue aux modèles implicites.

Dénition 2.2.4 Le système interconnecté décrit par le modèle implicite:

I(p;w ) = 0; p= 2 6 6 4 p 1 ... p n 3 7 7 5 ; S i (p) = 0; i=1;


;n:

est dit bien posé si l'opérateur

" I(:;:) diag(S i (:)) #

est inversible à gauche sur L

pe et stable de façon interne s'il est inversible à gauche sur L

42 Chapitre 2 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

Dans ce qui suit, nous considérons les signaux mesurés par la normeL 2.

La caractérisation précédente peut être enrichie en limitant l'ensemble des signaux d'entrée à un sous ensemble de L

2. Pour être cohérent avec la formulation introduite, il est normal de dénir ce sous ensemble par une ou plusieurs contraintes quadratiques intégrales, égalité ou inégalité:

Z +1 ?1 w (j!)   w (j!)w (j!)d! 0 (=0):

Cette extension a été considérée dans [D'A95]. Nous verrons dans la section 2.3.2 comment tenir compte de ces informations supplémentaires par application de laS procédure.

La normeL

2 n'est pas la seule mesure intéressante dans le contexte de l'Automatique. La norme induiteL

1 peut être aussi utilisée pour obtenir un critère de performance avec une signication physique intéressante [Vid86]. Néanmoins, elle n'est pas considérée dans ce manuscritcar elle aboutit à des critères mathématiquesplus dicilesà vérier[DDB95]. Enn, pour p diérent de 2 et 1, il est dicile d'associer aux normes induites L

p une interprétation physique.

Secteurs:

certains systèmes sont intéressants tout en n'étant pas forcément stables du

point de vue entrée/sortie. L'intégrateur5 pur est l'un de ceux-ci. Les intégrales précé-dentes ne sont alors plus dénies. Leur comportement entrée/sortie peut néanmoins être décrit par une contrainte intégrale, à condition toutefois de se limiter à un intervalle de temps ni. Il est possible de les caractériser par des secteurs.

Dénition 2.2.5

[Saf80] Soit F = fF

1 ;F 2 ;F 3 ;F 4

g un ensemble d'opérateurs incré-mentalement6 stables tels que F

i

0 = 0, i = 1;


; 4. Soit un opérateur H déni par

H(q;p) =0. Cet opérateur est strictement à l'intérieur dusecteurF s'il existe un scalaire strictement positif tel que pour tous q et p tels que H(q;p)=0, pour tout T >0,

Z T 0 (F 1 q+F 2 p) T (F 3 q+F 4 p) dt ? Z T 0 (q T q+p T p) dt: (2.7)

L'opérateur H est en dehors du secteur F si pour tous q et p tels que H(q;p) =0, pour tout T >0, Z T 0 (F 1 q+F 2 p) T (F 3 q+F 4 p) dt0:

Le secteur est dit linéaire si les opérateurs F

i sont linéaires.

Performance et dissipativité:

intuitivement, un système peut être qualié de

perfor-mant si ses signaux de sortie ont certaines caractéristiques pour un ensemble de signaux d'entrée donnés. Une discussion plus détaillée a été faite dans le chapitre précédent7. La notion de dissipativité a été très diversement dénie dans la littérature et est très liée à la notion de contrainte quadratique intégrale et à celle de secteur. Une discussion plus dé-taillée est proposée en annexe de ce chapitre, page 69. Provisoirement, nous adopterons la

5. Un moyen simple pour néanmoins se ramener au cadre précédent est de perturber l'intégrateur en un premier ordre avec un pôle stable en?et de modier le schéma d'interconnexion par loop shifting an de conserver ses propriétés.

6. Pour le terme incrémental, voir la dénition 2.2.6, page 43 7. section 1.1.4, page 13.

Interconnexion, dissipativité et optimisation 43 dénition assez informelle qu'un système est dissipatif si ses signaux d'entrée et de sortie vérient une contrainte quadratique intégrale ou une inégalité de secteur. Des dénitions plus précises seront adoptés dans les chapitres 3 et 5, en fonction des problèmes considérés. Un système sera considéré comme

performant

s'il est stable et s'il vérie une inégalité de dissipativité, c'est-à-dire une contrainte quadratique intégrale ou de secteur. Cela veut dire que nous supposons que le comportement d'un système peut être caractérisé de façon adéquate par des contraintes inégalités sur les signaux qui le relient à l'environnement.

Une autre caractérisation intéressante peut être obtenue en considérant l'énergie des signaux de sortie en réponse à des signaux de bruits blancs. Le problème est que le bruit blanc n'est pas un signal de L

2 et n'est donc pas a priori cohérent avec le cadre proposé. Néanmoins, il est possible de considérer des bruits blancs en les approchant par des signaux de L

2 proches de ceux-ci au sens d'un certain critère. Cette approche a été proposée par Paganini [Pag95b, Pag96] dans le contexte des systèmes discrets. Son extension aux systèmes continus est en cours.

Systèmes Lipschitz continus:

une façon plus précise de caractériser le comportement

d'un système peut être obtenu en étudiant ses propriétés de Lipschitz continuité. Nous avons signalé dans le chapitre précédent qu'assurer qu'un système estL

2 gain stable8 ne donne pas forcément un comportement qualitatif intéressant entre l'entrée et la sortie du système. Par exemple, la réponse d'un système non linéaire L

2 gain stable à un échelon ne tend pas forcément vers un échelon. Par contre, un système Lipschitz continu possède cette propriété. Il est donc très intéressant, d'un point de vue pratique, de la rechercher. Nous commençons par dénir la constante de Lipschitz, appelée aussi norme incré-mentale, d'un opérateur.

Dénition 2.2.6

La constante de Lipschitz ou norme incrémentale L

p d'un opérateurH

est dénie comme:

kHk
p = sup u;v2L p u6=v kHu?Hvk p ku?vk p :

L'opérateur H est dit Lipschitz continu s'il est de constante de Lipschitz nie, il est incrémentalement stable s'il est stable et Lipschitz continu9.

La question est de savoir commentdéterminerla norme incrémentaleassociée à l'opéra-teurH. Deux stratégies sont possibles. La première consiste à considérer la représentation d'état associée (en supposant qu'elle existe et qu'elle est susamment régulière) et de ré-soudre un problème (voir [Fro95, page 74]) qui apparaît complexe10. La seconde se base sur un résultat de Willems [Wil69]. Ce résultat est à la base de la spécication de la performance dans le contexte non linéaire tel que cela a été présenté par [Fro95].

Lemme 2.2.1

[Wil69] Soit un opérateurH de L

p dansL

p. Supposons qu'il admette une linéarisation D H

u

0 pour tout u

0 appartenant à L

p. AlorsH est Lipschitz continu sur L p

8. Rappelons que sous certaines hypothèses sur la structure interne du système, le fait qu'il soit L 2

gain stable garantit que0est un point d'équilibre globalement attractif. Pour un exposé détaillé et precis de ce type de résultats, se reporter su livre [Wil71a, Vid92].

9. Le terme incrémentalement stable met l'accent sur le fait qu`à une faible variation de l'entrée cor-respond une faible variation de la sortie, ce qui est important dans le contexte de l'Automatique.

10. La formulation obtenue est une généralisation des inéquations d'Hamilton Jacobi utilisée pour l'ana-lyse du gainL

44 Chapitre 2 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

si et seulement si kD H u

0 k

p est uniformément bornée. De plus:

kHk
p = sup u 0 2L p kD H u 0 k p :

Comme précédemment, nous nous intéressons au cas où p vaut 2. Pour déterminer qu'un système est incrémentalement stable, nous procéderons donc en deux étapes: (i) démonstration de laL

2 gain stabilité du système (ii) démonstration de laL

2 gain stabilité de toutes ses linéarisations non stationnaires. De ce fait, la vérication de la stabilité incrémentale peut se ramener à la vérication de la stabilité (tout court) d'un système et de ses linéarisations.

2.2.2 Paramétrisation des contraintes quadratiques intégrales

Dans le document Approche Unifiée de l'Analyse et de la Commande des Systèmes par Optimisation LMI (Page 47-53)