Caractérisation de retards purs incertains

Nous considérons maintenant le cas où
est un retard pur moins un gain unité. Nous allons nous attarder sur cet exemple car il est très illustratif de la méthodologie générale. En eet, si nous appliquons une approche conventionnelle, type , le critère obtenu serait indépendant de la valeur du retard (comme cela a été fait dans [CL95]). Cela vient du fait que le problème est abordé à travers le théorème du petit gain [Zam66a] en notant que je

?j!j  1. Notre approche est plus générale dans le sens où nous recherchons des contraintes quadratiques vériées par la transformée de Fourier des signaux aux bornes du sous système et non simplement une propriété de gain12.

D'autre part, un retard est forcément un système à une entrée et une sortie (éventuelle-ment répété). Par suite, nous pouvons représenter la transformée de Fourier de sa fonction de transfert dans le plan complexe.En plus d'être illustrative, cette caractéristique permet de construire une description entrée/sortie du retard basée sur des contraintes quadra-tiques par des considérations géométriques élémentaires. D'autre part, les retards sont des phénomènes très fréquents dans les systèmes. Il est donc important de les étudier.

Pour le retard pur de transformée de Fourier e

?j!, nous allons considérer deux cas:   est constant et compris entre 0et m;

  est constant et appartient à un intervalle[ 1

; 2

].

Dans le premier cas, pour une fréquence donnée!, la représentation dee

?j! ?1pour 

compris entre 0 etm dans le plan de Nyquist correspond à un arc de cercle comme cela est représenté gure 5.7, à gauche. Une première approche est de considérer que cet arc est l'intersection du cercle de centre (?1;0) et de rayon unité et du demi plan déni par

Analyse des systèmes par multiplieurs dépendants 165 X Re Im ?1 ?m! 2 x x Im Re ?1 ?tan(m! 2 )

Fig.5.7 Caractérisation parun cercle etune droite (àgauche) et uncercle et un disque (à droite)

la droite passant par l'origine et d'angle ?m!

2 avec l'axe des abscisses (voir gure 5.7). En introduisant p(j!)=(e

?j!?1)q(j!), nous avons donc d'une part une égalité liée au fait que l'arc est sur le cercle:

" p(j!) q(j!) #  " 1 1 1 0 #" p(j!) q(j!) # =0

et d'autre part, on peut exprimer la position de l'arc par rapport à la droite pour ! 2 ]0; 2 m[:

Im

(e ?j! ?1)cotan( m! 2 )

Re

(e ?j! ?1):

Cela donne alors:

" p(j!) q(j!) #  " 0 cotan(m! 2 )?j cotan(m! 2 )+j 0 #" p(j!) q(j!) # 0: Pour!  2

m, l'arc de cercle se confond avec le cercle lui-même.

Par suite, par application de la S procédure (théorème 2.3.3, page 55), e

?j!?1 est caractérisé, pour une fréquence! donnée appartenant à l'intervalle]0;

2 m[, par l'inégalité suivante: 8(!)2

R

; " p(j!) q(j!) #  " (!) cotan( m! 2 )?j +(!) cotan(m! 2 )+j+(!) 0 #" p(j!) q(j!) # 0;

et pour ! donné plus grand que 2 m par: 8(!)2

R

; " p(j!) q(j!) #  " (!) (!) (!) 0 #" p(j!) q(j!) # 0: Pour! 2]0; 2 m[,sin(! 2

)>0, une forme alternative est donnée par:

8(!)2

R

; " p(j!) q(j!) #  M " p(j!) q(j!) # 0;

166 Chapitre 5 Approche unifiée de l'analyse et de la commande avec M= " (!)sin(m! 2 ) cos(m! 2 )+sin(m! 2 )((!)?j) cos(m! 2 )+sin(m! 2 )((!)+j) 0 # :

Une seconde approche est de considérer que cet arc est l'intersection du cercle de centre

(?1;0) et de rayon unité et du disque de centre (0;?tan (m! 2

))et dont le bord passe par l'origine (voir gure 5.7, à droite). Le fait quee

?j!?1soit dans ce disque peut s'exprimer pour ! 2]0; 

m[ par l'inégalité suivante:

 (ej! ?1)+jtan( m! 2 )    (ej! ?1)+jtan ( m! 2 )  tan ( m! 2 ) 2 ; ce qui donne: 8(!)2R; " p(j!) q(j!) #  " (!)?1 (!)?jtan (m! 2 ) (!)+jtan( m! 2 ) 0 #" p(j!) q(j!) # 0: Pour!2]  m; 2

m[, l'arc est à l'extérieur du disque de centre(0;?tan ( m!

2

))et dont le bord passe par l'origine. Par suite:

8(!)2R; " p(j!) q(j!) #  " (!)?1 (!)?jtan ( m! 2 ) (!)+jtan(m! 2 ) 0 #" p(j!) q(j!) # 0:

Considérons maintenant le cas où  est constant et dans un intervalle[ 1 ; 2 ]. Comme X Im Re ?1

Fig. 5.8  Caractérisation par deux droites d'un retarddans un intervalle

précédemment,pour une fréquence!, la représentation dans le plan de Nyquist dee

?j!?1

pour compris entre 1et

2correspond à un arc de cercle(voir la gure 5.8). Une première approche est de considérer que cet arc est l'intersection du cercle de centre (?1;0) et de rayon unité, du demi plan déni par la droite passant par l'origine et faisant un angle_

?2!

2 avec l'axe des abscisses et du demi plan déni par la droite passant par l'origine et faisant un angle ?1!

Analyse des systèmes par multiplieurs dépendants 167 comme précédemment la S procédure, e

?j!?1 est caractérisé par, pour une fréquence

! donnée appartenant à l'intervalle]0; 2 2 [: 8(!)2R; 8(!)2R + ; " p(j!) q(j!) #  " (!) (j!)+(!) (j!)  +(!) 0 #" p(j!) q(j!) # 0; avec (j!)=cotan(  2 ! 2 )?(!)cotan(  1 ! 2 )?(1?(!))j;

pour une fréquence! donnée appartenant à l'intervalle] 2 2 ; 2 1 [: 8(!)2R; " p(j!) q(j!) #  " (!) ?cotan(1! 2 )+j+(!) ?cotan( 1! 2 )?j+(!) 0 #" p(j!) q(j!) # 0;

pour ! donné plus grand que 2 1 par: 8(!)2R; " p(j!) q(j!) #  " (!) (!) (!) 0 #" p(j!) q(j!) # 0:

De même, peut être obtenu un critère semblable au deuxième critère précédent, c'est-à-dire en remplaçant la délimitation de l'arc de cercle par des cercles au lieu de droites.

Contrairement à tous les sous systèmes étudiés précédemment, un retard ne peut pas être {X(j!), Y(j!), Z(j!)} dissipatif. En eet, dans les contraintes quadratiques introduites dans cette section pour le caractériser, la matriceX(j!) n'est pas forcément dénie négative et la matriceY(j!)n'est pas rationnelle. Cela vient du fait que nous avons voulu décrire assez précisémentle retard. Une description plus frustre aurait consisté, pour une fréquence donnée, à rechercher le plus petit disque contenant l'arc décrit par le retard. Dans ce cas-là, le retard aurait été caractérisé par un ensemble convexe. Un ranement de la description nous a amené à tenir compte du fait que le retard décrit un arc, qui n'est alors pas convexe. La convexité est une propriété qui peut être utilisée pour démontrer simplement un théorème de séparation des graphes. Néanmoins, le théorème de séparation des graphes présenté dans ce mémoire peut être étendu pour traiter une famille connexe (et pas forcément convexe) de sous systèmes. Ce point a été détaillé dans notre article [Sco97]13 et sera rediscuté dans le suite de ce chapitre.

0

Une description par contraintes quadratiques (intégrales) assez similaire à la seconde que nous avons vue a été proposée pour un re-tard pris constant dans l'intervalle[0;max]par Rantzer et Megretsky dans [RM94b]. D'une part, ils ne proposent aucune démonstration (et référence) pour cette caractérisation.

D'autre part, le théorème de séparation des graphes qu'ils proposent requiert que si
vérie une contrainte quadratique alors 
vérie aussi cette intégrale quadratique pour tout  compris entre 0 et 1. Si nous reprenons la caractérisation proposée dans [RM94b, page 3067] avec  = ?1 et  = 0, nous avons

= qui vérie (?1) 

(?1)1.

168 Chapitre 5 Approche unifiée de l'analyse et de la commande

0 1

Dans le plan complexe, cela correspond à ce quesoit hors du cercle de centre(1;0) et de rayon 1. Il est aisé de trouver un  et tel que

ne soit pas hors de ce cercle et ne vérie ainsi pas la condition. En-n, ils travaillent sur des contraintes quadratiques intégrales. Dans le cas que nous considérons, à savoir des systèmes linéaires station-naires incertains, il est beaucoup plus simple de travailler sur des contraintes quadratiques: l'approche par contraintes intégrales est

en eet beaucoup plus complexe et dans le cas qui nous intéresse, injustiée du fait du caractère linéaire stationnaire dans le temps du système considéré.

Nous verrons dans la suite de ce chapitre un exemple numérique qui met en évidence l'intérêt de l'approche que nous proposons pour l'analyse de la stabilité des systèmes à retard.

5.3.2 Paramétrisation des contraintes de dissipativité vériées

Dans le document Approche Unifiée de l'Analyse et de la Commande des Systèmes par Optimisation LMI (Page 173-177)