Notes de cours M2, Th´eorie additive des nombres

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Notes de cours M2, Th´eorie additive des nombres

15 f´evrier 2011

Table des mati` eres

0.1 Le théorème d’Olson . . . 2 0.2 La méthode isopérimétrique . . . 6

1 Sommes restreintes 9

1.1 La m´ethode polynomiale . . . 9 1.2 Retour `a Cauchy-Davenport . . . 12

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0.1 Le th´ eor` eme d’Olson

Nous abordons ici le théorème de Olson, un analogue du théorème de Kneser pour les groupes non-abéliens. Il permet aussi d’établir une inégalité de la forme

|A+B| ≥ |A|+|B| − |H|

pour la somme de deux sous-ensembles finis A, B de G, avec H un sous- groupe fini convenable de G. On ne peut hélas plus garantir, comme dans le théorème de Kneser, que l’un de ces sous-groupes H stabiliseA+B.

L’outil essentiel de la preuve est la transform´ee de Kemperman, un analogue non-commutatif de la transform´ee de Dyson.

La transform´ee de Kemperman

Soit G un groupe quelconque et A, B ⊂G des sous-ensembles finis non- vides de G. Soit x∈G. On d´efinit

A⁰ = A∪(A+x) B⁰ = B∩(−x+B)

et A⁰⁰ = A∩(A−x)

B⁰⁰ = B∪(x+B).

Ces paires A⁰, B⁰ etA⁰⁰, B⁰⁰, dépendantes dex, sont lestransformées de Kem- perman de la paire A, B. En voici quelques propriétés élémentaires. Tout d’abord,

A⁰+B⁰, A⁰⁰+B⁰⁰ ⊂A+B

comme on le v´erifie sans peine. Ensuite, on a l’´equivalence B⁰ 6=∅ ⇐⇒ x∈B−B.

En effet, pour b1, b2 ∈ B, on a x = b2 −b1 si et seulement si b1 = −x+b2

appartient à B⁰ =B ∩(−x+B). De même, on a l’équivalence A⁰⁰ 6=∅ ⇐⇒ x∈ −A+A.

Enfin, il est imm´ediat de v´erifier que

|A⁰|>|A| ⇐⇒ A+x6=A et

|B⁰⁰|>|B| ⇐⇒ x+B 6=B.

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Lemme 1. Soit G un groupe et A, B ⊂ G deux sous-ensembles finis non- vides de G. Posons

D= (−A+A)∩(B−B).

Si A+D6=A ou D+B 6=B, alors il existe une paire de sous-ensembles finis non-videsA1, B1 ⊂G, obtenue par transform´ee de Kemperman de A, B, telle que

(1) A1+B1 ⊂A+B

(2) soit |A1|+|B1| ≥ |A|+|B|et |A1|>|A|, soit |A1|+|B1|>|A|+|B|.

D´emonstration. Par hypoth`ese, il existed ∈Dtel queA+d 6=Aoud+B 6=

B. Posonsp=|(A+d)\A|,q=|(d+B)\B|. On a max(p, q)>0. Distinguons les cas p≥q et p < q.

•Casp≥q. Considérons la première transformée de Kemperman relative

`a d, i.e. A1 =A⁰ =A∪(A+d) et B1 =B⁰ =B∩(−d+B). On affirme que

|A1|=|A|+p et|B1|=|B| −q. En effet, on a

|A1|=|A∪(A+d)|=|A|+|(A+d)\A|=|A|+p, et

|B1|=|B∩(−d+B)| = |B| − |B \(−d+B)|

= |B| − |(d+B)\B|=|B| −q.

Il suit que |A1|+|B1|=|A|+|B|+p−q≥ |A|+|B|. De plus, comme on a p= max(p, q)>0, il suit que A+d6=A, et donc que|A1|>|A|.

• Cas p < q. Ici on considère la seconde transformée de Kemperman relative à d, i.e. A1 =A⁰⁰ =A∩(A−d) et B1 =B⁰⁰ =B∪(d+B). Par des calculs analogues au premier cas, on trouve que

|A1|=|A| −p, |B1|=|B|+q.

Il suit que |A1|+|B1|=|A|+|B| −p+q > |A|+|B|, comme voulu.

Voici ce que l’on obtient en itérant ce lemme, autrement dit en appliquant autant que possible des transformées de Kemperman successives à partir de la paire A, B.

Proposition 2. Soit G un groupe et A, B ⊂ G deux sous-ensembles finis non-vides. Il existe des sous-ensembles non-vides E, F ⊂G tels que

(1) E+F ⊂A+B (2) |E|+|F| ≥ |A|+|B|

(3) Si D= (−E+E)∩(F −F), alors E+D =E et D+F =F.

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Démonstration. Par applications successives du lemme précédent, il existe une suite de sous-ensembles

(A, B) = (A0, B0),(A1, B1), . . . ,(Aj, Bj), . . . avec les propri´et´es suivantes : pour tout j ≥1,

(1) Aj +Bj ⊂Aj−1+Bj−1.

(2) Dans N² ordonn´e lexicographiquement,

(|Aj|+|Bj|, |Aj|)>(|A_j−1|+|B_j−1|, |A_j−1|).

Or les entiers |Aj|,|Bj| sont born´es, puisque|Aj|,|Bj| ≤ |Aj+Bj| ≤ |A+B|

pour toutj ≥0. Il suit alors de (2) que la suite des (Aj, Bj) estfinie. Il existe donc un entiern ≥0 pour lequel l’hypoth`ese du lemme ne s’applique plus `a la paire (E, F) = (An, Bn). Autrement dit, en posantD= (−E+E)∩(F−F), on a E+D=E et D+F =F. Comme Aj +Bj ⊂A+B et|Aj|+|Bj| ≥

|A|+|B|pour toutj ≥0, il suit queE+F ⊂A+B et|E|+|F| ≥ |A|+|B|.

On peut maintenant énoncer et démontrer le théorème de Olson.

Théorème 3. Soit (G,+) un groupe quelconque, pas forcément abélien.

Soient A, B ⊂Gdeux sous-ensembles finis non-vides de G. Alors il existe un sous-ensemble non-vide S ⊂A+B et un sous-groupe fini H de G tels que

|S| ≥ |A|+|B| − |H|

et H stabilise S `a gauche ou `a droite, i.e.

H+S =S ou S+H =S.

Démonstration. D’après la proposition précédente, il existe des sous-ensembles finis non-vides E, F deG tels que E+F ⊂A+B et |E|+|F| ≥ |A|+|B|.

De plus, en posantD= (−E+E)∩(F−F), on aE+D=E etD+F =F. PosonsS =E+F. C’est un sous-ensemble non-vide de A+B, dont on veut borner inf´erieurement le cardinal en termes de |A|,|B| et |H| pour un sous-groupe H convenable. On distingue les cas |E| ≥ |F|et |E| ≤ |F|.

Cas |E| ≥ |F|. L`a encore, distinguons deux cas, suivant que F −F est contenu dans −E+E ou pas.

•Supposons d’abordF−F 6⊂ −E+E. Alors il existe x1, x2 ∈F tels que x1−x2 6∈ −E+E. On a donc (E+x1)∩(E+x2) = ∅, et

S=E+F ⊃(E+x1)∪(E+x2).

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Cette r´eunion ´etant disjointe, il suit que|S| ≥ |E+x1|+|E+x2| ≥ |E|+|F|.

En prenant H ={0} comme sous-groupe de G stabilisantS, on obtient

|S| ≥ |E|+|F| ≥ |A|+|B| ≥ |A|+|B| − |H|, comme requis.

•Supposons maintenantF−F ⊂ −E+E. Il suit queD=F−F. On va montrer que D est alors un sous-groupe de G, que F est une classe à droite de D, et que comme sous-groupe H cherché, un conjugué convenable de D convient.

Tout d’abord, 0∈F −F =D, et

D+D=D+F −F =F −F =D.

Il en d´ecoule facilement que D est un sous-groupe de G. Soit z ∈ F quelconque. On a

F =F −z+z ⊂D+z⊂D+F =F.

Donc F =D+z, une classe `a droite de D. Posons H =−z+D+z.

Alors H, conjugu´e de D, est un sous-groupe de G. Montrons qu’il stabilise S `a droite :

S+H =E+F −z+D+z =E+D+z ⊂E+F =S.

L’égalité S+H =S étant établie, il reste à évaluer |S|. On a

|S|=|E+F| ≥ |E|=|E|+|F| − |F|=|E|+|F| − |H| ≥ |A|+|B| − |H|, comme voulu.

Cas |E| ≤ |F|.La preuve est entièrement similaire au cas précédent. Ici, on obtient un sous-groupe H stabilisant S à gauche.

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème suivant de Kemperman (1956).

Th´eor`eme 4. SoitGun groupe sans torsion. Alors µG(r, s) = r+s−1pour tous entiers r, s≥1.

Démonstration. Soient A, B ⊂ G de cardinaux |A| = r,|B| = s. Par le théorème d’Olson ci-dessus, il existe un sous-ensemble non-vide S ⊂ A+B et un sous-groupe fini H ≤Gtels que

|S| ≥ |A|+|B| − |H|.

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Or H = {1}, puisque G est sans torsion et ne contient donc aucun sous- groupe fini non-trivial. Il suit que

|A+B| ≥ |S| ≥r+s−1.

Ceci montre que µG(r, s)≥r+s−1. Par ailleurs, cette borne inférieure est facilement réalisable : soit x∈G un élément non-nul, et posons

A={ix|0≤i≤r−1}, B ={ix|0≤i≤s−1}.

Alors |A| = r, |B| = s, parce que x est sans torsion, et A+B = {ix | 0 ≤ i≤r+s−2} est de cardinalr+s−1 pour la mˆeme raison. On conclut que µG(r, s) =r+s−1.

Dans le même ordre d’idées, voici une autre conséquence facile du théorème d’Olson.

Deuxième démonstration du théorème de Cauchy-Davenport. SoitG=Z/pZ et A, B ⊂ G des sous-ensembles non-vides de cardinaux |A| =r,|B| =s. Il s’agit de montrer que |A+B| ≥min(r+s−1, p).

Par le théorème d’Olson, il existe un sous-groupeH ≤Gtel que|A+B| ≥ r+s− |H|, et H stabilise un sous-ensemble non-vide S ⊂ A+B. Or ici G n’a que deux sous-groupes, à savoir {0} et G.

•Si H ={0}, alors |A+B| ≥r+s−1 et on a fini dans ce cas.

• SiH =G, alors S =A+B =G. Ceci termine la preuve du th´eor`eme.

0.2 La m´ ethode isop´ erim´ etrique

Soit G un groupe not´e multiplicativement. Dans toute cette section, on fixe un sous-ensemble fini C⊂G avec 1∈C. En particulier, on a

X ⊂XC

pour tout X ⊂G, et siX est fini, alors |XC\X|=|XC| − |X|.

D´efinition 1. Pour toutX ⊂G, on note

∂CX =XC\X.

On appelle ∂CX lebord de X relativement à C. Pour alléger, on omettra la référence à C et on écrira simplement ∂X.

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Notons que∂ commute avec les translations `a gauche, i.e.

∂(gX) = g∂(X)

pour tout g ∈ G et tout X ⊂ G. En effet, on a ∂(gX) = gXC \gX = g(XC\X) =g∂X.

La méthode isopérimétrique consiste à considérer les ensembles X ⊂ G minimisant |∂X|. Plus précisément, on introduit les définitions suivantes (re- latives à C).

D´efinition 2. Soit k ≥ 1 un entier. Un sous-ensemble fini F ⊂ G est dit k−critique si :

• k ≤ |F| et|F C| ≤ |G| −k,

• |∂F| est minimal pour la condition pr´ec´edente.

Un k−atome est un sous-ensemble k−critiqueF de cardinal minimal.

On verra, en se restreignant au cas des groupes infinis, que les 1-atomes sont des translatés de sous-groupes de G. Ceci nous fournira une preuve al- ternative du théorème de Kemperman sur les groupes sans torsion.

Commen¸cons par des observations faciles.

Lemme 5. On a :

• Si F1, F2 sont k−critiques, alors |∂F1|=|∂F2|.

• SiF estk−critique, alors pour toutg ∈G, le translat´egF estk−critique.

• De mˆeme, tout translat´e gA d’un k−atome A est encore un k−atome.

Démonstration. Les deux premiers points sont évidents, et le troisième découle des deux premiers et de l’égalité |gA|=|A|.

La formule qui suit joue un rˆole cl´e dans la suite.

Proposition 6. Soit G un groupe et X, Y ⊂ G des sous-ensembles finis.

Alors

|∂(X∩Y)|+|∂(X∪Y)| ≤ |∂X|+|∂Y|.

D´emonstration. On a (X ∩Y)C ⊂ XC ∩Y C et (X ∪Y)C = XC∪Y C, comme on le voit facilement. Donc

∂(X∩Y)⊂∂X∩∂Y, ∂(X∪Y) = ∂X∪∂Y.

Il suit que

|∂(X∩Y)|+|∂(X∪Y)| ≤ |∂X∩∂Y|+|∂X∪∂Y|

= |∂X|+|∂Y|.

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Proposition 7. Soient G un groupe infini, k ≥ 1, et F1, F2 ⊂ G deux ensembles k−critiques. Si |F1∩F2| ≥k, alors F1∩F2 et F1∪F2 sont aussi k−critiques.

D´emonstration. Soit la famille des sous-ensembles finisX ⊂Gtels que|X| ≥ k. Comme G est infini, la condition |XC| ≤ |G| −k est satisfaite pour tout X ∈ M. Comme lesFi sontk−critiques, on a F1, F2 ∈ M et

|∂F1|=|∂F2|= min

X∈M|∂X|.

De plus, par hypoth`ese sur F1∩F2, on a

|F1∩F2| ≥k.

Donc F1∩F2 ∈ M. On a bien sˆur aussiF1∪F2 ∈ M. Il suit que

|∂(F1∩F2)| ≥ |∂F1| et |∂(F1∪F2)| ≥ |∂F1|. (1) L’in´egalit´e de la Proposition 6 entraˆıne donc

2|∂F1| ≤ |∂(F1∩F2)|+|∂(F1∪F2)| ≤2|∂F1| et enfin, par les estimations en (1),

|∂F1|=|∂(F1∩F2)|=|∂(F1∪F2)|.

Donc F1∩F2 etF1 ∪F2 sont bien k−critiques.

Corollaire 8. Soient G un groupe infini et A1, A2 ⊂ G deux k−atomes distincts, avec k ≥1. Alors |A1∩A2| ≤k−1.

Démonstration. Supposons au contraire que |A1∩A2| ≥k. Il suit alors, par la proposition précédente, que A1 ∩A2 est k−critique. Or, comme A1, A2

sont des k-atomes, leurs cardinaux |A1|,|A2| sont ´egaux, et minimaux dans l’ensemble des cardinaux des ensembles k−critiques. En particulier, |A1| =

|A2| ≤ |A1∩A2|. Il suit que A1 =A2.

On se restreint maintenant au cas k = 1, en vue de redémontrer le théorème de Kemperman.

Corollaire 9. SoientGun groupe infini etAun1−atome contenant 1. Alors A est un sous-groupe de G.

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D´emonstration. On sait que tout translat´e d’un 1−atome est aussi un 1−atome.

Soit a ∈ A. On a a ∈ A∩aA, puisque A contient 1, et donc |A∩aA| ≥ 1.

Le corollaire précédent entraˆıne alors aA =A. Il suit facilement de l’égalité A A =A et de la finitude de A que A est un sous-groupe de G.

Le théorème de Kemperman établit la minoration|X C| ≥ |X|+|C| −1 pour tous sous-ensembles finis non-vides X, C d’un groupe G sans torsion.

Il suffit bien sûr de montrer cette inégalité pour C contenant 1. Voici une preuve de ce résultat avec la méthode isopérimétrique.

Deuxième preuve du théorème de Kemperman. SoitC⊂Gun sous-ensemble fini contenant 1. Soit A⊂G un 1−atome de G relativement àC, contenant 1. Par le corollaire précédent, A est un sous-groupe de G, et donc A ={1}

puisque Gest sans torsion. SoitX ⊂Gun sous-ensemble fini non-vide deG.

On a |∂A| ≤ |∂X|, car A est 1−critique. Or

∂A =A C\A=C\ {1}, et

∂X =X C\X.

Donc |C| −1≤ |X C| − |X|. Il suit que|X C| ≥ |X|+|C| −1.

1 Sommes restreintes

1.1 La m´ ethode polynomiale

La méthode polynomiale a été inventée par Noga Alon et Michael Tarsi vers 1987. Elle est basée sur un lemme qui généralise ennvariables le fait bien connu suivant. Soit F un corps commutatif. Si f ∈ F[X] est un polynôme non-nul de degré d, alors f admet au plus d racines dans F.

Soit maintenantR =F[X1, . . . , Xn] l’anneau des polynˆomes `anvariables

`a coefficients dans F. On gradueR de fa¸con habituelle par deg(Xi) = 1 pour tout i. Ainsi R se d´ecompose sous la forme

R =M

d≥0

Rd,

où Rd est {0} réunion l’ensemble des f ∈R qui sonthomogènes de degré d.

Ainsi, tout polynôme f ∈ R se décompose de fa¸con unique comme somme f =f0+f1+· · ·+fm de composantes homogènes fi ∈Ri pour tout i.

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Notation Soit f ∈R\ {0}. On pose top(f) = la composante homog`ene de f de plus haut degr´e. On pose aussi top(0) = 0.

Par exemple, top(X1² +X1X2X3−X1³) = X1X2X3−X1³.

Proposition 10. Soient A1, . . . , An ⊂ F des sous-ensembles finis, de cardinaux |Ai| = ri pour tout i. Soit f ∈ R un polynˆome s’annulant sur A1 × · · · ×An. Alors top(f)∈(X1^r¹, . . . , X_n^rⁿ).

D´emonstration. Par r´ecurrence sur n. Le cas n = 1 est vrai, puisque que si f(X1) s’annulle sur r1 points de F, alors deg(f) ≥ r1, et donc top(f) est divisible par X1^r¹.

Supposons maintenant n ≥ 2 et le résultat vrai pour n−1. Si tous les monômes dans top(f) sont divisibles parX_n^rⁿ, alors top(f)∈(X1^r¹, . . . , X_n^rⁿ) et on a fini. On peut donc supposer que top(f) n’appartient pas à (X_n^rⁿ).

Soit

g = Y

a∈Aⁿ

(Xn−a) ∈ F[Xn]⊂F[X1, . . . , Xn].

Alors deg_X_n(g) = rn, et g(A1× · · · ×An) ={0}.On peut ´ecrire g =X_n^rⁿ −g⁰

avec g⁰ ∈F[Xn] et deg_X_n(g⁰)< rn. On a X_n^rⁿ ≡g⁰ mod (g). Dans f, on peut donc remplacer tout monˆome multiple de X_n^rⁿ par g⁰ sans modifier la classe de f modulo (g). Cela entraˆıne qu’il existe un polynˆome ¯f ∈ F[X1, . . . , Xn] tel que

1. f ≡f¯mod (g) 2. deg_Xn( ¯f)< rn

3. top(f)∈(X_n^rⁿ,top( ¯f)).

Il suffit de montrer que top( ¯f)∈(X1^r¹, . . . , X_n−^rⁿ⁻¹1 ).Notons que ¯f s’annule sur A1 × · · · ×An, puisque c’est le cas de f etg. On peut ´ecrire

f¯=ϕ0+ϕ1Xn+· · ·+ϕdX_n^d avec d < rn etϕi ∈F[X1, . . . , Xn−1] pour tout 0≤i≤d.

Soit α= (a1, . . . , a_n−1)∈A1× · · · ×A_n−1, et ´ecrivons

f¯α(Xn) = ϕ0(α) +ϕ1(α)Xn+· · ·+ϕd(α)X_n^d ∈ F[Xn].

Alors ¯fα s’annule sur An. Donc ¯fα = 0 ∈ F[Xn], puisque deg ¯fα < rn. Il suit que ϕi(α) = 0 pour tout α ∈ A1 × · · · ×An−1 et tout 0 ≤ i ≤ d. Par l’hypoth`ese de r´ecurrence, on a

top(ϕi)∈(X^r¹, . . . , X^rⁿ⁻¹)

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pour tout i. Or, il est clair que

top( ¯f)∈ top(ϕ0), . . . ,top(ϕd)

⊂(X1^r¹, . . . , X_n−^rⁿ⁻¹1 ).

Donc, top(f)∈(X1^r¹, . . . , X_n^rⁿ), comme annonc´e.

Un idéal dansRengendré par des monômes s’appelle unidéal monomial.

La question de l’appartenance d’un polynôme g ∈ R à un idéal monomial donné est facile à décider.

Lemme 11. Soient I = (u1, . . . , ur) un idéal monomial engendré par des monômes u1, . . . , ur ∈ R = F[X1, . . . , Xn]. Soit g ∈ R. Alors g ∈ I si et seulement si tout monôme présent dansg avec coefficient non-nul est divisible par l’un des ui.

Démonstration. SoitM={X1â¹· · ·X_nâⁿ |ai ∈N ∀i}l’ensemble des monômes dans R. Alors Mest une F−base de R. Si g = 0 la condition est vide donc satisfaite. Supposons g ∈I\ {0}. Alors il existe g1, . . . , gr ∈R tels que

g =u1g1+· · ·urgr.

Par ailleurs, il existe d’uniques scalaires {λu}u∈M et{µv,i}v∈M,i≥1 tels que g = X

u∈M

λuu et gi = X

v∈M

µv,iv

pour tout i= 1. . . , r. Donc X

u∈M

λuu=g = X

v∈M,i≥1

µv,iuiv.

CommeMest uneF-base deR, il suit de l’égalité ci-dessus que tout monôme u∈ M tel que λu 6= 0 est de la forme uiv pouri ≥1 et v ∈M convenables.

Ainsi donc, il suit des deux énoncés ci-dessus quesif ∈Rest un polynôme non-nul s’annulant sur une grille finie A1× · · · ×An ⊂ Fⁿ, alors pour tout monôme u de degré maximal dans f, il existe i= 1, . . . , n tel que

X_i^|Aⁱ^| divise u.

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1.2 Retour ` a Cauchy-Davenport

Comme première application, voici une nouvelle preuve du théorème de Cauchy-Davenport, très différente des précédentes.

Troisième preuve du théorème de Cauchy-Davenport. Soient A, B des sous- ensembles non-vides de F_p =Z/pZ, de cardinaux |A| = r, |B| =s. On sait que si r+s > p, alorsA+B =F_p, et donc |A+B|=p= min(r+s−1, p).

Supposons maintenant r +s ≤ p. Posant n = |A+B|, on veut alors montrer n ≥r+s−1.

•Si n=p on a fini.

•Si n < p, consid´erons le polynˆome suivant f ∈F_p[X, Y] : f(X, Y) = Y

c∈A+B

(X+Y −c).

Par construction mˆeme, on a f(A×B) = {0}.Donc, par le lemme ci-dessus, on a top(f)∈(X^r, Y^s). Or

top(f) = Y

c∈A+B

(X+Y) = (X+Y)ⁿ.

On obtient donc la condition suivante sur n : (X+Y)ⁿ∈(X^r, Y^s)

dans l’anneau de polynˆomes F_p[X, Y]. Comme les monˆomes XⁱY^j forment une base de F_p[X, Y] en tant qu’espace vectoriel sur F_p, cette condition

équivaut à demander que tous les monômes de (X +Y)ⁿ appartiennent à l’idéal (X^r, Y^s). On a

(X+Y)ⁿ =

n

X

i=0

n i

XⁱYⁿ⁻ⁱ,

les coefficients binomiaux étant vus comme éléments de F_p, donc réduits modulo p. Or justement, puisque n < p, on a ⁿ_i

6≡ 0 mod p. Il suit que, pour tout 0 ≤ i ≤ n, le monôme XⁱYⁿ⁻ⁱ appartient à l’idéal (X^r, Y^s). En particulier, pour i=r−1, on doit avoir

X^r−¹Y^n−r+1 ∈(X^r, Y^s),

et donc forc´ement n−r+ 1≥s. Il suit quen≥r+s−1, comme voulu.