PT 2019-2020 27-03-2020 DEVOIR SURVEILLE n° 6

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Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

L’usage de calculatrice est autorisé pour le 1

problème, et interdit pour le 2

problème.

Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.

Vous devez traiter les 2 problèmes sur 2 copies différentes.

Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie

« blanche ».

Barème Ramassé à Premier problème 35 % 15h00 Deuxième problème 65 % 17h00

Vous avez tout intérêt à faire dans l’ordre : le 1^er problème, puis le 2^ème problème !

Vous êtes libres de commencer le problème suivant avant que je ramasse les copies (vous pouvez par exemple commencer le 2^ème problème avant 15h00).

PREMIER PROBLEME : Paramètres primaires d’une ligne coaxiale (d’après banque PT 2008)

Ce problème représente 35 % du barème.

L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.

Un câble coaxial est constitué par deux cylindres coaxiaux parfaitement conducteurs, de même axe Oz, et de rayons respectifs r1, r2 et (r2 + e), et de longueur l. La longueur de la ligne l est assez grande devant r1

et r2 pour que l’on puisse négliger les effets d’extrémités : on considère que les symétries et invariances sont les mêmes que si la longueur l était infinie.

L’espace entre les deux conducteurs contient un isolant, homogène et isotrope de permittivité relative εr = 2,0. On rappelle que la permittivité absolue ε de l’isolant est liée à sa permittivité relative par la relation ε

= ε0.εr, la notation ε0 désignant la permittivité absolue du vide.

Pour les applications numériques, on prendra :

r1 = 0,15 cm ; r2 = 0,50 cm ; l = 10 m ; e = 0,10 cm ; µ0 = 4π.10^-7 H.m^-1 ; ε0 = 8,85.10^-12 F.m^-1.

1) Le conducteur intérieur est porté au potentiel V1 constant et le conducteur extérieur au potentiel V2, qu’on suppose nul. Les conducteurs, en équilibre électrostatique, portent alors respectivement les charges électriques + Q et – Q, supposées uniformément réparties sur les deux seules surfaces des conducteurs qui sont de rayons r1 et r2.

1.1) Montrer que le champ électrique est radial et que sa valeur algébrique ne dépend que de r, soit : ur

E(r)

E 

 .

1.2.a) Etablir l’expression de E(r) en fonction de Q, de la permittivité ε = ε0.εr de l’isolant, de r et de l, en distinguant les trois cas : r < r1, r1 < r < r2 et r2 < r < (r2 + e). Il est rappelé que l’expression de E(r) demandée se déduit de celle obtenue dans le cas d’un câble coaxial « à vide » en remplaçant la permittivité absolue ε0 du vide par celle, ε, du matériau isolant.

1.2.b) Montrer que, dans le domaine r > (r2 + e), E(r) = 0.

1.3.a) Tracer le graphe de E(r).

1.3.b) Commenter physiquement les éventuelles discontinuités de E(r) à la traversée des cylindres de rayons r1, r2 et (r2 + e).

1.4) Exprimer la tension U12 = V1 – V2 en fonction de Q, ε = ε0.εr, l, r1 et r2.

1.5) Montrer que la capacité par unité de longueur du câble coaxial, notée C1, est donnée par :



 



 

1 2 1

r ln r

ε π

C 2 .

1.6) En déduire simplement l’expression de l’énergie électrostatique We emmagasinée par le câble coaxial de longueur l.

1.7) Calculer la valeur numérique de C1.

1.8) Calculer la valeur numérique de We pour une tension U12 = 10 V entre les armatures du câble.

2) Le câble coaxial est chargé (à sa sortie) par une résistance Ru et alimenté en entrée par un générateur de tension continue EG.

Le conducteur intérieur constitue le conducteur aller du courant électrique d’intensité I.

Le conducteur extérieur constitue le conducteur retour de ce courant.

Les conducteurs sont parcourus dans toute leur épaisseur par des courants volumiques de densités uniformes j₁

et j₂

, de même direction que Oz. On considère de nouveau que les symétries et invariances sont les mêmes que si la longueur l était infinie.

2.1) Montrer que le champ magnétique est orthoradial et que sa valeur algébrique ne dépend que de r, soit : BB(r)u_

.

2.2) Etablir les expressions de B(r), en fonction de µ0, I, r1, r2 et de e, en distinguant quatre domaines à définir.

2.3.a) Tracer l’allure du graphe de B(r).

2.3.b) Observe-t-on des discontinuités de B(r) à la traversée des cylindres de rayons r1, r2 et (r2 + e) ? Aurait-on pu le prévoir avant de traiter les questions 2.1) et 2.2) ? Pourquoi ?

2.4.a) Rappeler l’expression de la densité volumique d’énergie magnétique en un point de l’espace, en fonction du champ magnétique en ce point.

Nous ne sommes pas suffisamment avancés en cours pour répondre à cette question. Nous verrons dans le chapitre EM4 (Energie du champ électromagnétique) que la densité volumique d’énergie magnétique a pour expression

0 2 m

µ 2

B dτ

dW  .

Dans toute la suite, on néglige, notamment pour alléger les calculs, la part de l’énergie magnétique emmagasinée dans l’âme – région r < r1 – et celle localisée dans le blindage – région r2 < r < (r2 + e) – du câble coaxial.

2.4.b) Exprimer, dans ces conditions, l’énergie magnétique Wm emmagasinée par le câble coaxial de longueur l, en fonction de µ0, I, r1, r2 et de l.

2.5) En déduire l’expression de l’inductance propre du câble coaxial par unité de longueur notée L1. 2.6) Calculer la valeur numérique de L1.

2.7) Le câble coaxial est parcouru par un courant d’intensité I = 0,10 A.

Calculer la valeur numérique de l’énergie magnétique Wm emmagasinée par le câble coaxial.

3) Les conducteurs intérieur et extérieur ont une conductivité  = 5,8.10⁷ S.m^-1.

3.1) Exprimer la résistance des conducteurs par unité de longueur, notée R1, en fonction de , r1, r2, et de r3 = (r2 + e).

Nous ne sommes pas suffisamment avancés en cours pour répondre à cette question sans l’ajout suivant. Nous verrons dans le chapitre EM4 (Energie du champ électromagnétique) l’expression de la loi d’Ohm locale reliant la densité de courant volumique j

au champ électrique E

créant ces courants : j E



 .

Notez que l’on peut aussi traiter cette question par analogie avec le cours sur la diffusion thermique (analogie entre résistance électrique et résistance thermique).

3.2) Calculer la valeur numérique de R1.

3.3) On souhaite régler la tension EG du générateur pour obtenir un courant d’intensité I = 0,20 A. La ligne est chargée par Ru = 50 . Calculer la valeur numérique de EG.

DEUXIEME PROBLEME : Analogie entre électrostatique et diffusion thermique (d’après banque PT 2012)

Ce problème représente 65 % du barème.

L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.

PARTIE A : Distribution volumique en régime permanent

On considère une distribution volumique uniforme de charges électriques, de densité volumique 0 constante, dans une couche cylindrique limitée par les rayons interne R1 et externe R2 et de hauteur d (figure 1).

Figure 1 I) Relations de Maxwell

1) Rappeler les équations locales de Maxwell valides pour cette distribution statique de charges.

2) Une de ces équations permet d’aboutir au théorème de Gauss.

a) Enoncer complètement et précisément le théorème de Gauss.

b) Indiquer comment on passe de cette équation locale au théorème de Gauss.

II) Champ électrostatique E

On s’intéresse au champ électrique créé par le cylindre chargé, en un point M de l’espace repéré par ses coordonnées cylindriques r, , z ; l’axe Oz est l’axe de symétrie de révolution du cylindre.

1) Sur un schéma, faire apparaître les coordonnées r, , z et les vecteurs unitaires associés.

2) Dans toute la suite, on envisage que le module du champ électrostatique E

 

et le potentiel V(M) ne sont fonctions que de r.

Quelles sont les hypothèses permettant de valider cette approximation ? 3) A partir du théorème de Gauss, déterminer le champ E

 

en tout point de la couche cylindrique.

III) Potentiel électrostatique V 1) A partir d’une relation liant E

et V, donner l’expression du potentiel V(r) en tout point de la couche (on posera V(R2) = Va, Va étant un potentiel de référence donné).

2) On envisage le cas particulier où R1 = 0 et ρ0 > 0.

a) Exprimer V(r) dans ce cas.

b) Donner l’expression littérale de V(r = 0).

c) Représenter graphiquement V en fonction de r.

IV) Equation de Poisson

Démontrer l’équation :

0 0

ε -ρ

ΔV , ΔV étant le laplacien de la fonction V.

PARTIE B : Couplage électro-thermique

On cherche ici à développer une analogie entre grandeurs permettant d’utiliser les résultats de la partie A pour traiter les problèmes thermiques en régime stationnaire.

Dans la partie I), on envisage le cas particulier d’un conducteur parallélépipédique, à partir duquel on généralisera (partie II)).

I) Etablissement de la relation div

 

Dans cette expression, Pvi est la puissance volumique reçue par un mécanisme autre que la conduction thermique. Dans toute la suite, Pvi sera lié à l’effet Joule.

1) Evaluation de Pvi

Rappeler l’expression de la puissance volumique Pvi reçue par effet Joule en un point M d’un matériau conducteur ohmique en fonction de la conductivité électrique γ et de la densité de courant électrique volumique j.

Nous ne sommes pas suffisamment avancés en cours pour répondre à cette question sans l’ajout suivant. Nous verrons dans le chapitre EM4 (Energie du champ électromagnétique) :

- l’expression de la loi d’Ohm locale reliant la densité de courant volumique j

au champ électrique E

créant ces courants : j E



 ( étant la conductivité électrique).

- l’expression de la puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charge : j.E

dτ dP  

 .

Notez que l’on peut aussi traiter cette question par analogie avec le cours sur la diffusion thermique (analogie entre résistance électrique et résistance thermique).

2) Etablissement de la relation div

 

Figure 2

a) Rappeler la loi de Fourier relative à la conduction thermique dans un matériau de conductivité thermique λ. On notera j_th

le vecteur densité de courant thermique.

b) Faire un bilan énergétique de la tranche comprise entre x et x + dx en régime stationnaire. En déduire une équation différentielle liant jth et Pvi (figure 2).

c) Donner l’expression de div

 



en coordonnées cartésiennes.

d) Montrer que l’expression trouvée en I)2)b) est compatible avec la loi locale div

 

.

II) Analogie

L’idée est de montrer que le comportement de V est le même que celui du produit B = λ.T lorsque la conductivité thermique λ est uniforme.

1) Reproduire et compléter le tableau suivant :

Electrostatique E?

 

 

ε0

ρ V

Conduction thermique j_th ?

 

 

? λ.T

2) En considérant λ uniforme, quelle est l’expression donnant le laplacien de T ?

III) Application au profil de température d’un câble déroulé

On considère ici un câble rectiligne cylindrique de longueur L, formé d’une âme en cuivre de diamètre b gainée par un isolant électrique en PVC. Le diamètre hors tout du câble est noté δ.

Ce fil est parcouru par un courant électrique d’intensité supposée constante I (I est en fait l’intensité efficace équivalente pour les effets thermiques).

La puissance volumique apportée par effet Joule dans la partie en cuivre est Pvi. Ce câble est en régime stationnaire pour les effets électriques et thermiques.

On s’intéresse aux phénomènes se produisant dans la partie en cuivre.

On notera Ta la température de l’interface cuivre-gaine.

Les données sont les suivantes :

 Conductivité électrique du cuivre : γ = 5.10⁷ S.m^-1

 Conductivité thermique du cuivre : λ = 400 W.m^-1.K^-1

 Ta = 291,3 K

 Pvi = 80.10³ W.m^-3

 δ = 1 cm

 b = 5 mm

 L = 50 m

1) Evaluer littéralement en fonction des données : a) La section droite de l’âme en cuivre.

b) La puissance électrique totale Pe consommée par le câble ; vérifier son ordre de grandeur : Pe = 78,4 W.

c) L’intensité I du courant électrique.

2) Température interne

a) A partir de l’analogie développée en B-II, et en adaptant les résultats obtenus en partie A, donner l’expression littérale de T en fonction de r.

b) Donner l’expression littérale de la température T0 en r = 0.

c) Les calculs numériques donnent : T0 – Ta = 3.10^-4 K ; quelles conclusions en tirez-vous ?

PARTIE C : Modélisation d’un câble bobiné

Le câble décrit au paragraphe B-III (âme en cuivre, gaine PVC, longueur L, diamètre hors tout δ) est, à présent, bobiné sur un enrouleur pour former un ensemble cylindrique de rayon interne R1, de rayon externe R2 et de hauteur d. Il alimente un appareil sous une tension sinusoïdale.

Modèle géométrique :

Pour l’enroulement, on adopte un modèle simplifié dans lequel le câble s’organise en spires jointives, chaque spire étant circulaire (on néglige l’hélicité de l’enroulement) ; l’empilement des couches successives détermine un réseau carré dans tout plan méridien (figure 3).

Figure 3 I) Etude géométrique

On cherche à évaluer le nombre de couches d’enroulement.

Les données géométriques sont : R1, δ, L et d.

1) Méthode couche par couche On doit enrouler L = 50 m de câble.

a) Déterminer le nombre N de spires par couche.

b) On appelle R0 le rayon moyen des spires de la couche bobinée sur le moyeu du cylindre de rayon R1. Relier R0, R1 et δ.

c) Reproduire et remplir le tableau suivant, les couches étant numérotées de l’intérieur vers l’extérieur :

Couche n°… Rayon moyen Longueur bobinée sur cette couche

1 R0 L1

2 L2

k Lk

d) Déduire de ce qui précède que le numéro k de la dernière couche est donné par une équation du 2^ème degré : A.k² + k – B = 0 ; donner les expressions littérales de A et B en fonction des données géométriques.

e) Les valeurs approchées sont : A = 1/12 et B = 11. Donner la valeur approchée de k.

f) Calculer R2.

2) Méthode différentielle

a) Dénombrer le nombre de spires par maille carrée dans le plan méridien.

b) En déduire le nombre n de spires par unité de surface dans le plan méridien.

c) En admettant que δ est suffisamment petit pour que l’on puisse passer au calcul différentiel, et en remarquant que

dS

n dN^S , dNS étant le nombre de spires contenues dans l’élément de surface dS, calculer la longueur dL de câble dans la couche comprise entre r et r + dr.

d) En déduire l’équation donnant R2 sous la forme R₂  R₁² K ; expliciter K en fonction des données géométriques.

e) La résolution numérique donne R2 = 12,98 cm ; en déduire le nombre de couches.

II) Etude des températures

Du point de vue thermique, en régime stationnaire, la grandeur intéressante est l’intensité efficace I.

On adopte donc le modèle électrique suivant :

 Le câble équivaut à un fil cylindrique parcouru par un courant constant d’intensité I.

 Ce câble se comporte comme un conducteur ohmique de résistance électrique R.

Pour l’étude thermique, on adopte le modèle suivant :

 Le milieu étant inhomogène, on le remplace par un milieu homogène équivalent, de même géométrie cylindrique, de conductivité thermique équivalente Ke, en tout pont duquel est reçue la puissance électrique volumique P’vi.

 Le cylindre est isolé thermiquement partout sauf à la surface latérale externe de rayon R2 où s’échange une puissance convective.

Les transferts convectifs avec l’air extérieur sur la surface latérale sont donnés par la loi de

Newton :





conv -h T -T dS

dP  avec : dS élément de surface latérale

Ta température à la surface

Te température extérieure

h coefficient de transfert convectif.

Les données sont à présent les suivantes :

 R1 = 6 cm

 R2 = 13 cm

 d = 12 cm

 δ = 1 cm

 Ke = 1,5 W.m^-1.K^-1

 h = 20 W.m^-2.K^-1

 P’vi = 15,6.10³ W.m^-3

 Te = 300 K

1) Détermination de la puissance électrique totale Pe absorbée

a) Déterminer l’expression littérale du volume Vc du cylindre entre R1 et R2.

b) Sachant que Vc = 5,01.10^-3 m³, donner une valeur approchée de la puissance électrique Pe

consommée par le câble enroulé. Conclure.

2) Evaluation de la température de surface

Par un bilan énergétique fait sur la totalité du câble bobiné cylindriquement en régime stationnaire, déterminer littéralement la température de surface Ta en r = R2. On donnera l’expression en fonction de Pe et des données.

3) Température au centre

En utilisant et en adaptant les résultats de A-III et B-II, montrer que

   







 



 



 



2 2 1

1 2 2 2

1 R

B.ln R R

- R A.

R T - R

T en explicitant les constantes A et B.

III) Justification du modèle thermique

On cherche ici à justifier la démarche consistant à passer du réseau réel de câbles bobinés à un milieu continu équivalent.

 Pour des raisons de simplicité et dans le but de comprendre les phénomènes physiques mis en jeu, nous raisonnons sur un empilement carré de câbles rectilignes de longueur l, de diamètre δ, contenant une âme en cuivre de section S et de conductivité électrique γ parcourue par un courant électrique d’intensité I (figure 4).

 Les positions des câbles sont repérées, en coordonnées cartésiennes, par les coordonnées de leurs centres. Nous supposons le problème invariant selon z.

 Le fil 0 est repéré par (x0, y0) ; il est entouré en contact direct par les 4 fils (1…4).

 On considérera la température de chaque fil comme uniforme et on notera :

- pour le fil 0 : T0 = T(x0, y0), - pour le fil 1 : T1 = T(x1, y1)…

 le régime est stationnaire.

Figure 4

 Modèle :

La puissance thermique transférée entre un fil et chacun de ses 4 voisins au contact est donnée par : Pth = α.l.δT où δT = Ti – T0 T0 température du fil étudié ;

Ti température du fil n°i en contact avec le fil 0.

Les données de cette question sont : I, S, γ, α et δ.

1) Repérage des fils

a) A partir de la figure 4, remplir le tableau de coordonnées suivants :

Fil n° 0 1 2 3 4

x x0

y y0

b) Développement limité à l’ordre 2

α) On considère δ petit. Montrer que le développement limité à l’ordre 2 de T1 – T0 est :









0

1 x ,y

x B. T y , x x A. T T -

T 

 



  ; expliciter A et B en fonction des données.

β) En déduire les développements à l’ordre 2 de (T3 – T0) et {(T1 – T0) + (T3 – T0)}.

c) Faire exactement de même pour (T4 – T0) et {(T4 – T0) + (T2 – T0)} sachant que

 





2 0

0 0

2 x ,y

y B. T y , y x A. T T -

T 

 



  .

2) Equation locale

a) Déduire d’un bilan d’énergie sur le fil n° 0 la loi locale suivante : 



 











 





2 2 2 2 2

C.

S - . I 1

y T x

T

 ^.

C est une constante à expliciter en fonction des données.

b) Quel est l’opérateur correspondant au terme en facteur de C dans l’expression précédente.

c) En utilisant les résultats des questions A-IV et B-II, expliquer à quelle grandeur correspond la constante C et, en recherchant dans les données, donner sa valeur numérique.