PT 2020-2021 26-02-2021 DEVOIR SURVEILLE n° 5
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L’usage de calculatrice est autorisé pour le 1
eret le 3
èmeproblème, et interdit pour le 2
èmeproblème.
Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.
Vous devez traiter les 3 problèmes sur 3 copies différentes.
Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie
« blanche ».
Barème Ramassé à Premier problème 16 % 14h00 Deuxième problème 44 % 16h00 Troisième problème 40 % 17h00
Vous avez tout intérêt à faire dans l’ordre : le 1er problème, puis le 2ème problème, et enfin le 3ème problème !
Vous êtes libres de commencer le problème suivant avant que je ramasse les copies (vous pouvez par exemple commencer le 2ème problème avant 14h00).
PREMIER PROBLEME : Rôle constructif de la diffraction dans les réseaux (d’après concours national DEUG 2004)
Ce problème représente 16 % du barème.
L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.
Un réseau plan par transmission, noté (R), comporte N fentes fines, parallèles, de longueur infinie et séparées par la distance a (pas du réseau). Ce réseau parfait, d’épaisseur négligeable, est éclairé perpendiculairement aux fentes, par une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ, sous l’incidence i.
L’onde lumineuse diffractée dans la direction caractérisée par l’angle θ, résulte de la superposition des N ondes cohérentes émises par les fentes.
Les angles i et θ sont comptés à partir de la normale au réseau, positivement dans le sens trigonométrique (figure ci-dessous).
I) Diffraction à l’infini : formule du réseau
Soit δ la différence de marche entre deux rayons consécutifs. Sur la figure ci-dessus, par exemple, le rayon (2) présente un retard de marche H2I2 à l’incidence et une avance de marche I1H1 à l’émergence, par rapport au rayon (1) (les angles I1Hˆ2I2 et I2Hˆ1I1 valent
2 π).
1) Exprimer, en fonction de H2I2 et I1H1, la différence de marche δ (comptée positivement sur l’exemple de la figure ci-dessus) entre les rayons (1) et (2). En déduire, en fonction de a, i et θ, une autre expression de δ.
2) Pour qu’il y ait interférences constructives dans la direction définie par l’angle θ, les ondes diffractées à l’infini par deux fentes consécutives doivent être nécessairement en phase : 2kπ
λ π δ
2
, avec k
entier relatif. Déterminer, en fonction de a, i, λ et k, les directions θk des maxima principaux de lumière diffractée, d’ordre k (formule du réseau).
3) Décrire, brièvement, le principe de la construction d’un réseau plan par transmission.
II) Spectromètre
La déviation Dk, d’un des rayons émergents, est l’angle que fait sa direction de propagation avec celle de la lumière parallèle incidente définie par i.
1) Proposer le schéma d’un dispositif qui, en pratique, permet d’observer et de repérer les directions de ces maxima principaux.
2) Exprimer, en fonction de θk et i, la déviation Dk.
3) L’angle d’incidence i peut être modifié. Pour une certaine valeur i = im,k, la déviation Dk d’un rayon émergent, choisi dans l’ordre k, présente un extremum (minimum) Dm,k non nul.
Montrer que l’égalité 0 di dDk
entraîne, au minimum de déviation, la relation im,k = ± θm,k.
4) Exprimer la déviation Dm,k en fonction de im,k.
5) En déduire la relation entre Dm,k, k, λ et a (formule du réseau au minimum de déviation).
6) Application numérique. Des mesures ont donné les résultats suivants :
Lampe spectrale Radiation λ (nm) Ordre k Dm,k (degrés) Mercure Vert « fluo » 546,1 2 35,32
Hélium Jaune ? 2 38,11
Calculer :
6.1) le nombre N* de traits par mm présenté par le réseau ; 6.2) la longueur d’onde λ de la raie jaune de l’hélium.
DEUXIEME PROBLEME : Mesures interférométriques (d’après banque PT 2014) Ce problème représente 44 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
I) Trou d’Young.
Un LASER envoie, sur un trou circulaire de faible diamètre d percé dans un plan 0, un faisceau de lumière parallèle monochromatique, de longueur d’onde dans le vide 0 (Figure 0).
On observe la figure 1 sur écran E placé à la
distance D de 0 (Eet 0sont parallèles). Figure 0
Le faisceau incident se propage dans l’air (indice absolu Na) dans la direction X’X perpendiculaire aux plans.
On associe au plan E un repère (Y’Y, Z’Z).
La figure 2 donne, en fonction de z, l’intensité lumineuse I observée sur E.
Figure 1 : photo sur laquelle on a superposé l’axe de repérage (origine au centre de la tache)
Figure 2 : L’intensité est maximale au centre (en z = 0). Elle est nulle en z1.
1)
a) Quel est le phénomène physique mis en jeu ?
b) Le rayon R de la tache centrale, supposé égal à z1, est donné par une des relations suivantes :
d D N K. λ
a
0 . ou 2
a 0
d D N
K. λ . ou
D d N K. λ
a 0 .
Ecrire la bonne réponse en justifiant brièvement les raisons de votre choix (K est une constante sans dimension dépendant de la géométrie et dont la valeur approchée est K = 1,2 pour un trou circulaire).
2) On peut considérer que le trou d’Young se comporte comme une source lumineuse, notée S, quasi ponctuelle, émettant de la lumière dans un cône d’ouverture correspondant à la tache centrale de la figure 1.
a) Evaluer littéralement.
b) Tracer, en fonction de z, le profil de l’intensité lumineuse sur E en supposant que la zone éclairée l’est uniformément.
c) Comparer ce profil et la figure 2. Conclure en 5 lignes maximum sur la validité de ce modèle.
Dans toute la suite, les trous d’Young seront assimilés à une telle source ponctuelle.
II) Dispositif interférentiel à deux trous d’Young.
Le dispositif est le même qu’en I), mais le faisceau arrive sur deux trous d’Young percés dans le plan 0 (Figure 3). Ces trous d’Young, éclairés par un faisceau incident parallèle se propageant dans la direction OX, se comportent comme deux sources lumineuses S1 et S2 ponctuelles, monochromatiques, synchrones, cohérentes, distantes de b (Figure 3a) ; ces deux sources émettent une même lumière de longueur d’onde dans le vide 0. Elles sont symétriques par rapport à l’axe OX.
Ces ondes se propagent dans l’air d'indice optique absolu Na.
On utilise le repère {OXYZ}, l’origine O étant au milieu de S1S2 (Figure 3).
On observe des interférences dans la zone commune d’éclairement du plan E. Cette zone est sensiblement un disque de rayon R = 1 cm (Figures 3 et 3b).
On s’intéresse aux phénomènes en un point M (x = D, y, z) du plan E.
Figure 3
Figure 3a : Vue en coupe
Figure 3b : vue du plan π E
En gris : Zone commune d’éclairement des 2 sources
1) Préciser la signification des termes synchrone et cohérent.
2) Les distances séparant les sources du point M (de coordonnées D, y, z) sont notées respectivement d1 = S1M et d2 = S2M.
a) Evaluer d2, d1 en fonction de y, z, D et b.
b) En déduire la différence de marche = d2 - d1 lorsque y, z et b sont très petits devant D.
c) Relier la différence de chemin optique 2/1, et l’indice absolu de l’air Na.
3) Montrer que l’intensité lumineuse au point M est de la forme I = A.{1 + cos(B)} et expliciter B en fonction de 2/1 et 0.
4) Reproduire et compléter la figure 3b en dessinant l’allure géométrique des franges d’intensité maximale.
5) Evaluer le nombre de franges d’intensité maximale observable avec : 0 = 500 nm, b = 2 mm, Na 1, D = 2 m.
III) Montage expérimental.
On reprend le montage précédent de II) mais on observe, à présent, les phénomènes sur un écran situé dans le plan focal image d’une lentille convergente (L2). Cette lentille, fonctionnant dans les conditions de Gauss, sera considérée comme parfaitement stigmatique pour ses points conjugués. Les trous d’Young sont symétriques par rapport à l’axe optique OX de la lentille L2.
Figure 4
On regarde ce qui se passe en un point M d’ordonnée y du plan . On suppose que S1 et S2 sont en phase.
Démontrer que la différence de chemin optique 2/1 entre l’onde arrivant en M issue de S2 et celle issue de S1 est :
f' y .b δ2/1Na .
On justifiera de manière précise, à l’aide de schémas, les raisonnements utilisés.
IV) Mesure d’indice de réfraction.
Le dispositif de mesure comprend une source de lumière monochromatique S, ponctuelle, de longueur d’onde dans le vide 0, placée au foyer objet d’une lentille convergente L1 (Figure 5).
Entre les deux lentilles L1 et L2 (considérées comme minces, identiques, de distance focale f’), on dispose deux cuves C1 et C2 identiques de longueur L.
Deux fentes d’Young séparées de la distance b sont placées avant L2 symétriquement par rapport à l’axe SO.
On observe sur un écran dans le plan focal image de L2.
Les points S et O sont sur l’axe optique commun de L1 et L2.
La cuve C2 contient de l’air d’indice optique absolu Na ; la cuve C1 contient un gaz d’indice optique absolu N1.
1) Déterminer la différence de chemin optique 2/1 entre une onde issue de S arrivant en M en étant passée par C2 et celle qui est passée par C1.
On donnera le résultat en fonction de Na, N1, b, f’, L et l’ordonnée y de M sur .
Figure 5
2) Tous les résultats trouvés en II-3) sont valides avec cette expression de 2/1 ; déterminer l’interfrange i’.
3) Un capteur placé en O (y = 0) est couplé à un compteur qui s’incrémente de 1 unité à chaque détection d’une frange brillante. On part d’un état initial où les cuves C1 et C2 sont remplies d’air.
a) Quel est l’ordre d’interférence po initial en O ?
b) On remplace progressivement l’air de la cuve C1 par du gaz d’indice N1 (N1 > Na). Lorsque C1 est uniquement rempli de ce gaz, le détecteur s’est incrémenté de k unités. Préciser le nouvel ordre en y
= 0 et le sens dans lequel le système de frange a défilé (on attend ici une réponse argumentée).
c) Déterminer l’expression littérale de N1 en fonction de Na, k, L et 0.
d) Avec L = 1,00 m ; k = 100 ; Na = 1,0002926 ; 0 = 500 nm, on obtient N1 = 1,0003426.
Pour chaque grandeur, on admet une erreur absolue de 1 sur le dernier chiffre indiqué.
Combien de chiffres significatifs doit-on conserver dans le résultat de N1 (réponse argumentée requise).
V) Suivi de déplacement
On utilise un dispositif de Michelson à deux miroirs parfaitement orthogonaux, éclairés par un fin pinceau lumineux monochromatique émis par un LASER. On se ramène au modèle dans lequel la séparatrice, inclinée à 45°, est idéale (elle est semi réfléchissante, infiniment mince et n’introduit aucun déphasage) (Figure 6).
Figure 6 M2 : miroir fixe (OO2 = d)
M1 : miroir lié à la cible : OO1 = d + x(t) ; x(0) = 0 Les données sont ici :
indice optique de l’air : Na=1
longueur d’onde dans l’air : .
1) Déterminer l’intensité lumineuse I arrivant sur le détecteur D ; montrer qu’elle se compose d’un terme constant et d’un terme variable lié au déplacement x(t).
2) Le détecteur D élimine la composante constante du signal et donne une tension Ud proportionnelle à la composante variable de l’intensité I.
Montrer que Ud = Uo.cos() et expliciter en fonction de x et des données.
3) Le détecteur D est couplé à un compteur C incrémenteur de franges (cf IV-3)).
Le compteur est à 0 lorsque x = 0.
a) On envisage un déplacement de la cible toujours dans le même sens sur une longueur L = 200 ; quelle sera l’indication du compteur ?
b) On envisage à présent un déplacement de L1 = 100 dans un sens et L2 = 100 en sens inverse.
Donner l’abscisse finale de la cible et l’indication du compteur dans ce cas.
c) A quelle grandeur accède-t-on finalement par ce dispositif interférentiel ?
4) Lame à retard
On interpose sur le bras OO2, une lame d’indice N et d’épaisseur e, dans le but que le détecteur D délivre la tension Ud = Uo.sin() , ayant la même expression que celle trouvée en 2).
Donner l’expression littérale des épaisseurs possibles de la lame pour qu’il en soit ainsi.
5) Mesure d’abscisse.
Le dispositif interférométrique de suivi de déplacement est modifié de manière à générer, à l’aide de 2 détecteurs, les tensions Ud1 = Uo.cos() et Ud2 = Uo.sin() (Figure 7).
Figure 7
Dans la figure 8, les expressions donnent les relations entre les tensions de sortie (s) et d’entrée, par rapport à la masse. Les Kp sont des constantes.
Figure 8
a) On cherche les tensions UX1 et UX2 à la sortie des multiplieurs ; remplir le tableau suivant : Tension sur l’entrée 1 Tension sur l’entrée 2 Tension de sortie
X1 X2
b) Donner l’expression de Ua.
c) Donner l’expression de Us.
d) Quel est l’intérêt de ce montage ?
TROISIEME PROBLEME : Interféromètre de Michelson (d’après banque PT 2005)
Ce problème représente 40 % du barème.
L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.
On étudie des phénomènes d’interférences à deux ondes que l’on illustrera à partir de la question 2 à l’aide de l’interféromètre de Michelson.
1.1. Préciser pour lequel des deux cas suivants il peut y avoir localisation des franges en lumière monochromatique :
a) on utilise une source ponctuelle, b) on utilise une source étendue.
Pour obtenir des interférences à deux ondes, on peut utiliser, soit un dispositif à division de front d’onde, soit un dispositif à division d’amplitude. Lequel de ces types de dispositif permet d’observer des interférences localisées ?
Donner un exemple de dispositif à division de front d’onde.
Donner un exemple de dispositif à division d’amplitude.
1.2. Qu’appelle-t-on longueur de cohérence ? Quel est son rôle dans les conditions d’observation des franges d’interférences ?
2.1. Un interféromètre de Michelson est constitué par une lame semi-réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice Sp dont les facteurs de transmission et de réflexion sont supposés égaux, et de deux miroirs plans M1 et M2 perpendiculaires l’un à l’autre. La lame Sp est inclinée à 45° par rapport aux normales à M1 et M2. L’interféromètre est plongé dans l’air. Dans tout le problème, on ne tiendra compte, ni des inconvénients liés à l’épaisseur non négligeable de la séparatrice (inconvénients supposés parfaitement corrigés grâce à une lame compensatrice), ni d’éventuels changements de phases par réflexion. L’indice de l’air sera pris égal à 1.
On utilise comme source étendue S une lampe spectrale de symétrie de révolution autour de l’axe SJ.
Comment peut-on sélectionner une raie quasi-monochromatique de la lumière émise par la lampe ? 2.2. L’interféromètre a été réglé de sorte que les deux bras sont égaux (JA1 = JA2). L’observation se fait
en lumière monochromatique, dans le plan focal d’une lentille mince convergente (L) d’axe optique Jy et de distance focale f’ = 1 m.
a) Qu’observe-t-on ?
b) Pourquoi est-il nécessaire de diaphragmer la lentille (L) ou de limiter l’inclinaison des rayons incidents issus de la source S ?
2.3.1. On translate M2 normalement à son plan de e = 1,1 mm dans la direction des x positifs. On considère un rayon incident d’angle d’incidence i (petit devant un radian). Montrer à l’aide d’un schéma que le phénomène d’interférences observé est analogue à celui d’une lame d’air à faces parallèles. Faire un tracé des deux rayons lumineux émergents de l’interféromètre, associés à cet incident. En quel point P de l’écran vont-ils interférer, après passage dans la lentille ? Exprimer la différence de marche en ce point en fonction de l’inclinaison i des rayons émergents de l’interféromètre par rapport à l’axe (A1,y). En déduire l’éclairement sur l’écran et l’ordre d’interférences p au point P associé à l’angle d’incidence i. En quel point de l’écran cet ordre p est-il maximal ?
Dans toute la suite, on se contentera d’une analyse limitée à l’ordre 2, inclus, en i (angle d’incidence).
2.3.2. Quel est le lieu de localisation des franges d’interférences ?
2.3.3. Avec une raie de longueur d’onde λ = 546,1 nm dans le vide, et toujours avec e = 1,1 mm, déterminer la valeur maximale de l’ordre d’interférence, et en déduire l’ordre d’interférence du premier anneau brillant, puis son rayon. Déterminer, de même, les rayons des deuxième et troisième anneaux brillants.
Que constate-t-on ?
2.3.4. On place sur le bras JA1 et parallèlement au miroir M1, une lame transparente à faces parallèles d’épaisseur e’ = 9,50 µm et d’indice n = 1,5117. Calculer la variation, due à l’introduction de cette lame, de l’ordre d’interférence au centre.
Dans toute la suite, on enlève cette lame à faces parallèles.
2.4.1. A partir de la situation où les deux bras sont égaux (JA1 = JA2), on fait tourner le miroir M2 d’un angle α très faible autour d’un axe passant par A2 et perpendiculaire au plan passant par J, A1 et A2. Montrer à l’aide d’un schéma que le dispositif est équivalent à un coin d’air d’angle α.
2.4.2. Comment éclairer le coin d’air sous incidence quasi-normale ?
2.4.3. Le centre de la source éclaire (après réflexion sur la séparatrice), le miroir M1 en incidence normale ; faire apparaître à l’aide d’un schéma, la position du plan de localisation de la figure d’interférences. Lors d’une observation oculaire, sur quelle surface a-t-on l’impression que les franges sont « peintes » ?
2.4.4. Pour observer une image nette et agrandie des interférences sur un écran, on utilise une lentille convergente L’ de distance focale 0,20 m (cette lentille remplace la lentille L) et un écran. La lentille est placée à 0,25 m du miroir M1, son axe optique correspond à l’axe (Jy) (on rappelle que l’angle α est très faible). Préciser la position de l’écran d’observation et calculer le grandissement.
2.4.5. Caractériser le système de franges et donner l’expression de l’interfrange i observé sur l’écran.
Application numérique : i = 3,75 mm ; λ = 546,1 nm. Donner la valeur de α.
2.4.6. On éclaire le coin d’air en lumière blanche ; qu’observe-t-on sur l’arête du coin d’air (ou sur son image) ?
Expliquer pourquoi, si l’angle α augmente, la région du coin où l’observation des franges en lumière blanche (teintes de Newton) est observable devient plus étroite.
2.5.1. L’interféromètre est réglé comme à la question 2.4, mais la source primaire est maintenant une lampe à vapeur de sodium dont on suppose que le spectre d’émission ne contient que deux raies intenses, de couleur jaune et de longueurs d’onde λ1 = 589,0 nm et λ2 = λ1 + Δλ, avec 0 < Δλ << λ1. On observe alors nettement les franges obtenues dans la question 2.4. Ensuite, on translate M2 d’une distance d, et on constate que les franges disparaissent une première fois lorsque d = 0,15 mm.
Expliquer le phénomène.
2.5.2. En déduire Δλ et λ2.
