PT 2020-2021 26-03-2021 DEVOIR SURVEILLE n° 6
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L’usage de calculatrice est interdit pour l’ensemble des problèmes constituant ce devoir.
Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.
Vous devez traiter les 3 problèmes sur 3 copies différentes.
Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie
« blanche ».
Barème Ramassé à Premier problème 42 % 15h00 Deuxième problème 27 % 16h00 Troisième problème 31 % 17h00
Vous avez tout intérêt à faire dans l’ordre : le 1er problème, puis le 2ème problème, et enfin le 3ème problème !
Vous êtes libres de commencer le problème suivant avant que je ramasse les copies (vous pouvez par exemple commencer le 2ème problème avant 15h00).
PREMIER PROBLEME : Etude d’une micro-pompe électrostatique (d’après banque PT 2000) Ce problème représente 42 % du barème. L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
Les valeurs numériques demandées seront exprimées avec un seul chiffre significatif.
Première partie : électrostatique
L’espace est rapporté au repère cartésien (O, x, y, z) et on se situe dans l’air (assimilé au vide quant aux propriétés diélectriques).
Figure1
I.1. Etude d’un fil infini uniformément chargé
On considère un fil rectiligne illimité porté par (Oz), portant une distribution uniforme de charge > 0 (figure 1).
I.1.1. Déterminer la direction du champ E
en tout point de l’espace par des considérations de symétrie.
I.1.2. On fixe le point M sur le fil, à l’altitude z, et le point P sur l’axe Ox, tel que OP = R > 0. Un petit élément de charge dq = dz au voisinage du point M crée au point P un champ élémentaire dE
. Exprimer dE
en fonction de 0, R, et dθ, et d’un vecteur unitaire à préciser.
I.1.3. En déduire le champ E
total au point P par intégration de l’expression précédente.
I.1.4. Retrouver ce résultat à partir du théorème de Gauss.
I.2. Etude d'une plaque infinie uniformément chargée
On considère maintenant une plaque infinie dans le plan Oyz uniformément chargée avec la densité surfacique de charge σ > 0.
I.2.1. En décomposant ce plan en de minces rubans d’axe z, de largeur dy, d’abscisse y, et en utilisant le résultat relatif à un fil, trouver l’expression du champ E
au point P.
I.2.2. Justifier à partir des symétries l’orientation du champ E
. Retrouver alors le résultat de I.2.1 à partir du théorème de Gauss.
I.2.3. A.N. Calculer E
pour σ = 7.10-5 C.m-2. On rappelle que ε0
π 4
1 = 9.109 SI.
I.3. Etude de deux plaques infinies uniformément chargées
On considère maintenant deux plaques infinies A et B, la première dans le plan Oyz uniformément chargée avec la densité surfacique de charge σ > 0, et la deuxième parallèle à la première translatée du vecteur ie.
chargée avec la densité surfacique de charge - σ.
I.3.1. Exprimer les champs EA et EB
créés en tout point de l’espace par les plaques A et B.
I.3.2. En utilisant le théorème de superposition, exprimer le champ E
à l’extérieur et à l’intérieur des deux plaques. Dessiner quelques lignes de champ.
I.3.3. Déterminer l’expression de la différence de potentiel VA - VB. I.3.4. A.N. Calculer VA - VB pour σ = 7.10-5 C.m-2 et e = 5 µm.
I.3.5. Sur chacun des plans, isolons par la pensée deux régions identiques d’aire S. En déduire la capacité C du condensateur formé par les deux surfaces S en regard.
Dans la suite du problème, on négligera les effets de bord, et pour un condensateur ayant des armatures de surface S, espacées de e, on gardera cette expression pour C.
I.3.6. Exprimer la force électrostatique F
qui s’exerce sur la surface S d’une plaque en fonction de 0, σ et S (on précisera sens et grandeur).
I.3.7. En déduire alors l’expression de la pression électrostatique Pel définie comme le module de la force par unité de surface (F/S) : on notera que cette pression tend à arracher des charges à la surface.
I.3.8. A.N. Calculer Pel pour σ = 7.10-5 C.m-2.
Deuxième partie : étude d'un condensateur
Figure 2
Dans cette partie, on considère un condensateur plan dont une armature (armature B) est mobile et l’autre est fixe (armature A). Les armatures sont dans des plans parallèles au plan Oyz (figure 2). On se situe dans l’air (dont les propriétés diélectriques sont considérées comme celles du vide).
Le mouvement de l’armature mobile est possible dans la direction Ox. Les armatures du condensateur sont espacées d’une distance x variable, et les surfaces en regard valent S. En valeur absolue, les armatures sont chargées à la valeur Q.
Un opérateur déplace l’armature mobile de façon réversible de la quantité dx, c’est-à-dire suffisamment lentement pour que la transformation soit quasi statique (à tout moment il y a équilibre statique entre l’effort Fop Fop.i
de l’opérateur sur l’armature mobile et la force électrostatique Fel Fel.i
de l’armature fixe sur l’armature mobile). On note δW le travail élémentaire fourni par l’opérateur au système. On op note δW le travail élémentaire de la force électrostatique. On note el E l’énergie électrostatique du condensateur.
II.1. Etude à charge Q constante
II.1.1. Montrer que l’énergie électrostatique d’un condensateur de charge Q et de capacité C est E = Q2/2C. Déterminer alors E en fonction de Q, S, x.
Il.1.2. Quelle relation existe entre δW et dE ? De même, quelle relation existe entre op δW et dE ? el
II.1.3. En déduire l’expression du vecteur Fop .
II.1.4. En déduire l’expression du vecteur Fel .
II.2. Etude à tension constante
Le condensateur est maintenant relié à un générateur de tension parfait qui impose une tension constante U = VA - VB, aux bornes du condensateur. On note δW l’énergie élémentaire fournie par le générateur G au système lors du déplacement. On note δQ la variation de charge du condensateur.
II.2.1. Exprimer δW et dE en fonction de δQ et de U. En déduire la relation entre G δW et dE. On G exprimera E en fonction de U, S, x et 0.
II.2.2. Quelle relation lie δW , G δW et dE ? op
II.2.3. En déduire l’expression de Fop et Fel
en fonction de la dérivée de E par rapport à x, puis en fonction de U et des données géométriques du problème. Comparer aux résultats de la question II.1.
II.2.4. Calculer Fel
pour U = 40 V, x = 5 µm et S = 12 mm2.
DEUXIEME PROBLEME : Pince ampèremétrique (d’après banque PT 2014)
Ce problème représente 27 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
Les valeurs numériques demandées seront exprimées avec un seul chiffre significatif.
Données :
perméabilité magnétique du vide : 0 = 4.10-7 H.m-1 ; ln(1,1) – ln(0,9) = 0,2 + 7.10-4 ;
2
2 0,7 ; 2 10.
La mesure de l’intensité d’un courant électrique peut nécessiter des méthodes très éloignées de celle utilisée dans un multimètre d’usage courant. Ce sujet envisage une méthode particulièrement adaptée à la mesure de courants d’intensité élevée : la pince ampèremétrique. Dans ce problème, les courants mesurés ont des intensités de l’ordre du kA.
L’ouverture de la pince ampèremétrique permet d’insérer dans sa boucle le fil parcouru par le courant dont l’intensité est à mesurer. Lorsque la pince est fermée, ses deux mâchoires constituent une bobine. Le phénomène d’induction magnétique permet d’obtenir aux bornes de cette bobine une tension directement liée à l’intensité à mesurer.
Figure 0 1) Principe
Le courant dont l’intensité variable i1(t) est à mesurer parcourt un fil rectiligne (1), confondu avec l’axe Oz, dont les bornes A1 et A2 sont supposées, dans un premier temps, infiniment éloignées l’une de l’autre. Il s’agit de déterminer le champ magnétique B1
créé par le fil (1) en tout point M de l’espace en dehors du fil. Le point M est repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z), cf. Figure 1.
1.a) Par des arguments précis, indiquer la direction du champ magnétique B1
créé en M.
1.b) Représenter l’allure des lignes de champ B1 dans un plan perpendiculaire au fil : pour la figure, le sens du courant i1 dans le fil est choisi dans le sens de ez
.
Figure 1
1.c) Etablir l’expression du champ magnétique B1
(M, t).
La pince ampèremétrique est modélisée par une bobine (2) constituée d’un fil enroulé sur un tore d’axe Oz, de rayon moyen r0 = 5 cm et de section carrée de côté a = 1 cm. Le tore est supposé être constitué d’un matériau non magnétique, c’est-à-dire dont les propriétés magnétiques sont celles du vide.
L’enroulement comporte N = 1000 spires jointives et régulièrement réparties, cf. Figures 2 et 3. Ses extrémités sont reliées à un oscilloscope.
Figure 2 Figure 3
1.d) Exprimer le flux du champ B1
(M, t) à travers une spire de la bobine (2) orientée par sa normale eθ
. En déduire le flux de B1
(M, t) à travers la bobine (2).
1.e) Exprimer le flux du champ B1
(M0, t) = B1
(r0, θ, 0, t) à travers une spire de la bobine, en supposant le champ magnétique uniforme sur la surface de la spire et égal à sa valeur en M0. Donner la nouvelle expression du flux 21 du champ magnétique créé par le fil (1) à travers la bobine (2).
1.f) Quelle est l’erreur relative commise en remplaçant par 21 ? Pour la suite du problème, seule l’expression approchée 21 du flux sera utilisée.
1.g) Donner alors, au signe près, l’expression de la tension u2(t) obtenue aux bornes de la bobine (2).
Quelle est sa valeur lorsque l’intensité du courant i1(t) dans le fil (1) est constante ? Commenter.
2) Mesures
Le courant dans le fil (1) est sinusoïdal d’intensité i1(t) = Im cos(t). La bobine (2) étant reliée à un oscilloscope, l’oscillogramme obtenu est représenté sur la Figure 4 (échelles : 1 carreau pour 5 ms et 1 carreau pour 500 mV).
2.a) Etablir l’expression de la tension u2(t) à l’aide des paramètres 0, N, a, r0, et Im.
2.b) Quelle est la valeur numérique de la fréquence f du courant i1(t) ?
2.c) Quelle est la valeur numérique de l’intensité
efficace I1 du courant i1(t) ? Figure 4
3) Influence de la position du fil
3.a) Définir, à partir de 21, le coefficient d’induction mutuelle M21 entre les circuits (1) et (2) et donner son expression.
3.b) La bobine (2) est maintenant parcourue par un courant d’intensité i2(t) dont l’orientation est précisée Figure 5. Déterminer soigneusement la direction du champ magnétique B2
(M, t) qu’elle crée en tout point M repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).
3.c) Déterminer l’expression de ce champ en tout point de l’espace. Pour la suite, comme en 1.e), le champ magnétique B2
est supposé uniforme sur la surface d’une spire et égal à sa valeur en M0.
3.d) Les bornes A1 et A2 du fil (1) sont maintenant reliées entre elles pour former un circuit fermé ; ce circuit est supposé plan, contenu dans un plan méridien du tore. Donner l’expression du flux 12 du champ B2
créé par la bobine (2) à travers le circuit (1) ainsi réalisé. En déduire l’expression du coefficient d’induction mutuelle M12 défini à partir de 12 et commenter.
3.e) La figure 5 suggère une situation où la pince n’est pas centrée sur le fil (1), lui-même n’étant pas confondu avec l’axe de la pince.
Figure 5
Déduire de la question précédente que le résultat de la mesure faite en 2) n’est pas modifié.
3.f) Quels sont les avantages de la mesure du courant au moyen de cette pince par rapport à l’utilisation d’un ampèremètre ?
TROISIEME PROBLEME : Sonde de Hall (d’après banque PT 2014)
Ce problème représente 31 % du barème. L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
Les valeurs numériques demandées seront exprimées avec un seul chiffre significatif.
Données :
perméabilité magnétique du vide : 0 = 4.10-7 H.m-1 ; constante d’Avogadro : NA = 6.1023 mol-1 ;
charge de l’électron : - e = - 1,6.10-19 C ; masse de l’électron : m = 9.10-31 kg ;
La mesure de l’intensité d’un courant électrique peut nécessiter des méthodes très éloignées de celle utilisée dans un multimètre d’usage courant. Ce sujet envisage une méthode particulièrement adaptée à la mesure de courants d’intensité élevée : la sonde de Hall. Dans ce problème, les courants mesurés ont des intensités de l’ordre du kA.
Une sonde de Hall est un instrument dont le principe de fonctionnement repose sur une propriété découverte par Hall en 1879 : dans un barreau conducteur (ou semi-conducteur) traversé par un courant d’intensité I et soumis à un champ magnétique B
perpendiculaire à la direction du courant, il apparaît entre les faces latérales du barreau une tension : c’est la « tension de Hall », proportionnelle au champ magnétique B et au courant I.
Une telle sonde peut être utilisée pour mesurer un champ magnétique B ou une intensité I.
1) Loi d’Ohm
Un conducteur contient n porteurs de charge mobiles (électrons de masse m et de charge – e) par unité de volume. Il est placé dans un champ électrique permanent et uniforme E0
. Lors de son mouvement dans le référentiel du conducteur, supposé galiléen, un électron de vitesse v
subit de la part du réseau cristallin
une force v
τ -m f
.
1.a) Expliquer quel phénomène physique est à l’origine de la force f
. Que représente le paramètre τ ? 1.b) Etablir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v
(le poids de l’électron est négligeable devant les autres forces).
1.c) En déduire l’expression de la vitesse v
(t) en fonction de la vitesse v0 = v
(t = 0) et des données du problème.
1.d) En déduire l’expression de la vitesse limite atteinte par les électrons.
Cette valeur est très rapidement atteinte, elle sera prise comme valeur v
de la vitesse des électrons dans toute la suite du problème.
1.e) Donner l’expression du vecteur densité de courant j
en fonction de n, e et v .
1.f) Définir et exprimer la conductivité γ du conducteur. On rappelle la loi d’Ohm locale : j γE0
(ce
rappel n’était pas fourni par l’énoncé original, mais nous ne sommes pas assez avancés en cours).
1.g) Le conducteur est en cuivre, de masse molaire MCu = 60 g.mol-1 et de masse volumique Cu = 9000 kg.m-3. Exprimer puis calculer la densité volumique n des porteurs de charge mobiles sachant qu’il y a un électron libre par atome.
1.h) La conductivité du cuivre est γ = 6.107 S.m-1. Calculer τ et commenter la valeur trouvée.
2) Effet Hall
Une plaquette parallélépipédique de matériau conducteur, de largeur l et de hauteur h (cf. Figure 1) est parcourue par un courant de densité j
= j ex
sous l’effet d’un champ électrique permanent et uniforme E0
= E0 ex
(voir partie 1 ci-dessus). Elle est placée dans un champ magnétique permanent et uniforme B
= B ez .
Figure 1
2.a) En régime permanent, il apparaît dans la plaquette un champ électrique supplémentaire EH
appelé champ de Hall. Ecrire, en régime permanent, la relation fondamentale de la dynamique appliquée à un électron.
2.b) En déduire l’expression du champ de Hall EH
en fonction de v et B
, puis de j , B
et de la constante de Hall
e n - RH 1 .
2.c) Exprimer EH
en fonction de l’intensité du courant I parcourant la plaquette, B, l, h, RH et du vecteur unitaire convenable.
2.d) Quelle est l’expression du champ électrique total E
dans le conducteur ? En déduire l’expression de la tension UPN = VP – VN entre le point P (xP, l, zP) et le point N (xN, 0, zN), cf. Figure 1.
2.e) A quelle condition la tension UPN est-elle proportionnelle à B ? Cette condition sera supposée vérifiée pour la suite du problème et la tension UPN sera notée UH.
2.f) Calculer la constante de Hall RH dans le cas du cuivre. Dans la pratique, le matériau utilisé est un semi-conducteur dont la densité volumique des porteurs (toujours des électrons) est n = 1019 m-3. Quelle est alors la valeur de RH ?
2.g) Application numérique : la plaquette de semi-conducteur d’épaisseur h = 1 mm est parcourue par un courant d’intensité I = 10 mA. Montrer que le champ magnétique B (en T) est relié à la tension de Hall UH (en V) par la relation B = k UH, k étant une constante. Calculer la constante k puis la valeur de B sachant que la tension mesurée est UH = 6 V.
3) Mesure
3.a) Une spire circulaire, de centre O, d’axe Oz et de rayon R = 10 cm, est parcourue par un courant permanent d’intensité I0 (Figure 2).
Justifier que le champ magnétique créé par la spire en tout point M (0, 0, z) de son axe s’écrit
ez
B(z) ) z (
B
.
On admet que
2 3 2 0
R 1 z ) B z ( B
, avec
z 0 0 z 0
0 e
R 2 μ I e B
B
le champ magnétique au
centre O de la spire.
Figure 2
3.b) La plaquette de semi-conducteur précédente (cf. question 2.f)) est placée au centre de la spire, dans son plan : l’axe Oz est commun à la spire et à la plaquette. La tension de Hall est mesurée avec un voltmètre : UH = 20 mV. En admettant que le champ est uniforme dans toute la plaquette, égal à B0
, quelle est la valeur de I0 ?
3.c) Il s’agit maintenant d’évaluer la pertinence de l’hypothèse de l’uniformité du champ magnétique dans la plaquette. Calculer la variation relative
B0
ΔB du champ magnétique entre le point de l’axe Oz de cote 2 h
et le point O. Commenter cette valeur.
3.d) Justifier que, en dehors de l’axe Oz, le champ magnétique créé par la spire peut s’écrire :
z z
r
r (r,z)e B (r,z)e B
B
.
3.e) Quelle est la propriété du flux du champ magnétique ? Ecrire l’équation de Maxwell exprimant cette propriété.
3.f) Au voisinage de l’axe, la composante axiale varie très peu avec r : Bz (r, z) = Bz (0, z) = Bz (z), valeur du champ sur l’axe Oz. En calculant le flux du champ B
à travers un cylindre d’axe Oz, de rayon r, compris entre les cotes z et z + dz, montrer que
dz dB 2 - r
Br z .
3.g) En déduire l’expression de
0 r
B
B en tout point du plan de cote 2
h au voisinage de l’axe, en faisant les approximations qui s’imposent.
3.h) A quelle distance de l’axe la condition
0 r
B
B ≤ 0,1 % est-elle remplie ? Conclure quant aux
dimensions transversales de la plaquette.
3.i) La composante radiale du champ magnétique B
a-t-elle une influence sur la valeur de la tension de Hall ?
![Le Parlement interdit les plastiques jetables à compter de 2021. Communiqué de presse - 27-03-2019 […]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)