Conseils :
• Ce devoir comporte 3 problèmes.
• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la ré- daction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale simplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé,vérifiez l’homogénéité et la cohérence(tout résultat non homogène sera sanctionné).
Les résultats NON ENCADRÉS ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.
• Numérotez les questions et ajoutez le label de la marge Q1, etc.
• L’usage descalculatrices est autorisé.
I. M OUVEMENT D ’ UNE BILLE DANS UNE RIGOLE
bO
l0
z A B
M θ θ2 Un point matériel M de masse m dans
le référentiel du laboratoire est solidaire d’une rigole circulaire (de centreOet de rayonR) sur laquelle il peut glisser sans frottement.
Il est fixé en un pointB du plan horizontal par l’intermédiaire d’un élastique modélisé par un ressort de raideurket de longueur à videl0. Le bord de la rigole est à la distance l0du pointB.
1. Application de la relation fondamentale de la dynamique :
(a) Faire le bilan des forces s’exerçant sur le point matériel. On remarquera que la force exercée par le ressort peut s’exprimer ici simplement−k−−→AM puisqueAB =l0. On fera un schéma très clair.
Q1
(b) Appliquer la relation fondamentale de la dynamique. On attend un raisonnement ri- goureux.
Q2
(c) Montrer queθvérifie l’équation différentielle θ¨+ k
msinθ− g
Rcosθ = 0 Q3
(d) Exprimer la réaction normaleN en fonction deθ(t)et de ses dérivées temporelles.
Q4
2. Analyse énergétique :
(a) En introduisantH le projeté du pointOsur la droite (AM), donner une expression de l’allongementX =l−l0 du ressort en fonction deRet deθ/2.
Q5
(b) Donner l’expression des différentes énergies potentielles intervenant dans le problème, en fonction deθ(t).
Q6
(c) Déterminer à partir des énergies potentielles la position d’équilibreθ0. Q7
(d) Retrouver l’équation différentielle donnant l’évolution deθ au cours du temps à l’aide d’un raisonnement énergétique.
Q8
3. Etude graphique :
(a) TracerEptot(θ)en prenant pour échelle 5 cm pour0,125J en ordonnée et 4 cm pour 30°
en abscisse pour les valeurs numériques suivantes : m = 50 g, g = 10m.s−2, k = 2 N.m−1 etR= 25cm.
Q9
(b) En lâchant la bille sans vitesse initiale depuis le pointA, déterminer graphiquement les positions extrêmes atteintes lors du mouvement. On explicitera le raisonnement.
Q10
II. É TUDE DU L ARGE H ADRON C OLLIDER DU CERN
Le Grand Collisionneur de Hadrons (Large Hadron Collider : LHC) est entré en fonctionne- ment en 2008. Il est situé dans un anneau de 27 kilomètres de circonférence et enterré à 100 m sous terre à la frontière franco-suisse, près de Genève. Le LHC est désormais le plus puissant des accélérateurs de particules au monde.
FIGURE 1 – Photographie aérienne et carte du LHC.
Constantes physiques :
Masse du proton mp = 1,6×10−27kg Masse de l’électron me = 9,11×10−31kg Charge électrique élémentaire e= 1,60×10−19C Célérité de la lumière dans le vide c= 3,00×108m/s Constante d’Avogadro NA= 6,02×1023mol−1 Permittivité diélectrique du vide ε0 = 8,85×10−12F/m Constante des gaz parfaits R= 8,31J.K−1.mol−1 Constante de Planck h= 6,63×10−34J.s
Dans les accélérateurs de particules, des protons (ou des ions) de très haute énergie circulant dans deux faisceaux tournant à contre-sens se choquent les uns contre les autres, dans le but de rechercher des indices de la supersymétrie, de la matière noire ou encore de l’origine de la masse des particules élémentaires. Les faisceaux se composent de paquets contenant des centaines de
milliards de protons chacun. Voyageant quasiment à la vitesse de la lumière, ils sont injectés, ac- célérés, et maintenus en circulation pendant des heures, guidés par des milliers d’aimants supra- conducteurs puissants. L’énergie des protons est transformée au moment du choc en une myriade de particules exotiques, que les détecteurs observent avec attention.
Le 04 juillet 2012, les chercheurs ont annoncé l’observation du boson de Higgs dont l’existence était prédite par le modèle standard. On se propose dans ce problème de comprendre quelques aspects du fonctionnement du LHC.
1 Brève histoire d’un proton accéléré par le complexe d’accéléra- teurs du LHC au CERN
Dans cette partie, nous étudions la trajectoire des protons dans le Large Hadron Collider.
Le LHC est formé d’une succession d’accéléra- teurs, d’énergies toujours croissantes.
Chaque accélérateur injecte un faisceau dans la machine suivante, qui prend le relais pour porter ce faisceau à une énergie encore plus élevée, et ainsi de suite.
Tous les accélérateurs de particules sont com- posés de la même façon : une source de parti- cules, des champs électriques accélérateurs, des champs magnétiques de guidage et finalement des détecteurs pour observer les particules et leurs collisions.
O
V0 VL
E~ =E~ex
L
FIGURE 2 – Schéma du dispositif d’ac- célération des protons
A. Particule dans un champ électrique constant et uniforme
On étudie une accélération simple entre deux électrodes comme représenté sur la figure??.
1. Quelle est la force que subit un proton plongé dans une région de l’espace où règne un Q11
champ électrique uniforme E~?
2. Montrer que l’on peut négliger le poids du proton devant la force générée par un champ Q12
E = 100kV/m. On prendrag = 10N/kg.
3. En utilisant le principe fondamental de la dynamique appliqué à un proton, exprimer l’ac- célération que ressent un proton dans une zone de l’espace ou règne un champ électrique Q13
uniformeE.~
La zone de l’espace où règne le champE~ a une longueurL. On considère que le potentielV0 du planx= 0est nul, on noteVLle potentiel du planx=L.
4. Rappeler le lien entre le potentiel électrique et l’énergie potentielle ou la définition générale du potentiel électrique. En déduire le lien entreVL, E et les données du problème. On sera Q14
attentif aux signes.
5. En supposant que le proton entre dans la zone de champ avec une énergie cinétique négli- geable, exprimer, par la méthode de votre choix, la vitesse en sortie de la zone d’accélération, Q15
en fonction deVL, puis deE.
B. Particule dans un champ électrique constant et uniforme
L’accélérateur linéaire 2 (Linac 2) constitue le point de départ des protons utilisés dans les expériences menées au CERN.
Les protons passent dans une série de conducteurs métalliques coaxiaux. On considère que le champ est nul à l’intérieur des conducteurs. Ces protons sont accélérés par une tension maximale Uc toutes les fois qu’ils passent d’un tube à l’autre. On considérera que la distance entre deux tubes est négligeable par rapport à la longueur des tubes. Les protons sont injectés enOavec une vitesse~v0 =v0~ex parallèle à l’axe de l’accélérateur et générée par une tension pré-accéleratriceU0.
FIGURE 3 – Le linac 2
1. Quel est l’accroissement d’énergie cinétique de ces protons au passage entre deux tubes voisins?
Q16
2. Exprimer leur énergie cinétique à la sortie dun-ième tube en fonction deUc etU0. Q17
3. Calculer numériquement la valeur de la vitesse des protons à la sortie du 10e tube pour U0 = 200kV,Uc = 2000kV.
Q18
C. Du linac 2 au synchrotron à protons (PS)
Un élément fondamental du complexe accéléra- teur est le synchrotron à protons (PS). Pendant une courte période de l’histoire des grands ins- truments, le PS a été l’accélérateur produisant les plus hautes énergies du monde. Aujourd’hui, il sert principalement à alimenter le LHC.
On considère un proton injecté enAdans le syn- chrotron où règne un champ magnétique sta- tique et uniformeB~0 =B0~ez.
À t = 0 sa vitesse ~v0 est perpendiculaire au champ magnétique conformément à la figure??.
y
A x
~v0
α
b ~B0
FIGURE 4 – Vitesse du proton dans le champ magnétique
1. Donner le nom et l’expression vectorielle de la force que subit le proton soumis au champ Q19
magnétiqueB~0.
Pour les questions suivantes, on considère que le proton n’est soumis qu’à cette force.
2. Reproduire la figure ??sur votre copie afin de représenter la force magnétique subie par le proton enA. Exprimer la norme de cette force.
Q20
3. Montrer que le travail associé à cette force est nul. En déduire que le mouvement du proton Q21
est uniforme.
4. Par projection du principe fondamental de la dynamique, établir trois équations différen- Q22
tielles envx,vy,vz et leurs dérivées temporelles.
On ne cherchera pas à les résoudre. À partir de là, on admet que la trajectoire du proton est un cercle.
5. Sur le schéma de la question 2, dessiner l’allure de la trajectoire. Exprimer le rayon de la trajectoire en fonction demp, B0, e, v0.
Q23
III. É TUDE D ’ UN CIRCUIT ÉLECTRIQUE RLC
Un générateur sinusoïdal alimente un circuit RLC constitué d’un condensateur de capacité C = 0,1µF, d’une bobine réelle d’auto-inductance Let de résistancer inconnues, placés en série avec une résistanceR = 480 Ω.
Le générateur est un générateur basse fréquence de résistance interneRg = 50 Ωdélivrant un signal sinusoïdale(t)de pulsationωet d’amplitudeE,e(t) =Ecos(ωt).
À toute grandeur réelleu(t) = Umcos(ωt+ϕ)est associée une grandeur complexe que l’on no- terau(t) =Umexp(jωt+jϕ) = Uexp(jωt),j2 =−1etU =Umexp(jϕ)est l’amplitude complexe.
L’intensité circulant dans le circuit esti(t) =Icos(ωt+φ). Le montage est donné ci-dessous.
e(t) Rg
L r
R uR(t)
C uC(t)
FIGURE 1 – Circuit étudié
A. Étude de la tension aux bornes du condensateur
1. Rappeler les expressions des impédances complexes de la bobine, du résistor et du conden- Q24
sateur puis déterminer l’impédance complexeZ du circuit.
2. Préciser le comportement limite de ces différents composants à haute et basse fréquence. En Q25
déduire qualitativement le comportement de la tensionuc(t)aux bornes du condensateur à haute et basse fréquences.
3. Exprimer l’amplitude complexe Uc associée à la tension aux bornes du condensateur en fonction des caractéristiques des composants puis sous la forme canonique :
Q26
Uc = A
1−ωω0
2
+jQ1ωω0 ExprimerA,ω0etQen fonction des données du problème.
4. En déduire l’expression de l’amplitude de la tension aux bornes du condensateur Uce en Q27
fonction deω,Q,ω0etE puis en fonction dex= ωω0,QetE.
5. Montrer que la tensionUce(x)passe par un extremum enxrsiQ>Qmin. PréciserxretQmin. En déduire la pulsation ωr de résonance. La comparer àω0.
Q28
6. ExprimerUce(ω=ω0)en fonction deQetE.
Q29
7. Tracer l’allure deUce(ω)pour les valeurs deQ = 0,1,Q = 1et Q= 10. Commenter les trois cas.
Q30
8. Du point de vue du filtrage :
(a) À quel type de filtre correspond ce montage (en considérantecomme tension d’entrée Q31
et avec la tension de sortieuC aux bornes du condensateur)? Justifier brièvement.
(b) Quel serait l’effet de ce filtre sur un signal triangulaire de pulsation ω1 = 20ω0 et de valeur moyenneE0 = 1V ? Justifier de façon qualitative.
(c) On dispose d’un générateur basses fréquences, du filtre ci-dessus, d’un oscilloscope deux voies ainsi que des cables nécessaires. Décrire le protocole expérimental pour Q32
réaliser le tracé du diagramme de Bode en amplitude. Faire un schéma sur lequel on indiquera en particulier les branchements de l’oscilloscope.
(d) Tracer les asymptotes du diagramme de Bode en gain en donnant leurs équations litté- Q33
rales (les résultats numériques des précédentes questions ne sont pas nécessaires). On utilisera la pulsation réduitex= ωω0 en abscisse.
(e) Tracer l’allure du diagramme de Bode en amplitude (pas seulement asymptotes) dans Q34
le cas oùQ= 0,1.
B. Étude de l’intensité
1. Déterminer l’impédanceZ du circuit et l’écrire sous la forme : Q35
Z =R0
1 +jQ
ω ω0 − ω0
ω
PréciserR0 en fonction de autres résistances du circuit.
2. Exprimer l’amplitude complexe I associée à l’intensité du courant traversant le circuit en Q36
fonction deR0,ω,Q,ω0 etE.
3. En déduire que l’amplitude de l’intensitéIe(ω)peut se mettre sous la forme Q37
Ie(ω) = A′
r
1 +B2ωω0 − ωω02 PréciserA′ etBen fonction deQ,EetR0.
4. Montrer queIe(ω)présente un extremum pourω =ωr′ . Préciserωr′ etImax =Ie(ωr′).
Q38
5. Définir la bande passante. Montrer que la largueur de la bande passante en pulsation est Q39
∆ω = ωQ0.
Par la suite, on pourra utiliser cette relation même si la démonstration n’a pas été faite.
6. On donne ci-dessous les graphes de Ie(f) et Uce(f) où f est la fréquence du générateur.
L’échelle de gauche est celle deUce, celle de droite est celle deIe(f).
Identifier, en justifiant votre choix, les courbesIe(f)etUce(f)parmi les courbes (1) et (2).
Q40
7. Déterminer à partir de ces courbes : l’amplitude de la tension du générateurE, la fréquence Q41
propref0 et le facteur de qualitéQdu circuit, les limites de la bande passante etImax.
(1)
(2)
Uce(V) Ie(mA)
f (kHz)
2 2
4 4
6 6
8 8
10 10
0 0
1 2 3
0 4
FIGURE 2 –IeetUce en fonction de la fréquence du générateur.
8. En déduire les valeurs deret deL.
Q42
C. Utilisation d’une autre bobine
Dans les questions qui suivent, on utilise une bobine différente dont les valeurs caractéristiques dontL′ etr′.
1. Exprimer le déphasageφentrei(t)ete(t)ainsi queϕ′le déphasage entreuc(t)ete(t). Préciser Q43
φ(ω0)ainsi queϕ′(ω0).
2. Comment peut-on accéder expérimentalement à la mesure de i(t) avec un oscilloscope ? Faire un schéma électrique du montage et représenter les branchements de l’oscilloscope.
Q44
3. À l’aide d’un oscilloscope, on mesure la tension e(t) sur la voie CH1 et la tension UR(t) aux bornes de la résistance R sur la voie CH2. On fait varier la fréquence du générateur sinusoïdal et on constate que la voie CH2 passe par un maximum.
Interpréter la présence de ce maximum aux bornes deR.
Q45
On se place désormais à cette fréquence.
On mesure maintenant sur la voie CH2 la tension uc(t)aux bornes du condensateur C en gardante(t)sur la voie CH1.
4. Les deux oscillogrammes suivants ont été enregistrés l’un pour la voie CH2 aux bornes de C, l’autre pour la voie CH2 aux bornes deR.
(a) Déterminer le déphasage entre la voie CH1 et la voie CH2 pour chacun des oscillo- grammes.
Q46
(b) Préciser, en justifiant votre choix, à quel composant correspond chacun des oscillo- Q47
grammes.
FIGURE 3 – Oscillogramme (a) : voie CH1 en traits pleins (2V/div);
voie CH2 en pointillés (2V/div).
Calibre temporel : 0,5 ms/div.
FIGURE 4 – Oscillogramme (b) : voie CH1 en traits pleins (2V/div);
voie CH2 en pointillés (4V/div).
Calibre temporel :0,5ms/div.
5. En déduire les valeursL′ etr′ de la nouvelle bobine.
Q48
I. M OUVEMENT D ’ UNE BILLE DANS UNE RIGOLE
bO
l0
z A B
M θ θ2
P~ F~ N~
~er
~eθ θ
~ex
+
Afin de considérer des anglesθ positifs, l’orientation des angles est faite selon le sens horaire.
Cette hypothèse était faite implicitement par l’énoncé.
1. Application de la relation fondamentale de la dynamique :
(a) PuisqueAB = l0, alors AM = l−l0 et donc la force exercée par le ressort est−k−−→
Q1 AM
comme indiqué par l’énoncé. La massemest soumise à :
➢ son poidsP~ =m~g =−mg~ez;
➢ la réaction de la rigole, normale à la rigole puisque l’on ne prend pas en compte les frottementsN~ =−N~er;
➢ la force de rappel du ressortF~ =−k−−→
AM. Voir schéma.
(b) ➢ Système : le point matérielM de massem
➢ Référentiel : le référentiel lié à la rigole, qui sera considéré comme galiléen.
➢ Bilan des forces et schéma : ci-dessus
Puisque le référentiel est galiléen, on peut appliquer le principe fondamental de la dy- Q2
namique au système, ce qui donnem~a=F~ +P~ +N~
(c) Il faut projeter le PFD de façon à faire disparaitreN~, c’est-à-dire selon~eθ. L’accélération vaut~a = −Rθ˙2~er +Rθ~e¨ θ. D’après le schéma P~ ·~eθ = −P cosθ (pensez à vérifier en θ = 0). N~ ·~eθ = 0. La projection deF~ est un peu plus délicate. Une bonne solution est de décomposer −−→
AM = −→
AO+−−→
OM = −R~ex +R~er et donc F~ = −k(−R~ex +R~er)d’où F~ ·~eθ =kR~ex·~eθ =−kRsinθ.
La projection du PFD selon~eθ donne donc Q3
mRθ¨=−kRsinθ+mgcosθ+ 0⇔ θ¨+ k
msinθ− g
R cosθ = 0
(d) Il faut cette fois projeter le PFD selon ~er : P~ ·~er = P sinθ; N~ ·~er = −N et F~ ·~er = Q4
kR~ex ·~er−kR = kR(cosθ−1)La projection du PFD donne donc cette fois−mRθ˙2 = kR(cosθ−1) +mgsinθ−N ⇒ N =kR(cosθ−1) +mgsinθ+mRθ˙2
2. Analyse énergétique :
Cette partie était beaucoup plus facile parce qu’il n’y avait pas de projection à faire et il y avait beaucoup d’indications. Elle n’a pas été assez bien traitée par rapport à la
difficulté⇒à retravailler !
(a) Dans le triangleAOH rectangle enH AH = Rsin θ2 donc AM = 2Rsin θ
2 (on utilise le Q5
fait que le triangleAOM est isocèle doncOHest à la fois la hauteur, la médiatrice et la bissectrice).
(b) N~ est orthogonal au déplacement à chaque instant et ne travaille donc pas . P~ dé- Q6
rive de l’énergie potentielle Ep,pes = mgz ⇒ Ep,pes =−mgRsinθ . D’après le cours F~ dérive de l’énergie potentielle Ep,el = 12k(l −l0)2 ⇒ Ep,el = 2kR2sin2 θ
2 . On peut éventuellement linéariser ce dernier résultat en utilisant la formesin2α= 1−cos(2α)2 d’où
Ep,el =kR2(1−cosθ) (cela facilitera la dérivée dans la question suivante).
(c) D’après le cours on a une position d’équilibre si l’on a un minimum d’énergie poten- Q7
tielle. IciEp =Ep,pes+Ep,el=−mgRsinθ+kR2(1−cosθ). On cherche à résoudre l’équa- tion dEdθp = 0soit−mgRcosθ0+kR2sinθ0 = 0d’oùtanθ0 = mgRkR2 soit θ0 = arctanmg
kR . La condition d’équilibre est généralement mal connue, il faut la revoir. SiEp
dépend d’un paramètre d’espacex, alors la condition d’équilibre est «Ep(x)admet un minimum (eq. stable)ou un maximum (eq. instable) » . On cherche donc généralement les positions d’équilibre en résolvant l’équation dEdxp = 0. Le temps ne doit pas intervenir. Une condition telle queEp(x) = 0est absurde puisque les
énergies potentielles sont définies à une constante près.
(d) On est en référentiel galiléen, le système est un point matériel : on peut appliquer le Q8
théorème de la puissance mécanique : dEdtm = Pnc = 0 puisqu’ici aucune force non conservative ne travaille. Or Em = 12m(Rθ)˙ 2 −mgRsinθ + kR2(1− cosθ) d’où 0 =
dEm
dt = mR2θ˙θ¨+ ˙θ(−mgRcosθ +kR2sinθ) soit en divisant par θ˙ 6= 0 (solution où la particule est immobile)
θ¨− g
R cosθ+ k
msinθ = 0 ce qui correspond à l’équation différentielle précédemment obtenue.
3. Mouvement autour de la position d’équilibre :
(a) D’après les questions précédentesEp =Ep,pes+Ep,el =−mgRsinθ+kR2(1−cosθ).
Q9
θ(en °) Ep(θ)
30 60 90
(b) En lâchant la bille sans vitesse initiale depuis le point A (c’est-à-dire θ = 0), l’éner- Q10
gie mécanique initiale est 0. Quelque soitt, Ec > 0, on a donc à chaque instant Em = Ec+Ep > Ep. Par conservation de l’énergie mécanique, celle ci reste égale à 0 au cours
du mouvement dans ce problème. La particule sera donc piégée dans le puit de poten- tiel entre0et90° et les positions extrèmes atteintes sont celle pour lesquelles l’énergie cinétique est nulle, soitEp =Em:0et90°
II. É TUDE DU L ARGE H ADRON C OLLIDER DU CERN
CAPES 2011 et ATS 2015
1 Brève histoire d’un proton accéléré par le complexe d’accéléra- teurs du LHC au CERN
A. Particule dans un champ électrique constant et uniforme
1. Il s’agit de la partie électrique de la force de Lorentz : F~ =q ~E . Q11
2. En ordre de grandeur qE = 1,6×10−19×105 = 1,6×10−14N. Le poids P = mg = 1,67× 10−27×10≃ 10−26N. Soit 1012 fois plus faible. Le poids est donc négligeable compte tenu Q12
de la précision des données de l’énoncé.
Donner la valeur du rapport pour montrer que l’un est négligeable par rapport à l’autre. On néglige toujours dans des sommes/différences et jamais dans des
produits/rapports.
Remarque : ayez conscience que ces histoires de "négligeables" sont toujours fonctions de la précision souhaitée ou de la précision sur les données. Ainsi, siA ≃B/1000, alorsA+B ≃B si on travaille avec 2 chiffres significatifs, mais pas du tout si on travaille avec 5 chiffres significatifs.
3. Le système est le proton, le référentiel est le référentiel terrestre, galiléenm~a=q ~E d’où~a= mqE~ .
Q13
4. Le potentiel électrique est tel que la variation du potentiel électrique entre deux points est égale à l’opposé de la circulation du champ électrique :−RABE~ ·d~r=V(B)−V(A).
On applique la définition entre un point enx= 0et un deuxième enx=L.
Q14
−
Z L
x=0E~ex·dx~ex =VL−V0 ⇒ VL=−EL
5. Le plus simple est d’utiliser une méthode énergétique. Le référentiel est galiléen et on consi- dère un système ponctuel, on en déduit par application du théorème de l’énergie mécanique Em(x=L)−Em(x= 0) =Wnc= 0puisque seul la force de Lorentz est appliquée au système.
L’énergie potentielle estEp =qV. Q15
1
2mv2+qVL−0−qV0 = 0⇒ v =
s−2eVL
m =
s2eEL m
B. Particule dans un champ électrique constant et uniforme
1. En reprenant le résultat de la question précédente et en l’appliquant entre deux tubes suc- cessifs,EC,i+1+eVi+1−EC,i−eVi = 0 ⇒EC,i+1−EC,i =e(Vi−Vi+1) = qUc .
Q16
2. À la sortie du ne tube, la particule a été accélérée par U0 puis n −1 fois par Uc. L’énergie cinétique est donc EC,n =e(U0 + (n−1)Uc).
Q17
3. EC,10 = eU0 + 9eUc = 1,6 × 1019(2 × 105 + 9× 2 × 106) = 1,6 × 10−19 × 182 × 105 ≃ 2,8×10−12J= 18,2MeV .
Q18
v = q2Ec/m = q2×2,8×10−12/(1,67×10−27) = √
3,6×1015 = √
0,36×1016 ≃ 0,6 × 108 m/s. Ces électrons vont moins vite quec/3 = 108m/s, ils n’est donc pas nécessaire de les considérer comme relativistes.
C. Du linac 2 au synchroton à protons (PS)
1. La force est la partie magnétique de la force de Lorentz. F~L =e~v(t)∧B~0 . Q19
Attention à ne pas mettre~v0, mais bien~v(t): lorsque la vitesse change, alors la force change elle aussi !
2. La force est orthogonale à~vetB~0.
Puisque e > 0, la force est dans le sens du pro- duit vectoriel (règle de la main droite).
La norme de la force en A est FL = ev0B0sin(π/2) = ev0B0 .
Le cercle correspond à la question 5 et représente la trajectoire. Elle doit être tangente à la vitesse enA, orientée dans le même sens etF~Ldoit poin- ter vers « l’intérieur de la courbure ».
y
A x
~v0
F~L
b
B~0
Q20
3. Par définition, P = F~ ·~v. Or F~ = q~v∧B, donc par définition du produit vectoriel,~ F~ ⊥ B~ et F~ ⊥ ~v. La dernière relation implique que F~ ·~v = 0 . La puissance est nulle, donc le travail l’est aussi. Puisque l’on est dans un référentiel galiléen et que l’on étudie un point matériel, on peut utiliser le théorème de la puissance cinétique. On en déduit que dEdtc = 0, d’oùEc =cte⇒ v =cte′ . Le mouvement du proton est donc uniforme .
Q21
4. Il s’agit de projeter le PFD selon les 3 axes. Peu importe les conditions initiales pour cette question. Le système est un point matériel, le référentiel est galiléen, d’après le PFD m~a = e~v∧B~0 ⇔m( ˙vx~ex+ ˙vy~ey + ˙vz~ez) = e(vx~ex+vy~ey+vz~ez)∧B0~ez =eB0(−vx~ey+vy~ex).
Soit en projetant : Q22
mv˙x = eB0vy
mv˙y = −eB0vx
mv˙z = 0 Attention à ne pas oublier les constantes(m,e,B0).
5. On a montré que le mouvement était uniforme, l’énoncé nous indique qu’il est circulaire. On peut donc utiliser l’expression de l’accélération pour un mouvement circulaire uniforme :
~a = vR2~uoù~uest un vecteur unitaire vers le centre de la trajectoire. En prenant la norme du PFD, on en déduit :mk~ak =|e|k~v∧B~0k ⇔ mvR20 = ek~vkB0sin(~v, ~B). Le sinus de l’angle vaut
1car le mouvement se fait dans le plan orthogonal àB~0, on a donc à chaque instant~v ⊥B~0, de plus, d’après la question 3,v =cte =v0, d’oùmvR20 =ev0B0 ⇒ R = mv0
eB0
. Q23
La trajectoire est représentée sur la figure de la question 2. Elle doit, passer par le point A, être un cercle,~v0 est tangent à la trajectoire,F~Lpointe vers l’intérieur de la trajectoire.
III. É TUDE D ’ UN CIRCUIT ÉLECTRIQUE RLC
d’après Agro 2009
A. Étude de la tension aux bornes du condensateur
1. Zb =jLω+r, ZC = jCω1 et Zrésistance=R d’où Z =Rg+R+r+jLω+jCω1 Q24
2. Le comportement deRne change pas avec la fréquence. Haute fréquence,ωtend vers l’infini donc :
• |Zb| → ∞, la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert.
• |ZC| →0, le condensateur se comporte comme un fil.⇒ uc(t)est nulle à HF Basse fréquence :ωtend vers l’infini donc :
Q25
• |Zb| →r, (la bobine idéale tend vers un fil)
• |ZC| → ∞, aucun courant dans le circuit, ainsi les tensions aux bornes des résistors sont nulles, d’après la loi des mailles :⇒ uc(t) + 0 + 0 = e(t)à BF
3. Puisque les composants sont en séries, on peut utiliser un pont diviseur de tension (e = Eexp(jωt)) :
uc = ZC RgZb +R+ZC
e ; Uc = E
1−LCω2+jCw(Rg +r+R) soit sous la forme canonique :
Q26
Uc = A
1−ωω0
2
+jQ1ωω0
et par identification, on obtient : A=E ω0 = √LC1 et Q= R 1
g+r+R
qL
Q27 C
4. Uce =|UC|= r E
1−(ω0ω)22
+
ω Qω0
2 En posantx= ωω0, Uce = q E
(1−x2)2+(Qx)2 5. Pour étudier l’extremum, étudions la fonctionf(x) = (1−x2)2+Qx2. Q28
f′(x) = −2(1 −x2)2x+ Q2x2 = 2x−2(1−x2) + Q12
( en cas d’égalité, xr vaut à nouveau 0, d’où le strictement supérieur) La dérivée s’annule pour x = 0 et pour xr = q1− 2Q12 si 1− 2Q12 >0cadQ > √12
f′ est positive pourx > xr (en regardant la limite en+∞), on a donc un minimum def en x=xr, et également de√
f (car la fonction racine est str. croissante).
Uce(x)admet donc un minimum enx=xr =q1−2Q12 siQ > Qmin = √12 . ωr =ω0
q1−2Q12 < ω0
6. Avec la valeurω=ω0 dans l’expression deUce(ω), on obtientUce(ω) = qE1
Q2
Uce(ω) =QE Q29
7. Allure deUce = (ω)pour les valeurs deQ= 0,1,Q= 1etQ= 10(de bas en haut).
Q30
ω Uce
E
ω0
Q= 10 Q= 1 Q= 0,1
Remarques : Uce →Eenω = 0 Uce →0enω→ ∞
Uce = QE enω =ω0 (en par- ticulier beaucoup plus grand pour Q = 10 et beaucoup plus petit pourQ= 0,1) Il n’y a pas résonance enQ= 0,1, il y a résoresonancenance enQ= 1, mais très peu mar- qué et pour un ωr nettement inférieur àω0.
8. (a) En terme de filtrage comme on peut voir sur la figure précédente que la tension aux Q31
bornes du condensateurs ne tend pas vers0en basse fréquence alors qu’elle tend vers 0en hautes fréquences. On a donc un filtre de type passe-bas .
(b) Ce signal a un spectre constitué d’un pic en0, qui ne sera pas atténué ni amplifié, et de pics au dela de 20ω0, qui étant au dela de ω0 seront atténuées assez fortement. Ainsi, seule la valeur moyenne restera (ou presque) et on aura un signal constant (ou avec de très légères oscillations) de valeurE0 = 1V.
(c) Cf TP pour les détails. On branche la voie 1 aux bornes du générateur, la voie 2 aux bornes du condensateur. Il faut régler le générateur afin d’imposer une tension sinusoïdale . Q32
On prend différentes fréquences (de préférence échantillonnées de façon logarithmique pour bien parcourir le diagramme de Bode) et pour chaque fréquence on mesure l’amplitude du signal d’entrée et du signal de sortie. En faisant20 logdu rapport sortie sur entrée, on obtientGdB(f)que l’on peut reporter sur un diagramme (échelle logarithmique en abscisse aussi).
(d) H = 1
1−
ω ω0
2
+jQ1ω0ω ⇒H = q 1
(1−x2)2+x2
Q2
En basses fréquences,H ≃ 11, on a donc GdBBF = 0. L’assymptote est donc une droite Q33
horizontale.
En hautes fréquences, H ≃ x12, on a donc GdBBF = −40 logx. L’assymptote est une droite de pente−40dB/décade, passant par le point (1,0)
Cf les courbes en pointillés ci-dessous.
GdB(dB) x
1 10 102
10−1
−40
−80
(e) Pour tracer l’allure du diagramme de Bode en amplitude (pas seulement asymptotes) Q34
dans le cas oùQ= 0,1, on s’appuye sur les assymptotes et on utilise le fait qu’enx= 1, on a simplementG=Q, soitGdB =−20dB ici.
B. Étude de l’intensité
1. Z = (Rg +r+R) +jLω+ jCω1 =R0
1 +jLωR0 −jR01Cω
=R0
1 +jQωω0 − ωω0
Q35
avec R0 =Rg+r+R
Remarque : par identification, on retrouve bien les valeurs deω0et deQdéterminées précé- demment. Il faut vérifier que cela fonctionne bien pour avoir tous les points.
2. Avec les amplitudes complexes :E =Z I I = EZ = E
R0
1+jQ
ω ω0−ω0ω
Q36
3. Prenons le module de l’expression précédente :Ie(ω) = |I|= E
R0
r
1+Q2
ω ω0−ω0ω
2
Q37
A′ = RE0 et B′ =Q
4. Pour étudier le maximum, montrons que la fonctionf(x) = 1 +Q2(x− 1x)2admet un mini- mum (on posex= ωω0). Cette fonction admet un minimum siQ2(x−1x)2admet un minimum, or c’est un carré, donc la plus petite valeur possible est 0, cette valeur est atteinte en x = 1 uniquement (x=−1n’étant pas pertinent carx>0). Cadω =ω0. Comme la fonction racine est strictement croissante et que la fonction inverse est strictement décroissante, √1
f(x) passe par un maximum pour ω′r=ω0 et Imax =Ie(ω0) = RE0
Q38
5. La bande passante est l’intervalle de pulsations (ou de fréquences)∆ω =ω2−ω1pour lequel Ie(ω)> Ie,max√
2 .
Ici, on cherchextel(s) queIe = Ie,max√2 = √12 ⇒ √ 1
1+Q2(x−x1)2 = √12
⇒1 +Q2(x− x1)2 = 2⇒Q(x− 1x) =±1 ⇐⇒ Qx2±x−Q= 0 ⇐⇒ x2±Qx −1 = 0
et on obtient quatre solutionsx=±2Q1 ±q4Q12 + 1dont deux sont positives et en ne retenant que ces dernières,
x1,2 =± 1 2Q +
s 1
4Q2 + 1⇒x2−x1 = 1
Q ⇐⇒ ∆ω=ω2−ω1 = ω0
Q La largeur de la bande est donc inversement proportionnelle au facteur de qualité.
Q39
6. La courbe en traits pleins (1) correspond àUce(f)et celle en pointillés (2) àIe(f). 2 justifica- Q40
tions possibles :
• en étudiant les limites des 2 fonctions à basse fréquence : l’intensité s’annule alors que la tension tend versE.
• ou en remarquant que la fréquence de résonance est plus faible pourUce que pourIe. Par contre, on ne peut pas comparer les amplitudes des résonances : les 2 courbes n’ont pas la même unité !
7. • f0 est obtenue pour la résonance en intensité. On lit f0 = 1,6kHz On ne peut pas Q41
utiliser le maximum deUce par contre.
• E est la valeur deUce àω = 0. On lit E = 5V .
• on lit Ie,max= 9mA . Ie,max√2 = 6,4 mA. Les fréquences qui donnent cette valeur de l’intensité sont f1 = 1,2kHz etf2 = 2,1kHz soit∆f = 0,9kHz.
• en utilisant la formule Q = ∆ff0 on obtient Q= 1,8. On peut aussi utiliser Uce(ω0) = QE, ce qui donne Q= 1,8, valeur similaire compte tenu des incertitudes de mesures.
(AttentionUce(ω0)6=Uce,max).
• ω0 = 2πf0 = √LC1 d’oùL= 4π2f12
0C2
Q42
A.N.L= 4π2(1,6.103)12(0,1.10−6)2 L= 0,1H Q= R10qLC avecR0 =Rg +r+Rd’où r= Q1qCL −R−Rg
A.N. r = 26 Ω
Pourr, on peut aussi utiliserIe,max= RE0 ⇒r = Ie,maxE −R−Rg. A.N. r = 26 Ω
C. Utilisation d’une autre bobine
1. φ = argei = argZ1 =−arg(Z) = −argR0+jQωω0 − ωω0
⇒ φ=−arctan
Q(x− 1 x) Q43
ϕ′ = argUC = argZCi= argi−argjCω⇒ϕ′ =φ− π2 = −π
2 −arctan
Q(x− 1 x)
En prenantx= 1, on trouve φ(ω0) = 0 et ϕ′(ω0) = −π2
2. Il existe plusieurs façons pour accéder expérimentalement à la mesure dei(t)avec un oscil- loscope , l’essentiel est de ne pas faire d’erreur avec la masse du circuit.
Q44
• on peut intervertir R et C, et brancher l’oscilloscope aux bornes de R. La masse du circuit et de l’oscillo sont bien confondues.
• on peut utiliser un oscilloscope différentiel et se brancher aux bornes de R sans se soucier de la masse.
• sans oscillo différéntiel, s’il sait faire la différence, on peut quand même se brancher aux bornes de R et faire CH2-CH1.
• on peut également intercaler un transformateur d’isolement entre le GBF et le circuit de façon à s’affranchir de sa masse. On branche ensuit l’oscilloscope aux bornes deR.
3. Le maximum aux bornes deRcorrespond à la résonance en intensité.
Q45
4. (a) • Sur l’oscillogramme (a), les deux signaux sont en phase. Le déphasage entre la voie Xet la voieY est donc nul.
Q46
• Sur l’oscillogramme (b), le signal en traits pleins CH1 est en avance sur CH2. On compte 2,4 carreaux pour une période et le décalage est de 0,6 carreaux, ce qui donne un déphasage de π2 (a priori l’énoncé ne précise pas le déphasage de quoi par rapport à quoi, une valeur absolue suffit ici).
(b) On est à la pulsationω0cad à la résonance en intensité. À cette pulsation, on n’a pas de Q47
déphasage entre l’intensité et la tension du GBF : l’oscillogramme (a) montre donc à la tension aux bornes de la résistance sur CH2. Par élimination, le (b) est donc celui de la tension aux bornes du condensateur.
Une autre justification serait de voir que le maximum de CH2 est plus grand pour (b) et c’est le cas pour la tension aux bornes du condensateur.
5. Utilisons les amplitudes des tensions pour avoir des informations sur les valeurs des com- posants.
Q48
Aω0, c’est la résonance en intensité pour laquelleUR,max =R×Ie,max= RER0 doncR0 = URE
R,max. On lit sur (a) :E= 6V etUR,max = 4,8V. CommeR = 480 Ω, on déduit :
A.N. : R0 = 480×64,8 = 600 Ω
Puisr′ =R0−R−Rg, A.N. : r′ = 600−480−50 = 70 Ω
On peut utiliser ici la formule Uce,max = QE qui est valable pour x = 1 (qui n’est pas la résonance en tension !). On litUce,max= 20V donc Q= 3,3
CommeQ= R1
0
qL′
C, on en déduitL′2 =CQ2R20. A.N.L′ = 0,1.10−6×3,32×6002 L′ = 0,4H
