Conseils :
• Ce devoir comporte 4 problèmes.
• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la ré- daction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale simplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé,vérifiez l’homogénéité et la cohérence(tout résultat non homogène sera sanctionné).
Les résultats NON ENCADRÉS ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.
• Numérotez les questions et ajoutez le label de la marge Q1, etc.
• L’usage descalculatrices est autorisé.
Lycée Poincaré – Nancy Page 1/8 5 mai 2021, durée 4h00
I. B ARRAGE TRIANGULAIRE
On considère un barrage en forme de pentaèdre à base rectangulaire, de longueurLdécrit sur les figures ci-dessous. Sa section est formée par un triangle isocèle, de hauteurhet de demi-angle au sommetα. Il est posé sur le sol horizontal et permet de retenir l’eau d’un lac.
Le référentiel terrestreRest considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère(O,~ux, ~uy,~uz) tel que l’axeO~uz soit vertical ascendant.
On noteR~ =N~uz+T ~uy, la résultante des forces de contact exercées par le sol sur le barrage.
On rappelle les lois de Coulomb :
➢ si les deux solides glissent l’un par rapport à l’autre, alors |T| = µ|N|, orienté de façon à s’opposer au déplacement ;
➢ si les deux solides ne glissent pas l’un par rapport à l’autre, alors|T|< µ|N|. µest le coefficient de frottement.
L’eau est supposée incompressible et de masse volumiqueρe. La masse volumique du barrage est notéeρb.
On note ~g = −g~uz, l’accélération de la pesanteur et on note patm la pression atmosphérique supposée constante.
On suppose que la hauteur d’eau dans le barrage esth. On considère que l’eau est en contact avec le barrage du côté des valeurs positives dey.
La longueurLdu barrage est suffisamment grande pour que l’on puisse négliger les forces de liaison intervenant à ses extrémités.
On notez, l’altitude d’un élément rectangulaire de paroi de longueurLet de largeurdl.
1. Déterminer l’action de la pesanteurP~ exercée sur le barrage en fonction deρb,L,h,αet~g.
Q1
Q2 2. Montrer que la pressionp(z)dans l’eau s’exprime sous la forme : p(z) =patm+ρeg(h−z)
3. En déduire la résultante des forces de pression exercées par l’eau sur le barrage en fonction Q3
depatm,ρe,g,L,h,αet~uun vecteur unitaire que l’on définira et que l’on représentera sur le schéma.
4. Exprimer la résultante des forces de pression exercées par l’air sur le barrage en fonction de Q4
patm,L,h,αetu~′un vecteur unitaire que l’on définira et que l’on représentera sur le schéma.
5. En appliquant le théorème de la résultante statique au barrage, déterminer le coefficient de Q5
frottement minimalµmin entre le barrage et le sol qui assure l’équilibre du barrage.
II. P RESSION DE RADIATION
Remarque : Bien qu’il soit conseillé de traiter le problème dans l’ordre, la partie C peut être traitée de façon indépendante.
Dans ce problème, on étudie un moyen « gratuit » (en carburant) de propulsion spatiale : l’utili- sation de la pression de radiation lors de la réflexion de la lumière sur un miroir. Il s’agit d’utiliser la force créée lors de la réflexion des photons sur un miroir afin de mettre en mouvement des objets.
On noteraS la surface de la « voile solaire » considérée. Elle est supposée parfaitement réflé- chissante, c’est-à-dire que la voile solaire est un miroir parfait.
Dans une première partie, on étudiera le cas où la voile est immobile dans un référentiel ga- liléen et où la lumière est en incidence normale. Dans la deuxième partie on étudiera le cas où l’angle d’incidence est non nul. Finalement dans la troisième partie, on tiendra compte du mou- vement du miroir.
On noteraλla longueur d’onde de la lumière incidente etνsa fréquence.
h=représente la constante de Planck et~= 2πh la constante de Planck réduite.
Données numériques :
grandeur symbole valeur
flux solaire au niveau de l’orbite terrestre Φ 1,3608kW/m2
constante gravitationnelle G 6,67384×10−11m2·kg−1·s−2
masse du soleil MS 1,9891×1030kg
distance moyenne Terre-soleil dT S 1 u.a. =149,60×109m vitesse de la lumière dans le vide c 299 792 458m/s
A. Cas de l’incidence normale
Dans cette partie, on considère que la lumière arrive sur le miroir en incidence normale, c’est-à- dire que la surface du miroir est orthogonale à la direction de propagation. Le miroir étant immo- bile dans le référentiel de l’étoile considéré comme galiléen, on ne considère pas de changement de longueur d’onde lors de la réflexion.
On notera~exle vecteur unitaire dirigée selon la lumière incidente.
1. Rappeler les relations de Planck-Einstein pour un photon (impulsion~p et énergie E0 d’un Q6
photon).
2. Le flux solaireΦest la puissance surfacique provenant du soleil lorsque la surface considé- rée est orthogonale à la direction de propagation de la lumière. En déduire la puissance P Q7
arrivant sur le miroir, puis l’énergie correspondant pendant un court intervalle de tempsdt.
3. Compte tenu des questions précédentes, déterminer le nombre de photons δN frappant le Q8
miroir entretett+ dt.
4. On considère le système fermé {les photons qui vont frapper le miroir entre t et t+ dt}. Q9
Calculer la variation de quantité de mouvement du système entretett+dt:−→
P(t+dt)−−→ P(t).
Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme :
−
→P(t+ dt)−−→
P(t) =−2ΦSdt c ~ex
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5. En déduire la force exercée par le miroir sur le système, puis celle exercée par les photons Q10
sur le miroir.
6. Exprimer alors la pression correspondantepr, appelée pression de radiation, en fonction de Q11
Φet dec.
7. Vérifier explicitement l’homogénéité du résultat obtenu à la question précédente.
Q12
8. Application numérique : au niveau de l’orbite terrestre, on considère une voile de surface Q13
S = 100,0m2. Calculer la force due à la pression de radiation. Comparer avec la force exercée par le soleil sur un objet de20,00kg (toujours au niveau de l’orbite terrestre). Commenter1. 9. Peut-on utiliser ce mode de propulsion pour se rapprocher du soleil ?
Q14
B. Cas de l’incidence oblique
On étudie maintenant le cas où la lumière incidente fait un angleθ avec la normale au miroir. Compte tenu de la dis- tance au soleil et des angles mis en jeu, on considèrera que la lumière arrive sur le miroir sous la forme d’un faisceau de rayons parallèles.
~ex
~ey
θ
1. Le flux solaire Φ étant défini par rapport à une surface normale aux rayons incidents, dé- Q15
terminer la nouvelle puissance arrivant sur la voile solaire P(θ) en fonction de θ, S et Φ (un schéma indiquant clairement les surfaces en jeu est vivement recommandé). En déduire l’énergieδE arrivant pendant un intervalle de tempsdt.
2. Étudier la variation de quantité de mouvement−→p0(t+ dt)− −→p0(t)pour un seul photon lors Q16
du choc. On exprimera le résultat en fonction des vecteurs~ex et~ey. En déduire la variation de quantité de mouvement du système fermé{les photons qui vont frapper le miroir entre tett+ dt}:−→
P(t+ dt)−−→ P(t).
3. Montrer que la pression exercée dans ce cas sur le miroir estpr= 2Φc cos2θ.
Q17
C. Radiomètre de Crookes
Un radiomètre de Crookes est typique- ment constitué d’un solide pouvant tour- ner sans frottement autour d’un axe verti- cal ∆. Le solide comporte deux carrés rigi- dement liés. Les faces des carrés sont alter- nativement noires et brillantes. Lorsqu’une lumière (radiation) atteint le radiomètre, il se met à tourner.
∆
face brillante face sombre
1. D’après vos connaissances sur la nature corpusculaire de la lumière et les questions précé- dentes, dans quel sens cette dernière tend-elle à faire tourner le radiomètre ?
Q18
2. Que dire de la température au voisinage d’une face noire et d’une face brillante ? Q19
3. En supposant qu’il conserve une densité particulaire quasi uniforme, dans quel sens le gaz Q20
a-t-il tendance à faire tourner le radiomètre ?
En pratique, à moins de faire un vide poussé, l’action du gaz est prépondérante et impose le sens de rotation.
1. Remarque : le flux solaire décroit en1/r2à cause de la conservation de l’énergie, la force gravitationnelle est elle aussi en1/r2, donc le rapport entre ces deux forces est en fait indépendant de la distance au soleil.
III. A UTOUR DU GAZ PARFAIT
Le diazote est considéré comme un gaz parfait diatomique pour lequel le coefficient adiaba- tique estγ = 1,4.
On notep, V, T les grandeurs d’état pression, volume, température d’un gaz. On noteCp,m et CV,m les capacités thermiques molaires à pression et à volume constant etγ le rapportγ = CCp,m
V,m. Ces trois grandeurs seront considérées comme étant constantes vis-à-vis de la température et de la pression.
1. (a) Rappeler les définitions deCV,metCp,m. Que devient la formule pour un gaz parfait ? Q21
(b) Montrer que pour un gaz parfait :Cp,m−CV,m =R(relation de Mayer).
Q22
(c) ExprimerCV,metCp,m en fonction deRetγ.
Q23
(d) CalculercpetcV les capacités thermiques massiques du diazote à pression constante et à volume constant.
Q24
L’azote contenu dans un cylindre vertical de sectionS = 20cm2est comprimé par un piston mobile sans frottement de masseM = 10kg.
Dans l’état initial, le gaz est à la températureθ1 = 27°C et le piston se trouve à la hauteur h= 14,5cm du fond du cylindre.
2. (a) Calculer la pressionp1dans l’état initial.
Q25
(b) Calculer la massemet le nombre de molécules d’azoteN contenues dans le cylindre.
Q26
3. Le cylindre est porté à la températureθ2 = 17°C.
(a) Quelle serait la pression de l’azote si l’on empêchait le piston de se déplacer ? Q27
(b) En partant du même état initial (θ1 = 27 °C) à quelle hauteurh′ se trouve le piston en admettant qu’il se déplace librement ?
Q28
(c) Dans ce dernier cas, nommer la transformation subie par le gaz.
Q29
(d) Exprimer puis calculer la variation d’enthalpie du diazote.
Q30
(e) Exprimer puis calculer la chaleurQreçue par le diazote. Interpréter son signe.
Q31
Données numériques :
➢ la pression atmosphérique correspond à1013hPa,
➢ la constante molaire des gaz parfaitsR= 8,314J.mol−1.K−1,
➢ la masse molaire du diazote estM = 28g.mol−1,
➢ accélération de la pesanteurg = 9.81m.s−2,
➢ nombre d’AvogadroNA= 6,02.1023mol−1.
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IV. S ATELLITES DE TÉLÉCOMMUNICATION
On se propose d’étudier quelques aspects du fonctionnement de satellites de télécommuni- cation en orbite autour de la Terre. Sauf mention contraire, on considèrera que la Terre est une sphère homogène de rayonRT et de centreO, immobile dans l’espace, sans rotation propre.
On donne les valeurs numériques suivantes :
G RT MT
6,67×10−11m3kg−1s−2 6370km 5,97×1024kg
A. Couverture d’un réseau de satellites
1. Un satellite de masseMS est en orbite circulaire de centreO, à une altitudeh= 800 km. (a) Exprimer la relation entre la vitesse v =k~vket h. Établir la relation entre la période de
révolutionT eth.
Q32
(b) Effectuer les applications numériques.
Q33
2. SoientEc et Ep l’énergie cinétique du satellite et son énergie potentielle dans le champ de gravitation de la Terre. Établir le « théorème du Viriel » :
Q34
2Ec+Ep = 0
FIGURE1 – SatelliteP, point Qet ligne des horizonsAB. Le plan orbital représenté est dit polaire (la ligne des pôles est N’S’).
3. À chaque positionP du satellite correspond un pointQsur la Terre à la verticale de ce point.
L’ensemble des pointsQdéfinit la trace de la trajectoire.
Pour un observateur situé enQ, la durée de visibilitéτd’un satellite est l’intervalle de temps entre son apparition sur l’horizon (pointAde la Fig. 1) et sa disparition sous l’horizon (point B).
(a) Exprimerτ en fonction deϕetT puis montrer que Q35
τ = 2 arccos
RT RT +h
s
(RT +h)3 GMT
(b) Réaliser l’application numérique toujours pourh= 800 km.
Q36
4. (a) CalculerT /τ. Q37
(b) Pour les besoins de la téléphonie mobile, on place sur des orbites polaires (c’est-à-dire contenues dans un plan méridien terrestre) un ensemble de satellites, identiques, ap- pelé « train de satellites ».
Ces satellites sont disposés régulièrement sur leur orbite polaire commune, à l’altitude de800km.
Calculer le nombre minimal de satellites nécessaires pour former un « train » afin que Q38
tous les points au sol, dans le même plan méridien que l’orbite, voient au moins un satellite à tout instant.
5. Combien d’orbites polaires de ce type faut-il pour couvrir la surface de la Terre, c’est à Q39
dire pour que chaque point de la surface terrestre voie au moins un satellite à tout instant ? Combien doit-on disposer de satellites en tout ?
6. Dans cette question, on prend en compte la rotation de la Terre.
(a) Calculer la période et l’altitude d’un satellite placé sur orbite géostationnaire.
Q40
(b) La notion de durée de visibilité garde-t-elle, dans ce cas, un sens ? Quels sont les avan- Q41
tages et les inconvénients d’un satellite géostationnaire comparé au train de la question Q38 ?
B. Influence des frottements aérodynamiques
1. La Terre est entourée d’une atmosphère qui s’oppose au mouvement du satellite. La force de frottement f~a créée par l’atmosphère est proportionnelle au carré de la vitesse v du a satellite et elle s’exprime parf~a =−αMSv~v, oùαa une valeur positive, constante dans cette question.
(a) Déterminer la dimension deα.
Q42
(b) Appliquer ensuite le théorème de la puissance mécanique en supposant que le théo- rème du Viriel établi à la question Q34 reste valable en présence de f~a . En déduire finalement que :
Q43
dh
dt =−2αqGMT
q
RT +h
2. Un satellite placé sur une orbite d’altitude800km subit une diminution d’altitude d’environ 1 m par révolution ; sa vitesse est, en norme, très peu affectée au bout d’une révolution.
(a) En déduire une estimation au premier ordre de α, (ne pas s’étonner de la petitesse Q44
extrême du résultat !).
(b) Calculer, avec la même approximation, ce qu’il advient de l’altitude au bout de 10 ans Q45
de fonctionnement du satellite. Comparer à la solution exacte de l’équation établie à la question précédente.
(c) Le fait d’avoir une augmentation de la vitesse en présence d’une force opposée au Q46
mouvement est-il paradoxal ?
3. En réalité, les frottements dépendent de la densité de l’atmosphère et donc de l’altitude.
Dans un certain domaine d’altitudes,αvarie selon la loiα(h) = hγβ, oùγetβsont positifs. Le Q47
même satellite que celui de la question Q2 (perdant 1 mètre par révolution pourh≈800km) perd, à l’altitude de400km, 2 mètres par révolution. Calculerγ etβ.
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C. Stabilisation de l’orientation d’un satellite par gradient de gra- vité
FIGURE2 – Le satellite composé des pointsM1etM2 reliés par une tige de longueur2l.
La méthode de stabilisation d’altitude par gradient de gravité a été mise en œuvre pour les satellites artificiels afin qu’ils présentent vers la Terre toujours le même côté. Elle ne requiert au- cune ressource d’énergie embarquée. Le principe de cette méthode a été établi par Lagrange, au XVIIème, afin d’expliquer pourquoi la Lune présente toujours la même face vers la Terre.
Modèle : le satellite est constitué de deux points matériels M1 et M2 de masses identiques m = 12MS reliés par une tige rigide de masse nulle et de longueur2l.
Le centre de masseSdu satellite décrit autour de la Terre une orbite circulaire uniforme de rayon r0 =RT +havecl ≪r0. Le référentiel géocentrique(R)lié au repère(Oxyz)est supposé galiléen.
On appelleθl’angle de −−−−→M1M2 avec l’axeOx′ de(R′). On cherche à déterminer les éventuelles positions d’équilibre du satellite et leur stabilité. On suppose qu’il n’y a pas de frottements dans toute cette partie.
1. Exprimer les distancesr1 =k−−−→
OM1ketr2 =k−−−→
OM2ken fonction der0,letθ Q48
On rappelle le développement limité à l’ordre 2 suivant :
√ 1
1 +x = 1− 1 2x+ 3
8x2 +o(x)
De plus, on admet que l’énergie cinétiqueEc du satellite s’exprime selonEc = 12Msl2θ˙2. 2. Montrer que l’énergie mécanique du système s’écrit en procédant aux approximations qui Q49
s’imposent (l≪r0) :
Em ≈ −GMTMS
r0
1 + 1 2
l r0
!2
(3 cos2(θ)−1)
+1
2MSl2θ˙2
3. En déduire l’équation du mouvement. Indiquer les positions d’équilibre et préciser, pour Q50
celle(s) qui sont stable(s), la pulsation des petites oscillations autour de ces dernières. Conclure.
I. B ARRAGE TRIANGULAIRE
D’après Concours national DEUG 2014
1. P~ = m~g avec m la masse du barrage. Or m = ρbV = ρb × 12 × (2htanα) ×h × L d’où Q1
P~ =ρbh2Ltanα~g.
Vous n’avez pas le droit de vous tromper sur la trigonométrie dans un triangle ! Le concepteur du sujet n’imagine même pas qu’il puisse y avoir une difficulté ici.
2. La relation fondamentale de la statique des fluides estdp=ρe~g·−→
dr =−ρeg dz. Q2
L’eau étant supposée incompressible, ρe est constant et la relation peut s’intégrer directe- ment :p =−ρegz+cte. Pour déterminer la constante, on se place enz = hoù il y a contact avec l’atmosphère :p(z =h) =patm=cte−ρeghd’où p(z) =patm+ρeg(h−z)
Il faut soigner la rédaction, surtout quand la réponse est donnée. Attention à bien préciser que l’on peut intégrer parce que le fluide est incompressible. Faites aussi
attention à la constante d’intégration, ce n’est pas toujours simplement «p0».
3. On en déduitd ~F = p(z)dl dx ~uavec~u le vecteur normal à la surface, orienté du fluide vers Q3
la paroi.
Le problème est que d’un côté on a z et de l’autredl et que les deux sont liés. On peut soit exprimer z(l)et ensuite intégrer sur l soit faire l’inverse. Sur le schémadlcosα = dz, d’où d ~F =p(z)cosdzαdx ~u
Pour avoir la force totale, il suffit d’intégrer : F~ =
Z L2
x=−L
2
Z h
z=0d ~F =
Z L2
x=−L
2
Z h
z=0p(z)dz dx
! 1 cosα~u F~ =
Z h
z=0(patm+ρeg(h−z))dz) L cosα~u=
patmz− 1
2ρeg(h−z)2)
h z=0
L cosα~u D’où F~ = (patmh+12ρegh2)cosLα~u
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4. Dans ce cas, l’intégrale est beaucoup plus facile puisque la pression est uniforme, on trouve Q4
donc F~ = patmcosαhL~u′
5. Le théorème de la résultante cinétique appliqué au barrage dans le référentiel terrestre Q5
donneP~ +F~ +F~′+R~ =~0
En projetant sur~uy et~uzon en déduit :
( 0 = 0−(patmh+12ρegh2)cosLα ×cosα+patm Lh
cosα×cosα+T = 0 0 = −ρbh2Ltanαg−(patmh+ 12ρegh2)cosLα×sinα−patm Lh
cosα ×sinα+N D’oùT = 12ρegh2LetN =ρbh2Ltanαg+ (patmh+ 12ρegh2)Ltanα+patmLhtanα
⇒N =hLtanαρb+ρ2ehg+ 2patm
N étant positif,|N| = N, de même pourT. Pour que le barrage puisse effectivement être à l’équilibre, il faut vérifier la condition|T|< µ|N|
1
2ρegh2L < µhLtanαρb+ ρ2ehg+ 2patm
soit µ > µmin =
1 2ρegh2L
hLtanα((ρb+ρe2)hg+2patm) = tanα((2ρ ρegh
b+ρe)hg+4patm)
II. P RESSION DE RADIATION
Attention au nombre de chiffres significatifs dans les applications numériques : l’énoncé donnait ici les valeurs avec en général un grand nombre de chiffre.
A. Cas de l’incidence normale
1. E0 =hν et ~p=~~k = hλ~u avec~u un vecteur unitaire selon la direction et le sens de propa- Q6
gation de la lumière.
2. P = Φ×S par définition puisque le miroir est orthogonal à la direction de propagation.
Q7
D’où δE =Pdt= ΦSdt .
3. Compte tenu des questions précédentes, l’énergie arrivant sur le miroir entretett+δpeut Q8
s’exprimer sous la formeδN×hνouΦSdt. On en déduit que δN = ΦSdthν .
L’énoncé vous aidait en disant "à l’aide des questions précédentes" : cela vous indiquait qu’elles étaient utiles. Ainsi il n’était pas pertinent de faire un raisonnement
sur un cylindre de longueurcdtet en utilisant une densité particulaire qui n’était ici pas un paramètre de l’énoncé.
4. On considère le système fermé { les photons qui vont frapper le miroir entret et t + dt}. Q9
Lorsqu’un photon est réfléchi, sa variation de quantité de mouvement est~p(t+ dt)−~p(t) =
h
λ(−~ex)− hλ~ex =−2hλ~ex.
−
→P(t+ dt)−−→
P(t) = δN×(−2h
λ~ex) =−2ΦSdt hν
h
λ~ex = −2ΦSdt c ~ex
Vous avez été trop nombreux à vouloir utiliser~p=m~v, c’est vrai en mécanique classique, mais cela ne l’est plus en relativité (c.f. approche documentaire). En particulier, vous l’avez dit question 1, pour un photon~p=~~k. (C’est pour vous aider que l’on posait la question 1.) Au passage, un photon est une particule de masse nulle.
5. D’après la question précédente
−
→P(t+dt)−−→ P(t)
dt = −2ΦS
c ~ex soit en prenant la limite lorsquedt→0: ddt−→P =−2ΦSc ~ex
Le référentiel de l’étoile étant galiléen, on applique le principe fondamental de la dynamique Q10
au système fermé défini précédemment : d−→
P
dt =XF~ext =F~miroir→photons ⇔ −2ΦS
c ~ex =F~miroir→photons
d’où d’après la troisième loi de Newton F~photons→miroir= 2ΦSc ~ex .
6. La pression correspondante, est telle queF~photons→miroir =prS~ex, soit pr = 2Φc . Q11
7. Dimensionnellement une pression peut être vue comme une force surfacique ou une énergie Q12
volumique. Ici nous allons utiliser énergie volumique
hΦ c
i = [PL.T]L−−12 = [E]TL.T−1−L1−2 = [E] L−3 On a donc une énergie volumique des deux cotés du signe égal, la formule est homogène .
Pensez à conclure par une phrase vos analyses dimensionnelles. Dites que la formule est homogène (si elle l’est).
8. Application numérique : Q13
On trouve Fgrav = 0,1186N et Frad = 9,078×10−4N soit130,7fois plus petite. (4 chiffres significatifs comme la masse ou la surface).
Ainsi, pour pouvoir utiliser la pression de radiation, il faut donc des surfaces de voile gi- gantesques, mais très légère. L’énergie est « gratuite », mais très très faible.
9. On ne peut pas utiliser ce mode de propulsion pour se rapprocher du soleil directement car Q14
la force exercée est telle que « les photons repoussent la voile », ce même si l’incidence n’est pas normale comme ce sera vu dans la partie suivante. Les photons étant émis par le soleil et se propageant en ligne droite, ils ont tendance à éloigner la voile du soleil.
On peut malgré tout envisager de se rapprocher du soleil par des moyens détourner : utiliser la pression de radiation pour se rapprocher d’une planète massive puis utiliser le principe de la fronde gravitationnelle pour se rapprocher du soleil (en « rentrant »la voile après passage à proximité de la planète).
B. Cas de l’incidence oblique
θ S0 θ
~ex
~ey
px(t)
py(t) py(t+ dt)
px(t+ dt)
Lycée Poincaré – Nancy Page 3/9 Correction
1. La surface S0 sur le schéma reçoit le même nombre de photon que S, et est orthogonale à la lumière incidente. Ainsi, la puissance arrivant sur S est P(θ) = ΦS0 = ΦScosθ . On en Q15
déduit δE = ΦSdtcosθ.
2. Lors du choc d’un photon, la composante selonyde~pest conservée et celle selonxchange de sens (loi de la réflexion pour la lumière, voir schéma ci-dessus à droite).
Ainsi~p0(t+ dt)−~p0(t) = (px(t+ dt)−px(t))~ex+ 0~ey =−2p0cosθ~ex
D’où ~p0(t+ dt)−~p0(t) =−2hλcosθ~ex.
On en déduit que la variation de quantité de mouvement du système fermé {les photons qui vont frapper le miroir entretett+ dt}est−→
P(t+dt)−−→
P(t) =δN×(~p0(t+ dt)−~p0(t)) =
ΦSdtcosθ
hν ×−2hλcosθ~ex
. Soit en simplifiant −→
P(t+dt)−−→
P(t) =−2ΦSdtccos2θ ×~ex . Q16
3. Ainsi, en utilisant le PFD pour le système fermé défini par l’énoncé dans le référentiel gali- léen lié à l’étoile :
dP
dt = F~miroir→photons =−2ΦScosc 2θ ×~ex. D’où en utilisant la troisième loi de Newton comme précédemmentF~photons→miroir = 2ΦSdtccos2θ×~exet par définition de la pression :F~photons→miroir = prS~exd’où en projettant selon~exla pression exercée dans ce cas sur le miroir est pr = 2Φc cos2θ . Q17
C. Radiomètre de Crookes
1. Les faces noires absorbent plus les photons que les faces brillantes qui les réfléchissent.
D’après les parties précédentes, une face brillante subit donc une force plus impor- tante qu’une face noire. Une rotation selon le sens de la figure sera donc envisagée (vec- teur rotation selon−∆).
∆
face brillante face sombre Q18
Ne dites pas «sens trigo/horaire», ce n’est clair à 3D, cela n’est clair qu’à 2D. De plus, une face noire est quand même poussée par la lumière, mais 2 fois moins car la lumière n’est pas réfléchie, d’où une variation d’impultion 2x plus faible.
2. Comme les faces noires absorbent plus de photons que les faces brillantes, leur température Q19
est plus élevée.
3. Comme P = nRTV = n⋆kBT (avec n⋆ la densité particulaire qui est la même partout), la Q20
pression est plus élevée au voisinage des faces noires où la température est plus élevée. La pression du gaz provoque donc une rotation dans le sens inverse de celle due aux photons.
L’énoncé nous dit que c’est cet effet qui est prépondérant et impose le sens de rotation.
En pratique, à moins de faire un vide poussé (qui peut faire cesser la rotation), l’action du gaz est prépondérante et impose le sens de rotation. On peut observer une rotation même avec un éclairage faible et la chaleur des mains qui tiennent l’ampoule.
III. A UTOUR DU GAZ PARFAIT
1. (a) Par définition CV,m = ∂U∂Tm
V et Cp,m = ∂H∂Tm
p. Or pour un gaz parfait, Hm et Um ne dépendent que deT d’où Cp,m= dHm
dT . De même CV,m= dUm
dT . Q21
(b) Exprimons la relation donnant l’enthalpie en grandeurs molaires :H =U +pV =U + nRT ⇒Hm =Um+RT. En dérivant par rapport àT, on obtient Cp,m =CV,m+R d’où le résultat demandé.À noter que l’on utilise le fait que pour un GP, on a des dérivées Q22
droites, et non partiel. Sinon on a un problème car∂U∂Tm
V 6=∂U∂Tm
P a priori.
(c) De plusCp,m =γCV,md’oùCV,m(γ−1) =R⇒ CV,m = R
γ−1 et Cp,m = γR γ−1 . Q23
(d) cp = Cmp = nCmp,m = CMp,m = M(γγR−1) A.N : cp = 1,4×8,314
28.10−3×0,4 = 1,0kJ.K−1.kg−1 et cV = 8,314
28.10−3×0,4 = 0,74kJ.K−1.kg−1 Q24
Attention aux unités.
2. (a) Écrivons l’équilibre du piston et projetons les forces sur un axe ascendant. Il est soumis à son poids, la force due à la pression atmosphérique et celle due à au diazote à l’inté- rieur :
−M g+p1S−PatmS = 0soit p1 =Patm+M g Q25 S
A.N :p1 = 1,013.105+1020.10∗9081−4 p1 = 1,50.105Pa (b) N =nNA= pRT1V11NA
Q26
A.N :N = 1,50.1058.31×20.10×(273+27)−4×14.5.10−26,02.1023 N = 1,05.1022molécules
3. (a) Si l’on empêchait le piston de se déplacer, alors le volume ne change pas :p2V1 =nRT2 Q27
p2 = nRTSh2 = pRT1V1
1 × RTSh2 p2 =p1T2
T1
. Remarque : exprimer le résultat ainsi vous perment d’avoir un résultat juste même si vous avez une erreur pour la quantité de matière.
A.N :p2 = 1,50.105× 273+17273+27 p2 = 1,45.105Pa
(b) Si le piston se déplace librement alors :p′2 =p1 = nRTSh′2 = nRTSh1 d’où h′ =hT1
T2
Q28
A.N :h′ = 14,5× 273+17273+27 h′ = 14,0cm
(c) La transformation subie par le gaz est monobare.
Q29
(d) ∆H =H2−H1 =CP(T2−T1) =mcP(T2−T1) pour un GP.
Q30
A.N : ∆H= 4,88.10−4×1,0.103 ×(17−27) = 4,88J
(e) Q= ∆H pour une transformation monobare.Q <0car le système cède effectivement un transfert thermique (la température a diminué).
Q31
IV. S ATELLITES DE TÉLÉCOMMUNICATION
A. Couverture d’un réseau de satellites
1. (a) Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen on ne prend en compte que la force de gravitation exercée par la Terre f~ = −rk2~er et l’énergie potentielle à pour
Lycée Poincaré – Nancy Page 5/9 Correction
expression Ep(r) = −kr avec k = GMTMS. On a de plus r = RT +h. On peut ainsi appliquer le PFD au satellite dans le repère polaireO, ~er, ~ez :
−MSrθ˙2 =−k
r2 MSrθ¨= 0
De la deuxième équation, on obtient θ˙ = cste ⇒ v = rθ˙ = cste. On peut ainsi ré- Q32
exprimer l’accélération radialear =−v2/rd’où : MS
v2 r = k
r2 ⇒ v =
s GMT
RT +h De plus, on sait queT = 2πrv ⇒ T2
(RT +h)3 = 4π2 GMT
. On retrouve ainsi la troisième loi de Kepler.
(b) Les A.N.s donnentT = 6050 setv = 7.45 km s−1. Q33
2. On a2Ec+Ep =MSv2−GMTrMS =MS
GMT
r − GMrT= 0d’où le résultat : Q34
2Ec+Ep = 0
3. (a) Il convient pour cela d’établir l’expression de l’angleϕ tel quecos(ϕ) = RT/(RT +h).
La vitesse du satellite étant uniforme, on en déduitτ = 2ϕ2πT soit au final : Q35
τ = 2 arccos
RT
RT +h
s
(RT +h)3 GMT
(b) L’application numérique donneτ = 9.18×102s.
Q36
4. (a) On a simplementT /τ = πϕ = π arccosRRT
T+h
≈6,6. Q37
(b) Le satellite est, d’après la question précédente, visible pendant1/6,6ième de son trajet.
Il faudra donc 7 satellites pour garantir la couverture permanente au sol (arrondi au Q38
supérieur).
5. D’après la question précédente, il faudrait aussi 7 "trains de satellites" pour couvrir toutes les longitudes. Cependant, un train de satellite couvre "deux côtés" et donc⌊7/2⌋ = 4trains suffisent. ce qui permet d’aboutir à un total de7×4 = 28satellites.
Q39
6. (a) Sur orbite géostationnaire, la période de révolution du satellite vaut la période de ré- volution de la terre TT ≈ 86×103s. On peut réutiliser la 3ième loi de Kepler établie à la question 1 :
Q40
TT2
(RT +hg)3 = 4π2 GMT
et T2
(RT +h)3 = 4π2
GMT ⇒ hg = (RT +h)
TT
T
2/3
−RT ≈35 700 km (b) La notion de "visibilité" est à prendre avec prudence : pour un point du globe, le satel-
lite est alors soit visible et la durée de visibilité est infinie, soit invisible. Il ne faut pas utiliser la formule de la question 38 pour la durée de visibilité car on y faisait l’hypo- thèse d’une Terre immobile (le schéma permettant le calcul deϕ est incorrect dans ce cas ! !). Pour une zone donnée de la Terre, il suffit de disposer d’un seul satellite au lieu d’une bonne quarantaine. Mais il est beaucoup plus éloigné, ce qui pose des problèmes Q41
de perte de transmission.
Il faut aussi remarquer que les Pôles et les régions qui les entourent ne voient pas les satellites géostationnaires.
B. Influence des frottements aérodynamiques
1. (a) On a[F] =M.L.T−2 = [α]M.L2.T−2. On en déduit par identification que [α] =L−1 . Q42
(b) Le TPM appliqué au satellite donne :
dEc+Ept=−αMSv3 = 1 2dEpt
De plus,v2 = 2EC/MS = −EP/MS =GMT/(RT +h). On en déduit en combinant ces Q43
résultats que :
−αMS
GMT
RT +h
3/2
= ˙h GMSMT
2(RT +h)2 ⇒ dh
dt =−2αqGMT
q
RT +h
2. (a) Entre le début et la fin de la révolution, RT +h n’a quasiment pas varié et on peut supposer ce terme constant (on note alorsh0l’altitude initiale du satellite) :
Q44
∆h=−2α ∆t
|{z}
=T
q
GMT
q
RT +h0 ⇒α =− ∆h 2T√
GMT√
RT +h0 ⇒ α=− ∆h
4π(RT +h0)2 ≈1.53×10−15m−1 (b) En dix années, on a effectuén = ∆TT = 10TT∗T360 ≈52000orbites donc au premier ordre
(en supposant∆hidentique à chaque période), on a∆h ≈ −52 km
Une résolution exacte de l’équation 43 (à l’aide de la méthode de séparation des va- riables) :
Q45
√ dh
RT +h =−2αqGMTdt⇒2(qRT +h1−qRT +h0) =−2αqGMT∆T
⇒ ∆h=h1−h0 =
q
RT +h0−αqGMT∆T
2
−RT −h0 ≈ −51.3 km Ce résultat est très proche de celui obtenu à l’aide de l’approximation.
(c) Il peut sembler surprenant qu’une force qui s’oppose au mouvement se concrétise par une augmentation de vitesse : le freinage d’une voiture (force aérodynamique par exemple) réduit sa vitesse. Mais c’est sans compter sur l’énergie potentielle : à une or- Q46
bite plus basse correspond une vitesse plus élevée.
3. On a vu queα=−4π(R∆hT+h0)2 = hγβ. En faisant le rapport pour les deux points que l’on a :
h2
h1
!β
= ∆h1
∆h2
RT +h2
RT +h1
!2
⇒β = ln
∆h1
∆h2
RT+h2
RT+h1
2
lnhh2
1
On en déduit au final β ≈ 1,17 puis γ = hβhaut ×α(hhaut) ≈ 1.18×10−8SI. En pratique, la Q47
valeur deγest très sensible aux différents arrondis réalisés pour obtenirβet seuls son ordre de grandeur à du sens. On peut aussi remarquer que l’unité deγ est mβ−1pour respecter la dimension deα. C’est une puissance non entière, ce qui est plutôt rare dans notre cours de physique mais peut arriver.
Lycée Poincaré – Nancy Page 7/9 Correction
C. Stabilisation de l’orientation d’un satellite par gradient de gra- vité
1. On a−−−→
OM1 =−→
OS+−−→
SM1 ⇒r1 =qr02+l2+ 2r0lcos(θ). De même, on trouve Q48
r2 =qr20+l2−2r0lcos(θ).
Démonstration de l’expression de l’énergie cinétique présentée dans l’énoncé : On a par définition Ec = Ec,1 +Ec,2 = 12m(v12+v22). De plus, on sait que~v1 = d−OM−−dt→1 = ddt−→OS + d−SM−−dt→1 =
~vg+l( ˙θ+ Ω)~eθ′ puis que~v2 =~vg−l( ˙θ+ Ω)~eθ′. On en déduit que : Ec = 1
2m(2vg2+ 2l2θ˙2+ 0)⇒Ec = 1
2MS(r0Ω)2+1
2MSl2( ˙θ+ Ω)2 Remarques :
➢ Le vecteur−−→
SM1 tourne en effet à la vitesse angulaireΩ + ˙θ par rapport au repère fixe dansRd’où le résultat.
➢ Cependant, cette expression de l’énergie cinétique complique beaucoup la suite du pro- blème. En utilisant toutefois la conservation du moment cinétique
L0 =−−−→
OM1 ∧m~v1+−−−→
OM2∧m~v2
·~ez =MSr02Ω+MSl2(Ω+ ˙θ)impliquedLdt0 = 0⇒r20˙Ω =
−l2(¨θ+ ˙Ω), on peut établir que dEc
dt =MSr02˙ΩΩ +MSl2(¨θ+ ˙Ω)( ˙θ+ Ω) =Msl2θ(¨˙ θ+ ˙Ω)≈Msl2θ˙θ¨ car ˙Ω = 1+(rθ¨0/l)2 ⇒ ˙Ω≪θ¨(toujours via l’expression du moment cinétique).
➢ On peut alors ré-integrer cette relation pour obtenir : Ec = 1
2MSl2θ˙2
➢ Ces résultats impliquent que le mouvement du centre de masse du satellite n’est pas exactement uniforme. D’après la conservation du moment cinétique, une variation de θ˙ entraine une variation de Ω. Cette variation est toutefois très faible (de l’ordre de (l/r0)2)
2. On commence par s’intéresser aux termes d’énergie potentielle Ep,i = −k/ri avec k = GMTm. On obtient ainsi en posantǫ=l/r0 :
Ep,12=− k r12
=− k
qr20+l2±2r0lcos(θ) =−k r0
1
q1 +ǫ2±2ǫcos(θ)
Ep,12=−k r0
1− 1
2(ǫ2±2ǫcos(θ)) + 3
8(ǫ2±2ǫcos(θ))2
+o(ǫ2)
On peut maintenant ajouter les deux termes d’énergies potentielles (avec encore un terme quadratique à développer puis simplifier à droite du terme d’énergie potentielle) :
Ep,1+Ep,2 =−k r0
2−ǫ2+ 3ǫ2cos2(θ)+o(ǫ2)
On combine ensuite ce terme avec l’expression de l’énergie cinétique obtenue à la question précédente :
Em =Ec+Ep =−GMTMS
r0
1 + 1 2
l r0
!2
3 cos2(θ)−1
+1
2MS(lθ)˙ 2 carm=MS/2d’où le résultat
Q49
Em ≈ −GMTMS
r0
1 + 1 2
l r0
!2
(3 cos2(θ)−1)
+1
2MSl2θ˙2
3. On appliquer le TPM dans le référentiel géocentrique au satellite qui n’est soumis à aucune force non conservative. On en déduit :
dEm
dt = 0 ⇒ −GMT
r0 l r0
!2
3 cos(θ)(−sin(θ)) ˙θ+l2θ˙θ¨= 0
⇒θ¨+3GMT
2r03 sin(2θ) = 0⇒ θ¨+ 3Ω2sin(2θ) 2 = 0 On est à l’équilibre lorsqueθ¨= 0soit ici pourθ =pπ2, p∈N.
➢ Pourθ = 0 +x avecx << 1, on a comme équation du mouvement x¨+ 3Ω2x = 0 qui est l’équation de l’oscillateur harmonique donc la position d’équilibre est stable et la pulsation des petites oscillations vautω0 = Ω√
3
➢ Pourθ =π/2 +x, on a maintenantx¨−ω02x. Cette position d’équilibre n’est pas stable.
➢ Pourθ=π+x, on ax¨+ω02x= 0et on retrouve la même équation que pour la première position d’équilibre. Cette position d’équilibre est donc aussi stable et de pulsationω0
➢ Pourθ = 3π/2 +x, on obtient au finalx¨−ω20x: équilibre instable.
Ainsi, seules les positions verticales (à l’endroit ou à l’envers) sont stables. En cas de lé- Q50
ger décalage, le satellite va donc osciller autour de la position d’équilibre verticale et donc toujours présenter le même côté vers la Terre.
Lycée Poincaré – Nancy Page 9/9 Correction
