Devoir de Physique n°3 PCSI 2020 – 2021

Conseils :

• Ce devoir comporte 3 exercices.

• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la ré- daction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale simplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé,vérifiez l’homogénéité et la cohérence(tout résultat non homogène sera sanctionné).

Les résultats NON ENCADRÉS ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.

• Numérotez les questions et ajoutez le label de la marge Q1, etc.

• L’usage descalculatrices est autorisé.

I. I NTERFÉRENCES

On donne :

• h= 6,64.10⁻³⁴J.s la constante de Planck,

• N^A= 6,0.10²³mol⁻¹le nombre d’Avogadro,

• e= 1,6.10⁻¹⁹C la charge d’un électron,

• me= 9,1.10⁻³¹kg la masse de l’électron,

• M = 20g.mol⁻¹ la masse molaire du néon,

• g = 9,8m.s⁻²l’accélération de la pesanteur.

A. Expérience de Shimizu et Takuma

Des expériences d’interférences atomiques ont été réalisées avec succès en 1992 par l’équipe de Shimizu et Takuma. Le dispositif, schématisé ci-dessous, utilise des atomes de néon piégés et refroidis à une température de2,5mK de manière à minimiser leur agitation thermique moyenne.

Ils sont portés dans un état métastable grâce à un laser à 598 nm, ils peuvent alors quitter le piège et tombent dans le champ de pesanteur.

Le piège est situé à une hauteurl = 76mm au dessus de deux fentes séparées d’une distance a = 6 µm. La largeur d’une fente est de e = 2 µm. Un détecteur est placé à une distance D = 113mm de la double fente et détecte les atomes de néon avec une résolution de l’ordre de20µm.

L’ensemble du dispositif est disposé verticalement.

D l

a

écran de détection deux fentes

atomes de néon piégés

~g

La figure d’interférence (ci-dessus à droite) obtenue en libérant les atomes du piège est consti- tuée d’environ 6000 impacts atomiques. L’ensemble des impacts dessine des franges d’interfé- rences dont la période spatiale appelée interfrange est égale ài= 0,23mm. L’interfrange est ainsi la distance entre les centres de deux franges brillantes.

1. En quoi cette expérience met-elle en évidence le caractère corpusculaire et le caractère on- Q1

dulatoire de la matière ?

2. En considérant une approche classique, montrez que la vitesse des atomes de néon au ni- Q2

veau des deux fentes estv ≃1,2m.s⁻¹. On étudiera une chute libre sans vitesse initiale.

3. Pourquoi les atomes sont-ils refroidis à si basses températures ? Pour ces atomes, quel a été Q3

l’autre critère de choix qui influe dans le même sens ?

4. En déduire la longueur d’onde de de BroglieλBassociée à ces atomes.

Q4

5. L’expression de l’interfrange i associée aux fentes d’Young esti = ^λD_a . En déduire la lon- Q5

gueur d’ondeλassociée à la particule. Commenter.

B. Expression de l’interfrange

Le but de cette section est de retrouver l’expression de l’interfrange associée aux fentes d’Young qui a été calculée à la section précédente. On formalise l’expérience en introduisant un repère : on appelle Z^′Z la direction de l’onde de matière incidente. On noteλ la longueur d’onde de de Broglie de l’onde de matière.

Une plaque opaque(P), percée de deux trousS1 etS2de même taille et de faibles dimensions, est placée perpendiculairement à l’axe Z^′Z. La distance entre les centres des deux trous S₁ et S₂ est notéea.

On noteO^′ le milieu du segment[S1;S2]. Le pointO^′appartient à l’axeZ^′Z. Un écran(E)est placé perpendiculairement à l’axe Z^′Z. La distance entre la plaque (P) et l’écran(E)est égale àD. Soit O le point de l’écran(E)appartenant à l’axeZ^′Z :D=O^′O.

L’espace est rapporté au repère cartésien(O, ~ex, ~ey, ~ez)défini comme suit :

• ~ez: vecteur unitaire de l’axeOZ orienté de la plaque(P)vers l’écran(E);

• ~ex: vecteur unitaire de l’axeOX parallèle à[S1;S2]et orienté deS2 versS1;

• ~ey: vecteur unitaire de l’axeOY tel que la base(O, ~ex, ~ey, ~ez)soit orthonormée.

Les trousS₁ et S₂ sont de très petite taille e, la distance entre les trous est a. La distance des fentes à l’écran estD.

b O

O^′

~ez

~ex

b

~ey

(E) (P)

a

D S2

S1

Onde de matière

1. Calculer l’angle θ de diffraction de l’onde de matière par une des fentes. Pour vérifier le Q6

bon écartement des fentes, calculer la largueur de la zone de recouvrement des deux ondes diffractées sur l’écran.

2. On suppose queD ≫ aetD ≫ x. Exprimer à l’aide du théorème de Pythagore la distance Q7

S1M et la mettre sous la formeA√

1 +B oùAest une longueur etB est une grandeur sans dimension, très petite par rapport à1compte tenu des hypothèses.

On admet que√

1 +ε ≃1 + ¹₂εsi|ǫ| ≪1.

3. Montrer queS2M −S1M ≃ ^ax_D. Q8

4. Exprimer ∆t la différence des temps de propagation en M entre deux ondes passant par Q9

chacune des fentes. Faire un schéma.

5. En déduire le déphasage enM en fonction dex,a,Detλ.

Q10

6. Donner les conditions d’interférences constructrices puis destructives sur le déphasage.

Q11

7. En déduire la distance observée sur l’écran de détection pour passer d’une interférence Q12

constructive à la suivante. Commenter.

C. Expérience de Gaston

Épaté par les résultats de l’expérience de Shimuzu et Takuma, Gaston souhaite la reproduire.

Conscient des difficultés techniques, il a l’idée de "reproduire la même expérience"... mais avec des diapasons. Il en trouve deux avec une étiquette440Hz dans son grenier, certes un peu abimés, mais décide de faire quand même l’expérience. Il installe un microphone relié à un oscilloscope et frappe sur les deux diapasons.

Il obtient l’enregistrement suivant au pointM :

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-2 -1 0 1

2 s(t)(mV)

t(s)

1. Pourquoi n’obtient-il pas un signal sinusoïdal comme dans l’expérience précédente ? Com- Q13

ment s’appelle ce phénomène ?

2. On suppose la fréquence moyenne égale à 440 Hz. Retrouver les caractéristiques des deux Q14

signaux sources (amplitude et fréquence).

II. D ÉTECTEUR DE PLUIE

Parmi les dispositifs d’aide à la conduite dans les voitures, le détecteur automatique de pluie sur le pare-brise permet la mise en route automatique des essuie-glaces.

Le détecteur, placé sous le pare-brise, est composé d’une diode électroluminescente DEL et d’une photodiode utilisée comme capteur. La diode envoie un faisceau lumineux sur le pare-brise.

Le capteur mesure en permanence la lumière réfléchie. Le principe repose sur le comportement différent de la lumière à l’interface verre-air ou verre-eau.

Plus il y a d’eau sur la vitre, moins il y a de réflexion. Le capteur de pluie pilote ainsi automa- tique la vitesse des essuie-glace en fonction de la quantité d’eau détectée.

Le pare-brise sera localement assimilé à une lame à face parallèles en verre d’épaisseure, d’in- dice optiquenv = 1,55. Les rayons lumineux émis par la diode électroluminescente se propagent jusqu’au pare-brise dans du plexiglass d’indice optiquenp = 1,50. Les rayons sont dirigés vers le pare-brise avec un angleθ = 50°. L’indice de l’eau estne= 1,33et celui de l’air estna= 1,00.

DEL plexiglass

Vers capteur θ

θ₂

A

B C

air

air En l’absence de pluie

goutte d’eau

DEL θ

θ₂

A

B C

air

Extérieur

Intérieur Pare-brise En présence de pluie

1. Énoncer les lois de Descartes pour la réflexion.

Q15

2. Calculer la valeur de l’angle de réfractionθ2au pointA.

Q16

3. En l’absence de pluie, existe-t-il un rayon réfracté au pointB ouC? Justifier.

Q17

4. En présence d’une goutte de pluie sur le pare-brise, existe-t-il un rayon réfracté au pointC? Justifier.

Q18

5. Expliquer de façon qualitative pourquoi plus il y aura de gouttes sur le pare-brise, moins l’intensité lumineuse reçue par le capteur sera importante.

Q19

III. É TUDE DU DISPOSITIF OPTIQUE DE PHOTOGRAPHIE

Dans cette partie, nous étudions la prise de photographies numériques terrestres sur un cap- teur électronique photosensible depuis la fusée.

Les formules suivantes sont rappelées :

Lentilles : Pour un objetABorthogonal à l’axe optique avecA sur l’axe optique, on noteA^′B^′ l’image par une lentille mince de centre O, de foyer objet F et image F^′ et de distance focale f^′ =OF^′. Les relations suivantes sont alors vérifiées :

• relations de conjugaison et formule du grandissement de Descartes (avec origine au som- met)

1

OA^′ − 1

OA = 1

OF^′ et γ = A^′B^′

AB = OA^′ OA

• relations de conjugaison et formule du grandissement de Newton (avec origines aux foyers) F A.F^′A^′ =F O.F^′O =−f^′2 et γ = A^′B^′

AB = F O

F A = F^′A^′ F^′O

A. Construction de l’image obtenue

Afin d’étudier les images de la surface de la Terre par un dispositif optique, nous nous plaçons dans le cadre de l’optique géométrique et de l’approximation de Gauss. L’espace entre l’objet photographié et la fusée sera considéré comme du vide pour le tracé des rayons lumineux.

1. Comment qualifie-t-on les rayons lumineux utilisés dans l’approximation de Gauss ? Quelles Q20

sont leurs deux propriétés ?

Le dispositif optique permettant la photographie est modélisé simplement par une lentille sphérique mince convergenteL de distance focale imagef^′ et un capteur.

axe optique L

O

f^′ f^′ f^′

P

M Objet réel

FIGURE1 – À reproduire sur votre copie.

2. Sur votre copie, reproduire le schéma de la figure 1 en précisant les foyers objetF et image Q21

F^′. Tracer avec soin la construction de l’image d’un objet réel P M situé sur l’axe optique.

Caractériser l’image obtenue (réelle ou virtuelle, agrandie ou rétrécie, de même sens ou inversée). Justifier par un calcul le grandissement et le sens.

3. L’objet P M se situe sur Terre à une distance de35×10³ km de la fusée. La distance focale Q22

image de la lentilleL est def^′ = 5m. À partir de la relation de conjugaison de Descartes, déterminer où se situe l’image de l’objetP M? Justifier.

4. La taille des pixels du capteur est de 1 µm. Quelle est la dimension du plus petit objet Q23

détectable ?

L’emprise sur le sol de l’image réalisée est de 70 km. En déduire le nombre nécessaire de pixels sur la largeur du capteur.

5. Sur votre copie, reproduire le schéma de la figure 2 et compléter avec soin le tracé des rayons Q24

lumineux provenant d’un objet réel situé à l’infini dont les rayons sont inclinés d’un angle αpar rapport à l’axe optique.

axe optique L

O

f^′ f^′ α

Objet réel situé à l’infini

FIGURE2 – À reproduire sur votre copie.

B. Influence de la longueur d’onde

Pour un milieu transparent comme le verre de la lentille mince utilisée, dans le domaine du visible, son indice de réfraction n varie avec la longueur d’onde λ suivant la loi empirique de Cauchy

n(λ) = A+ B

λ² , avecA= 1,5etB = 3,8×10²nm²

La distance focale imagef^′de la lentilleL est donnée en fonction de son indicenpar la relation f^′(λ) = C

n(λ)−1 , C étant une constante positive.

Dans la suite, les notations adoptées sont synthétisées dans le tableau 1.

Couleur du Longueur d’onde Pour la lentille

rayonnement Indice Distance focale image Foyer image

bleu λB = 486nm nB f_B^′ F_B^′

jaune λJ = 589nm nJ f_J^′ F_J^′

rouge λR= 656nm nR f_R^′ F_R^′

TABLEAU1 – Résumé des notations

6. Montrer que l’expression de la distance focale imagef_J^′ associée au rayonnement jaune peut Q25

s’écrire

f_J^′ = C

A−1 1 + B (A−1)λ²_J

!−1

. 7. En approximantλJ à6×10⁻⁷ m, montrer que _(A−^B_1)λ2

J ≪1. Simplifier alors l’expression de la Q26

question précédente à l’aide d’un développement limité à l’ordre 1 du type(1 +ε)^α = 1 +αε lorsqueεtend vers 0.

8. Justifier sans calcul la position des foyers imagesF_B^′ etF_R^′ sur l’axe optique par rapport àF_J^′. Q27

Représenter sur votre copie un schéma indiquant la position des foyers imagesF_B^′ , F_J^′, F_R^′ et le centre optiqueOde la lentilleL.

9. Qu’est-ce que le stigmatisme ? Est-il vérifié ici ? Quelle en est la conséquence ? Q28

C. Défaut d’observation longitudinal

L’aberration chromatique longitudinaleACLd’une lentille est définie par la distance algébrique ACL=F_B^′ F_R^′ qui sépare les foyers images bleu et rouge.

10. ExprimerACLen fonction def_R^′ etf_B^′ . En supposant quef_B^′ f_R^′ =f_J^′2, montrer que Q29

1 f_B^′ − 1

f_R^′ = A_CL f_J^′2 .

On définit le pouvoir dispersifKd’un verre par la relation K = nB−nR

nJ −1 . 11. Montrer que 1

f_B^′ − 1

f_R^′ = K

f_J^′. En déduire l’expression de A_CL en fonction de K et f_J^′. Faire Q30

l’application numérique pourK = 1,4×10⁻²etf_J^′ = 5m.

F_R^′ F_B^′ H

ACT

axe optique

b b b b

L

O D

ACL

D

FIGURE3 – Défauts d’observation longitudinal et transversal

D. Défaut d’observation transversal

L’aberration chromatique transversaleACT du dispositif optique est définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse produite par la superposition des faisceaux rouge et bleu provenant de rayons parallèles à l’axe optique et passant par les extrémités de la lentille L de diamètreD.

Cette définition est illustrée sur la figure 3.

12. À partir d’une étude géométrique sur la figure 3, établir deux expressions deACT en fonction Q31

deD, f_B^′ , f_R^′ et des distances algébriques entre le pointHet les foyers imagesF_B^′ etF_R^′. 13. Montrer que

Q32

ACT(f_B^′ +f_R^′ ) = D 2ACL.

En supposant quef_J^′ = (f_B^′ +f_R^′)/2, déterminer l’expression deACT en fonction du pouvoir dispersifK et du diamètreDde la lentille.

E. Correction des défauts

Afin de limiter ces aberrations, une lentille sphérique minceL₂ de centre optiqueO₂ en verre flint (verre plus dispersif que la lentille précédente) est ajoutée. L’indice n2 du verre flint suit également la loi de Cauchy

n2(λ) = A2+B₂

λ² , A2etB2étant deux constantes positives etA2 >1.

Sa distance focale image est donnée par la relation f₂^′(λ) = C2

n₂(λ)−1 , C2étant une constante dont on cherche à déterminer le signe.

Cette deuxième lentille est accolée à la première lentille L de centre optiqueO. On suppose que les pointsOetO2 sont confondus.

La distance focale image du système{L +L₂}formé par les deux lentilles accolées est notée f_T^′.

14. Montrer que Q33

1 f_T^′ = 1

f^′ + 1 f₂^′ 15. Déterminer l’expression de _f¹′

T en fonction deA, B, C, A2, B2, C2etλ.

Q34

16. Établir une relation entreC, B, C₂etB₂ permettant de supprimer totalement les aberrations Q35

chromatiques transversales et longitudinales.

17. Quel est nécessairement le signe deC₂? En déduire la nature convergente ou divergente de Q36

la lentilleL₂.

Remarques

Quelques remarques générales :

➢ Q2 : attention aux arnaques (idem pour d’autres questions, mais c’est à Q2 que j’ai vu les plus belles). Le résultat est donné, si vous faites un raisonnement fantaisiste et obtenez le ré- sultat de l’énoncé alors que votre application numérique donne complètement autre chose, cela met le correcteur de très très très mauvaise humeur pour le reste de votre copie. À partir de ce moment, s’il a le moindre doute, il ne mettra pas les points (et desfois il aura du doute avec un peu de mauvaise foi).

De façon générale, justifiez de façon rigoureuse dès que le résultat est donné

➢ Q4 : attention a l’unité SI de masse, kg et non g.

➢ Ne pas utiliser la longueur d’onde du laser de 589 nm dans le I, elle n’a rien à voir avec notre problème et sert juste au refroidissement. De même, lorsque l’on trouve la longueur de l’onde de matière, rien ne sert de comparer avec des longueurs d’onde optiques.

➢ Q23 a été mal ou peu traitée, il vous faut la revoir. C’est important de bien la comprendre et ce n’est en fait pas très dur.

➢ Q25 était en fait assez facile même si vous avez parfois compliqué les choses pour rien (et parfois, ça ressemble fort à des arnaques !). Il suffisait de factoriser parA−1au dénomina- teur. On pouvait aussi partir du résultat proposé et développer. Attention dans ce genre de question à ne pas remplacer _a+b¹ par _a¹ +¹_b! (testez aveca =b = 2).

➢ Q28 : sur ce genre de question, dans un barème de concours, on va souvent chercher des mots clés tels que "irrisation", "aberration chromatique". N’hésitez pas à souligner quelques mots s’ils vous paraissent importants.

➢ Q31 : réviser le théorème de Thalès.

I. I NTERFÉRENCES

A. Expérience de Shimizu et Takuma

1. D’une part, le fait d’observer des impacts ponctuels confirme le caractère corpusculaire.

Q1

D’autre part, la présence de franges traduit un phénomène d’interférences qui ne peut s’ex- pliquer que par le caractère ondulatoire des particules mises en jeu.

2. On considère une chute libre sans vitesse initiale. Le système est un électron dans le référen- Q2

tiel galiléen du laboratoire, uniquement soumis à son poids. On prend un axeOzvers le bas avec origine dans le piège. L’application du principe fondamental de la dynamique donne :

¨

z =g ⇒v = ˙z =gt ⇒z = 1 2gt² L’atome parcours une distancel(jusqu’aux fentes) ent1 =^q2l_g. On a alors v(t₁) = v_s =√

2gl . A.N. vs =√

2×9,8×76.10⁻³ = 1,2m.s⁻¹ .

On pouvait aussi utiliser la conservation de l’énergie mécanique :Em,i =Em,f ⇒mgl+ 0 = 0 + ¹₂mv²_f et on en déduit le même résultat très rapidement.

3. Les atomes sont refroidis à si basses températures pour diminuer leur agitation thermique Q3

et ainsi leur vitesse moyenne et leur quantité de mouvement. Ainsi leur longueur d’onde de Broglie n’est pas trop petite et permet d’observer des interférences avec les tailles du dispositif. Nous verrons plus tard en thermodynamique que la vitesse moyenne est liée à la température par la relation :v =^q3RT_M .

L’autre critère peut-être la masse des atomes : il se peut qu’on ait choisi des atomes assez légers pour augmenter la longueur d’onde de Broglie.

4. On utilise la relationλB = ^h_p = _m ^h

néonv = _M^hNA

néonv

Q4

A.N. λB= ^6,6.10_20.10⁻³⁴−3^××^6,0.101,2 ²³ = 1,6.10⁻⁸m . (remarque : on trouve 1,6et non1,7avec les don- nées de l’énoncé)

Pourquoi prendre la masse de l’électron pour cette application numérique ? De même, l’unité S.I. de masse est le kg et non le g bien que les masses molaires soient

usuellement données en g/mol.

5. On calculeλ= ^ai_D. Q5

A.N λ = ^6.10−6_113.10^×0,23.10−3 ⁻³ = 1,2.10⁻⁸ m .

On trouve un accord avec la longueur d’onde de de Broglie évaluée précédemment bien que cela ne coincide pas parfaitement (cf remarque ci-dessous).

Remarque : La longueur d’onde de de Broglie a été évaluée avec la vitesse au niveau des deux fentes. Or les atomes continuent leur accélération et la longueur d’onde varie avec l’altitude.

Si on évalue la vitesse au niveau de l’écran, on trouvev = ^q2g(l+D) =1,9 m.s⁻¹. L’ordre de grandeur reste le même, on peut estimer que la longueur d’onde de de Broglie varie peu.

Par contre, si on demandait de calculer la valeur précise de l’interfrange, il faudrait prendre en compte toute la variation deλBau cours du mouvement.

B. Expression de l’interfrange

1. La formule de la diffraction donnesinθ ≃ θ ≃ ^λ_e pour une fente. Prenons pour λ la valeur Q6

calculée à la fin de la partie A. :θ= ^1,2.10_2.10−6⁻⁸ = 6.10⁻³rad

bO^′

θ

a 2 −Dθ

−^a₂ +Dθ

(E) (P)

a

D S2

S1

Onde de matière

Sur l’écran de détection, chacune des deux ondes diffractées par les fentes s’étend sur une largeur ≃ autour du point en face de la fente. On en déduit que la zone

de recouvrement (si elle existe) s’étend de ^a₂ −Dθà−^a₂ +Dθ(cf schéma ci-dessus). Elle fait donc une tailleL=−^a₂+Dθ−^a₂ −Dθ= 2Dθ−a≃1,4mm (on trouve1,8mm si on prend l’autre λ, soit le même ordre de grandeur). On peut remarquer que a ≪ Let donc que les zones de diffraction se recouvrent quasiment à 100%. Remarque : un résultat négatif aurait indiqué une absence de recouvrement.

2. Soit M un point repéré par son abscisse x sur l’écran, alors S₁M =

r

D²+x−^a₂² =

D

v u u t1 +

x− ^a₂²

D² , ce qui est bien la forme demandée puisqueD≫xetD≫a.

Q7

3. De même,S2M =D

r

1 + (^x+a2)²

D² et en utilisant les approximations suggérées, S1M ≃D 1 + ¹₂(^x−a2)²

D²

!

On en déduitS₂M−S₁M ≃D 1 + ¹₂(^x+a2)²

D²

!

−D 1 + ¹₂(^x−a2)²

D²

!

=D−D+^x2−x2+a

2 4 −^a2

4 +ax−(−ax) 2D

d’où finalement S2M−S1M ≃ ^ax_D . Q8

Q9 4. ∆test la différence des temps de propagation enM entre deux ondes passant par chacune des fentes :∆t= ^S2_c^M − ^S1_c^M. Soit en utilisant le résultat précédent : ∆t≃ _cD^ax

5. Le déphasage correspondant enM est∆ϕ =ω∆t≃ ^2π_T × _cD^ax ∆ϕ ≃ ^2πax_λD Q10

6. La condition d’interférences constructrices est∆ϕ = 2nπ avecnentier . Q11

7. Ainsi cette condition s’écrit : ^2πai_λD = 2nπ soit pour n = 1, les centres de deux franges pour Q12

lesquels les impacts sont les plus denses (franges "brillantes") sont séparés d’une distancei telle que i= ^λD_a

On retrouve bien l’expression de l’interfrange donnée à la fin de la section A.

C. Expérience de Gaston

1. On peut supposer que comme les diapasons semblent abîmés, ils ne sont plus exactement à Q13

la même fréquence. On obtient alors un phénomène de battements .

2. On lit sur le graphique S_max = 1,8 mV etS_min = 0,2mV. On les identifie àS_max = S₁ +S₂ Q14

(deux signaux en phase) et àSmin =S1−S2 (opposition de phase). On obtient : S1 = 1,0mV et S2 = 0,8mV

On lit la période des battements sur le graphique :Tbatt = 5s. D’oùfbatt =f2−f1 = 0,2Hz.

En utilisant ^f1+f₂ ² = 440Hz, on obtient :

f1 = 339,9Hz et f2 = 440,1Hz

Cette question avait été vue et revue en classe : il fallait en profiter pour prendre les points.

II. D ÉTECTEUR DE PLUIE

1. Lois de Descartes pour la réflexion.Lors d’une réflexion (que ce soit sur un dioptre ou sur Q15

un miroir) :

(a) le rayon réfléchi appartient au plan d’incidence, c’est-à-dire le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre au point d’incidence ;

(b) l’angle orienté depuis la normale vers le rayon réfléchi est égal à l’opposé de l’angle orienté depuis la normale vers le rayon incident.

(N’hésitez pas à faire un petit schéma).

2. D’après les lois de la réfraction appliquée en A, npsinθ = nvsinθ2 (on passe d’un milieu moins réfrincent à un milieu plus réfringent et il ne peut donc pas y avoir réflexion totale).

On en déduit θ2 = arcsin^np_n^sin_v ^θ= 48° (47,845).

Q16

3. Ici, on passe d’un milieu plus réfringent, le verre, vers un milieu moins réfringent, l’air. On peut donc avoir réflexion totale si l’angle d’incidence est supérieur ài_lim = arcsinⁿ_n^a

v = 40°.

La lame étant à face parallèle, l’angle d’incidence enB et enCestθ2 = 48°>40°. On a donc réflexion totale, c’est-à-dire pas de rayon réfracté enBet enC.

Q17

4. En présence d’une goutte de pluie sur le pare-brise, le nouvel angle limite pour la réflexion totale est i^′_lim = arcsinⁿ_n^e

v = 59°. On a donc θ2 < i^′_lim et il existe donc un rayon réfracté (+

une réflexion partielle).

Q18

5. Qualitativement, en l’absence de pluie, les pertes d’énergie lumineuse ne sont dues qu’aux réflexions partielles à l’interface Plexiglass-verre, les réflexions totales transmettant toute l’énergie vers le capteur.

En présence d’une goutte de pluie au niveau de C, mais pas de B, seul un rayon subira une réflexion partielle au lieu d’une réflexion totale : il y a donc une légère perte d’éner- gie lumineuse. Toutefois, si de nombreuses gouttes de pluies sont présentes, alors il y aura aussi réflexion partielle en B (et en d’autres points) et donc une perte d’énergie bien plus importante.

Q19

De plus, plus les gouttes sont nombreuses, plus la probabilité qu’un rayon quelconque ren- contre une goutte est grande, donc plus de rayon seront concernés par les réflexions par- tielles.

Ainsi, plus les gouttes de pluie sont nombreuses, plus les réflexions partielles sont nom- breuses et donc plus l’intensité reçue diminue.

III. É TUDE DU DISPOSITIF OPTIQUE DE PHOTOGRAPHIE

A. Construction de l’image obtenue

1. Dans l’approximation de Gauss , les rayons sont peu éloignés de l’axe optique et Q20

peu inclinés par rapport à l’axe optique : rayons paraxiaux .

Les conséquences sont le stigmatisme et l’aplanétisme approché (non demandé ici).

2. L’image obtenue est réelle, de même taille et inversée . Q21

axe optique L

O

f^′ f^′ f^′

P

M

Objet réel P^′

M^′

Image réelle inversée

En effet : _OP¹_′ −_OP¹ = _OF¹_′ avecOP =−2f^′

1

OP^′ = _OF¹_′ +_OP¹ = _OF¹_′ − _2OF¹ ′ = _2OF¹ _′ d’oùOP^′ = 2f^′ orγ = ^P′M′

P M = ^OP′

OP = ₋^2f_2f^′_′ = −1 d’où même taille (|γ|= 1) et inversée (γ <0).

On pouvait aussi utiliser les formules de grandissement de Newton avec origine aux foyers qui sont ici un peu plus simple.

3. OP = 35.10³km doncOP ≫f^′donc on peut considérer que l’image se forme au foyer image deL . Q22

4. d^′(pixel) = 1µm. Or|γ|= ^d_d^′ = ^OP_OP^′ d’oùd=d^′×_OP^OP′ = 1.10⁻⁶× ^35.10₅ ⁶ Q23

La dimension du plus petit objet détectable est donc d= 7m . Pour observer70km, il faut ^70.10₇ ³, soit 10000pixels .

Attention, la taille du pixel correspond à la taille de l’image du plus petit objet détectable. Pour trouver la taille de l’objet il faut donc utiliser les relations de

grandissement.

5. Des rayons parallèles convergent au foyer secondaire image, dont on trouve la position en Q24

prolongeant le rayon passant par le centre

axe optique L

O

f^′ f^′ α

Objet réel situé à l’infini

B. Influence de la longueur d’onde

6. Remplaçonsn(λJ)par son expression dansf_J^′ :f_J^′ = _n(λ^C

J)−1 = _A+^CB λ2 J

−1 = _A−1+^C B λ2 J

= ^C

(A−1)

1+ ^B

(A−1)λ2 J

Q25

f_J^′ = _A^C₋₁

1 + _(A−^B_1)λ2 J

⁻1

7. Évaluons _(A−^B_1)λ2

J ≃ _0,5^3,8.10×(600)^{2 2} ≃ _36.10^8.1024 ≃ ²₉10⁻² ≃2.10⁻³ ≪1

On peut alors faire un DL de l’expression précédente pour obtenir : f_J^′ = _A^C₋₁

1− _(A−^B1)λ²_J

Q26

Si on vous demande un DL, c’est pour avoir quelque chose de plus "subtil" que simplement la limite : il ne faut donc pas se limiter à l’ordre 0 (surtout que l’énoncé

donnait la formule à l’ordre 1).

8. λB 6 λJ 6λR donc−_λ¹²

B

6−_λ¹²

J

6−_λ¹²

R donc d’après le résultat de la question précédente : f_B^′ 6f_J^′ 6f_R^′

O F_B^′ F_J^′ F_R^′ Q27

Justifier votre réponse, et ce d’autant plus que l’énoncé donnait la réponse sur un schéma plus loin.

9. Stigmatisme : L’image d’un point est un point. Non vérifié ici à cause des foyers différents Q28

pour des longueurs d’ondes différentes.

On obtient alors des aberrations chromatiques , c’est-à-dire que l’image d’un point non mo- nochrome est une tache colorée, chaque couleur formant un point à une position légèrement différente. On a donc une image floue et irisée sur les bords.

C. Défaut d’observation longitudinal

10. AvecACL=F_B^′F_R^′ =F_B^′ O+OF_R^′, on a ACL =f_R^′ −f_B^′ . Q29

En réduisant au même dénominateur _f¹′ B − _f^1′

R = ^f_f^R′′^−fB′

Bf_R^′ , et comme f_B^′ f_R^′ = f_J^′2, on obtient directement : 1

f^′ − 1

f^′ = ACL

f^′2

11. 1 f_B^′ − 1

f_R^′ = nB−1

C − nR−1

C = nB−nR

C = nB−nR

f_J^′(nJ −1) avecC =f_J^′(nJ −1) Q30

OrK = nB−nR

nJ −1 Finalement, on obtient 1 f_B^′ − 1

f_R^′ = K f_J^′ .

Par identification, on obtient ACL=K.f_J^′ A.N. :ACL= 1,4.10⁻²×5: ACL= 7cm .

D. Défaut d’observation transversal

12. D’après le théorème de Thalès dans les triangles : en pointillés : ^D/2_f′

B = _F^A′^CT

BH ⇒ACT = _2f^D′

BF_B^′H ; en traits pleins : ^D/2_f′

R = _HF^ACT′

R ⇒ACT = _2f^D′ RHF_R^′ Q31

Mettre à cette question le résultat donné dans la question suivante un peu déformé est une preuve de malhonnêteté qui vous fait perdre la confiance du correcteur.

13. ACL=F_B^′ H+HF_R^′ = ^2A_D^CT(f_R^′ +f_B^′ )d’où ACT(f_B^′ +f_R^′ ) = ^D₂ACL

Or2f_J^′ = (f_B^′ +f_R^′ )⇒ACT = ^D₂ ^A_2f^CL′

J . AvecACL=Kf_J^′ on obtient ACT = DK Q32 4

E. Correction des défauts

14. Pour 2 lentilles accolées de même centre :A −→ A^′ −→ A^′′. A^′ joue donc le role de l’image Q33

pour la première lentille et de l’objet pour la seconde.

1

OA^′−_OA¹ = _f¹′ et _OA¹_′′−_OA¹′ = _f¹′

2. On prend le même centre car les deux lentilles sont accolées.

Soit en sommant : _OA¹_′′ − _OA¹ = _f¹′ + _f¹′ 2 = _f¹′

T

On obtient 1 f_T^′ = 1

f^′ + 1 f₂^′ .

15. En remplaçant les expressions des distances focales en fonction des indices : Q34

1

f_T^′ = _f¹_′ + _f¹′

2 = ^n(λ)_C⁻¹ + ^n2(λ)_C ⁻¹

2 = ^(A+

B λ2)−1

C + ^(A2+

B2 λ2)−1 C2

1 f_T^′ =

A−1

C +A2−1 C2

+

B C +B2

C2

1

λ² Cette forme factorisée en fonction deλest intéres- sante compte tenu du contexte et de la question suivante.

16. Pas d’aberration chromatique sif_T^′ est indépendant deλcad si ^B_C + ^B_C²₂ = 0 . Q35

17. B, C etB2 réels positifs donc on aC2 négatif. Orf₂^′ = _n^C₋²₁ avecn > 1, d’où f₂^′ < 0et donc Q36

L₂ est divergente .