Si la sérieX vnconverge, alors la sérieX unconverge aussi

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MATHEMATIQUES Interro 4 - durée : 15’

ECE 2 20 novembre 2020

1. Pour|q|<1,

+∞

X

n=1

nqⁿ⁻¹ = 1

(1−q)² et

+∞

X

n=2

n(n−1)qⁿ⁻² = 2 (1−q)³ . 2. SoitX

unetX

vndeux séries à termes positifs. On suppose queun=◦(v_n). Alors : a. Si la sérieX

vnconverge, alors la sérieX

unconverge aussi.

b. Si la sérieX

undiverge, alors la sérieX

vndiverge aussi.

3. On a S =

+∞

X

n=1

2 3ⁿ⁺¹ = 2

3

+∞

X

n=1

1 3ⁿ = 2

3

+∞

X

n=0

1 3ⁿ −1

!

= 2 3

3 2 −1

= 1 3 . 4. On a lim

n→+∞

−1 n

= 0, donc ln

1− 1 n

n→+∞∼ −1 n. Or, la sérieX

n>1

1

n diverge (série harmonique), donc la sérieX

n>2

1

n, et, par linéarité, la sérieX

n>2

−1 n

divergent aussi.

Ainsi, par équivalence, la série X

n>2

ln

1− 1 n

diverge .

5. On a

(−1)ⁿ n√

n

= 1 n√

n = 1 n^1.5.

Il s’agit du terme général d’une série de Riemann convergente (1.5>1), donc : la sérieX

n>1

(−1)ⁿ n√

n est absolument convergente, donc convergente.

ECE 2 1/1 Lycée François Couperin