Devoir de Physique n°2 PCSI 2020 – 2021

Conseils :

• Ce devoir comporte 3 exercices.

• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la ré- daction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale simplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé,vérifiez l’homogénéité et la cohérence(tout résultat non homogène sera sanctionné).

Les résultats NON ENCADRÉS ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.

• Numérotez les questions et ajoutez le label de la marge Q1, etc.

• L’usage descalculatrices est autorisé.

I. V ALEUR EFFICACE ET SPECTRES

Gaston a décidé de modifier son installation électrique pour ne plus avoir de tension sinu- soïdale chez lui. Il souhaite néanmoins que son ampoule halogène brille avec la même intensité qu’avant et doit donc l’alimenter avec un signal de même valeur efficace.

1. Rappeler la définition de la valeur moyenne d’un signals(t)périodique de périodeT, ainsi Q1

que celle de sa valeur efficace.

2. Dans la ville de Gaston, la valeur maximale de l’amplitude de la tension sinusoïdale du secteur est de 325 V (la valeur moyenne est nulle).

(a) En déduire la valeur efficace de la tension du secteur.

Q2

(b) Gaston souhaite vérifier son calcul avec son multimètre. Quels réglages doit-il choisir ? Q3

3. Le signal que Gaston se propose d’installer chez lui possède les propriétés suivantes :

➢ il est périodique de fréquence50Hz et de périodeT;

➢ pendant les 3/4 d’une période, le signal est constant et vautU0

➢ pendant le quart suivant, le signal est constant et vaut 0 V.

(a) Représenter le signal sur 3 périodes.

Q4

(b) Calculer la valeur moyenne du signal en fonction deU0. Q5

(c) Calculer la valeur efficace du signal en fonction deU0. Q6

(d) Quelle valeur Gaston doit-il donner à U0 pour que son ampoule brille avec la même Q7

intensité que lorsqu’il la branche sur le secteur.

Encouragé par ses succès, Gaston poursuit ses études de signaux dans le domaine fréquen- tiel.

4. On considère un signals(t)dont le spectre est ci-dessous. Proposer une expression mathé- matique, avec des valeurs numériques, pours(t).

Q8

f (Hz) an(V)

0 5 10 15 20

2 4 6

5. On considère un signal triangulaires(t)de fréquencef, d’amplitudeEet de valeur moyenne nulle.

(a) Tracer le graphe temporel des(t).

Q9

(b) Le calcul mathématique des coefficients de Fourier donne le résultat suivant :

a_k = _π^8E2k² si k est impair et a_k = 0 si k est pair. Écrire les trois premiers termes de l’expression des(t).

Q10

(c) Tracer l’allure du spectre de ce signal pourE = 1V etf = 1Hz.

Q11

(d) Comparer cette allure à celle du spectre d’un signal créneau pour lequelak= ^4E_πk sikest impair etak = 0sikest pair.

Q12

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II. F RÉQUENCES PROPRES D ’ UN TUYAU SONORE

La colonne d’air contenue dans un instrument à vent (flûte, clarinette. . .) ou dans un tuyau d’orgue vibre selon des modes propres correspondant à des conditions aux limites données. La grandeur vibratoire considérée est la surpression acoustique, notéeP(x,t).

Dans une modélisation très simple, on envisage deux types de conditions aux limites :

➢ si l’extrémité du tuyau est ouverte (c’est-à-dire en contact avec l’atmosphère), la surpression acoustique,P(x,t), est nulle à cette extrémité ;

➢ si l’extrémité du tuyau est fermée, l’amplitude de la surpression acoustiqueP(x,t)est maxi- male à cette extrémité.

A. Par le calcul

On considère un tuyau de longueurLdans lequel la célérité des ondes sonores estv. Le tuyau est ouvert à ses deux extrémités (x= 0etx=L).

Il existe dans ce tuyau des ondes progressives selon lesxcroissants et décroissants.

1. Écrire la forme générale d’une onde progressive selon lesx croissants. Comment cette ex- Q13

pression se modifie-t-elle dans le cas d’une onde monochromatique (aussi appelée sinusoï- dale) ?

2. On considère une onde monochromatique P+(x,t)selon les xcroissants de phase nulle en (x,t) = (0,0) et une onde monochromatique P₋(x,t) selon les x décroissants de phase à l’origine a priori quelconque. En utilisant la condition enx= 0, montrer que les deux ondes Q14

sont de même amplitude et déterminez la phase à l’origine de la deuxième onde.

3. Exprimer l’onde totale, résultant de la superposition des deux ondes. Montrer qu’il s’agit Q15

d’une onde stationnaire.

4. En utilisant la condition aux limites enx=L, montrer que les longueurs d’ondes possibles Q16

dans cette cavité sont quantifiées.

B. Avec des schémas

On considère toujours un tuyau ouvert à ses deux extrémités.

1. On considère une onde sinusoïdale vérifiant les conditions aux limites et de longueur d’onde

« la plus grande possible ». Représenterqualitativementle profil de la surpressionP(x,t)en Q17

fonction dexà différents instants.

2. Représenter de même les 3 modes propres suivants (un seul instant suffit).

Q18

3. Déduire des schémas, en expliquant votre raisonnement, la condition de quantification Q19

pour la longueur d’onde.

Comparer avec le résultat obtenu dans la partie précédente.

4. Reprendre les trois questions précédentes dans le cas où le tuyau est ouvert à une extrémité et fermé à l’autre. L’affirmation suivante est-elle vraie « un tuyau ouvert aux deux extrémi- Q20

tés sonne avec une fréquence double de celle d’un tuyau de même longueur fermé à une extrémité » ?

C. Applications

1. Première application : les grandes orgues peuvent produire des notes très graves.

(a) Calculer la longueur d’onde d’un son de fréquence 34Hz, correspondant au Do0 , en prenant la valeur de la célérité du son à 0°C dans l’air, soitv = 331m/s.

Q21

(b) Calculer la longueurminimaled’un tuyau produisant cette note (et donner les conditions aux limites que vous avez considérées).

Q22

2. Deuxième application : on peut modéliser très grossièrement une clarinette par un tube fermé au niveau de l’embouchure et ouvert à l’extrémité de l’instrument.

(a) Expliquer pourquoi le son produit par une clarinette ne comporte que des harmoniques Q23

impairs.

(b) L’instrument est muni d’une « clé de douzième » qui ouvre un trou situé à une dis- tanceL/3de l’embouchure (c’est-à-dire le côté qui correspond à un ventre de pression).

Lorsque ce trou est ouvert, la surpression est nulle en ce point. Quelles sont dans ce cas Q24

les longueurs d’ondes des modes propres du tuyau ? Quel est l’effet de l’ouverture du trou sur la fréquence du son émis par l’instrument ?

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III. O ISEAU CARILLONNEUR

On étudie le mouvement d’un jouet appelé oiseau carillonneur. Le jouet est représenté ci- dessous à gauche et est constitué d’un oiseau qui peut se déplacer horizontalement et venir frap- per une sonnette.

Afin de simplifier le problème, on se propose d’adopter la modélisation représentée ci-dessous à droite : l’oiseau sera remplacé par un point matériel M de massem, repéré par son abscissex.

Ce point est attaché à un ressort de raideur k et de longueur à vide l0. Le point d’attache de ce ressort est le pointHd’abscissel0 pour simplifier les calculs.

Pour modéliser le choc du nez de l’oiseau contre la sonnette, on introduit un deuxième ressort (beaucoup plus raide que le premier) de raideurk^′et de longueur à videl^′₀. Ce deuxième ressort se termine par une plaque verticale contre laquelle viendra taper la masse. Cette plaque est bloquée enx= 0par deux murs et l’abscisse de la plaque est donc nécessairement négative. Le deuxième ressort est fixé enH^′ d’abscisse−l₀^′.

On suppose que le support horizontal sur lequel l’oiseau glisse selonOx est bien lubrifié de façon à pouvoir négliger les frottements.

x z

O

k^′, l₀^′ k, l0

H

H^′ M

l0

l^′₀

casx >0

1 Étude de la première partie du mouvement, lâché de l’oiseau

Dans un premier temps, on enlève la partie sonnette et le problème peut se schématiser plus simplement (voir ci-dessous à gauche). La mesure dex(t)donne la courbe représentée ci-dessous à droite.

x z

O

k, l₀ M H

l0

casx >0simplifié

0 1 2 3 4 5

-1 0 1

t(s) x(t)(dm)

1. (a) Exprimer la force de rappel du ressort s’exerçant sur l’oiseau, en fonction des données du problème. Vérifier le signe.

Q25

(b) Faire un bilan des forces s’exerçant sur l’oiseau. Faire un schéma.

Q26

(c) Établir l’équation différentielle du mouvement de l’oiseau et préciser la pulsation propre ω0.

Q27

(d) Donner une forme générale des solutions.

Q28

2. Utilisation du graphique :

(a) En justifiant votre réponse, donner l’amplitude x_m des oscillations et la période propre T0. Calculer la pulsation propreω0.

Q29

(b) Déterminer graphiquement les conditions initiales du mouvementx₀etv₀. Q30

(c) En déduire l’équation horairex(t)sous forme littérale.

Q31

3. À quel instantt1 l’oiseau passe-t-il pour la première fois enO? Exprimert1 en fonction de T0. Quelle est sa vitessev1 àt1? Faire l’application numérique et vérifier la cohérence avec le graphique.

Q32

Pour la suite, on prendra comme première partie du mouvement, l’équationx(t) trouvée va- lable entre l’instant initial ett1.

2 Choc avec la sonnette

x

z casx <0

On ajoute maintenant la sonnette en x = 0. Lorsquex < 0, le point M est donc soumis à l’action des deux ressorts. La masse de la plaque fixée au deuxième ressort sera supposée né- gligeable par rapport à la masse de l’oiseau.

Le système est donc équivalent à un pointM relié à deux ressorts, avec la contraintex <0.

4. Exprimer les forces de rappel exercées par le ressort de droiteF~det le ressort de gaucheF~g. Q33

5. Quelle est la nouvelle équation différentielle régissant le mouvement du pointM lorsque x <0?

Q34

6. En déduire la nouvelle pulsation propre ω₀^′ et la nouvelle période T₀^′. A-t-on T₀^′ < T₀ ou T₀^′ > T0?

Q35

7. Les conditions initiales pour cette partie du mouvement sont : x(t₁) = 0 et x(t˙ ₁) = v₁. Résoudre l’équation différentielle compte tenu de ces conditions initiales. Attention, les conditions initiales sont ici en t = t1 et non pas ent = 0comme d’habitude. On cherchera par exemple une solution sous la forme :

x(t) =Asin(ω₀^′t+ϕ) avecAetϕdeux constantes à déterminer.

Q36

8. À partir de quel instantt2cette solution n’est-elle plus valide ? Q37

9. À l’aide de la conservation de l’énergie mécanique, expriméx(t˙ ₂)en fonction dev₁. Q38

10. Tracer sur un graphique la courbex(t)entret= 0ett=t2. Laissez de la place sur la droite pour pouvoir compléter ce graphique (laissez les deux tiers de la page libre).

Q39

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3 Mouvement complet

1. Une fois quexredevient positif, quelle est l’équation du mouvement ? Q40

2. Compte tenu de la conservation de l’énergie mécanique, quelle sera la plus grande valeur dexatteinte ? On pourra exprimer l’énergie mécanique au moment où l’oiseau passe par0 puis au moment où le ressort est le plus comprimé.

Q41

3. En déduire sans calcul la forme du mouvement ultérieur et compléter le graphique précé- dent sur deux périodes complètes du mouvement.

Q42

4. Quelle est la période du mouvement en fonction deT₀etT₀^′? Q43

5. Ce système est-il un oscillateur harmonique ? Pourquoi ? Q44

I. V ALEUR EFFICACE

1. Par définition hs(t)i= 1 T

Z _τ+T

τ s(t) dt et S_{ef f} =^qhs²(t)i Q1

2. (a) Pour un signal sinusoïdal, on a la relation : Sef f = ^S√m₂. D’où Sef f = 230V . Pour la Q2

démonstration (nécessaire ici), voir le cours (linéarisation du cosinus carré).

(b) Pour mesurer la valeur efficace d’une tension sinusoïdale de valeur moyenne nulle, le Q3

multimètre doit être réglé sur la position Volts, en AC (signal alternatif) ou AC+DC. Le réglage du calibre est souvent automatique pour les tensions.

3.

t s(t)

T 2T 3T

Pour une représentation graphique, il ne faut pas oublier d’indiquer les grandeurs en abs- Q4

cisse et en ordonnée.

4. La valeur moyenne du signal est :hs(t)i= 1 T

Z τ+T

τ s(t) dt.

Q5

Pour calculer l’intégrale, on peut utiliser deux méthodes :

➢ Calcul direct en décomposant à l’aide de la relation de Chasles :hs(t)i= 1 T

Z T

0 s(t) dt= 1

T

Z ³₄T

0 s(t) dt+ 1 T

Z

3 4

T^Ts(t) dt = 1 T

Z ³₄T

0 U0dt+ 1 T

Z

3 4

T^T0 dt= 3 4U0+ 0

➢ Calcul à l’aide de l’interprétation en terme d’aire sous la courbe : c’est l’aire d’un rec- tangle de largeur ³₄T et de hauteurU0 d’où^R_τ^τ+T s(t) dt= ³₄U0T et en divisant parT on a le calcul de la valeur moyenne.

hs(t)i= 3 4U0

5. Pour la valeur efficace du signal on cherche^qhs²(t)i. Or s²(t)est un signal valant U₀² de0 Q6

à ³₄T et0de ³₄T àT. Soit exactement le même calcul que ci-dessus en remplaçantU0parU₀² d’où le résultaths²(t)i= ³₄U₀²et en prenant la racine : seff = ^√₂³U0

6. Pour briller avec la même intensité, l’énoncé indique que la valeur efficace doit être la même Q7

ici (il y a en fait des subtilités lorsque ietusont déphasés). d’où ^√₂³U0 = Ueff,secteur = ^S√m₂ ⇒ U₀ = 2

√3Ueff,secteur=

√2

√3S_m = 265 V .

7. À chaque pic correspond un cosinus dont la fréquence est l’abscisse et l’amplitude est l’or- donnée. Le premier pic àf = 0correspond à la valeur moyenne

s(t) = 5 + 3 cos(2π×10×t) + 7 cos(2π×12×t)avecsexprimé en V etten s . Q8

Remarque : on peut ajouter une phase dans chacun des deux cosinus si l’on souhaite car cette information n’apparait pas sur le spectre, mais pas pour la constante (sinon on change la valeur de la constante).

Lycée Poincaré – Nancy Page 1/8 Correction

8. (a) Graphe temporel des(t):mettezT en abscisse.

Q9

t s(t)

T = 1/f 2T

0 E

−E

(b) s(t) = ^8E_π² cos(2π×f ×t) + _9π^8E2 cos(2π×3f×t) + _25π^8E2 cos(2π×5f×t) +. . . Les termes Q10

égaux à0ne sont pas très intéressant. Il ne suffit pas de donner lesakmais il faut montrer que vous savez que ce sont des coefficients devant des cosinus à la "bonne" fréquence.

Dans les faits, il y a potentiellement une phase, mais cela ne vous est pas donné.

(c) Ci-dessous légèrement décalé à gauche en pointillé le spectre du signal triangulaire : Q11

Il ne faut pas se limiter à un seul pic, ni même à 2, ce serait trop proche d’un signal sinusoïdal.

y=cte/x

y=cte^′/x²

f (Hz) a_n(V)

0 5

0.25 0.50 0.75 1.00

(d) Ci-dessus légèrement décalé à droite en pointillé le spectre du signal créneau de même amplitude et même fréquence :

Q12

Le spectre du signal triangle en1/k² décroit plus vite que celui du créneau en1/k(il ne faut pas comparer les amplitudes absolues car le coefficient n’est pas le même).

II. F RÉQUENCES PROPRES D ’ UN TUYAU SONORE

1. De façon générale, une onde progressive selon lesxcroissants (dans un milieu non dispersif et non absorbant) peut s’écrire s(x,t) =f(x−vt) =g(t−x/v).

Attention, l’énoncé définissait la vitesse comme étantv et nonc: respectez les notations de l’énoncé.

Dans le cas d’une onde monochromatique, l’onde peut s’écrire sous la forme Q13

s(x,t) =s0cos(ωt−kx) =s0cos(kx−ωt), éventuellement avec une phase.

2. s(x,t) = P+(x,t) +P+(x,t) = s0cos(ωt−kx) +s^′₀cos(ωt+kx+ϕ)(pas de phase pour lesx croissants à cause de l’information sur la phase en(x,t) = (0,0)).

Enx= 0, la condition au limite impose∀ts(x,t) = 0 ⇔s0cos(ωt) = −s^′₀cos(ωt+ϕ). Puisque les deux expressions sont égales pour toutt, c’est que les deux fonctions sont égales (et pour cela le∀test important !).

Si vous ne mettez pas le∀t, cela donne l’impression que vous pensez que 2 cos^π₃= 1 cos(0) ⇒2 = 1et ^π₃ = 0!

Q14 Les deux fonctions étant égales, les deux cosinus ont donc même amplitude, même phase à l’origine, même pulsation. Ce qui implique s0 =−s^′₀etϕ = 0

Attention, certains d’entre vous on dit que la condition aux limites en 0 impliquait P+(x= 0,t) = 0etP₋(x= 0,t) = 0. C’est faux : c’est l’onde "totale" (somme des deux)

qui doit s’annuler. C’est d’ailleurs ce point qui impose une réflexion lorsque l’onde incidente arrive sur un endroit où la corde est fixée.

3. L’onde totale est la somme des deux ondes¹

s(x,t) = s0cos(ωt−kx)−s0cos(ωt+kx) =−2s0sin(ωt) sin(−kx)

Q15 L’onde totale se met sous la forme f(t)×g(x) avecf une fonction qui ne dépend que du temps et g une fonction qui ne dépend que de l’espace. On a donc une onde stationnaire avec des nœuds (les points d’annulation deg(x)) et des ventres (les maxima de|g(x)|).

4. Il reste à prendre en compte la deuxième condition aux limites : ∀t s(L,t) = 0ce qui im- plique : ∀t 2s₀sin(kL) sin(ωt) = 0. Le termesin(ωt)n’est pas nul pour toutt, c’est-à-dire il existe t tel que ce terme est non nul. Toutefois, le produit est nul quelque soitt (donc en particulier aussi pour lesttels quesin(ωt)6= 0). On a donc soit :

(a) s0 = 0, mais dans ce cas il n’y a ni signal ni onde,

(b) soitsin(kL) = 0⇒kL=nπ ; n∈N^∗ (cark 6= 0)⇔ L=nλ

2 n∈N^∗

Ces conditions impliquent donc que seules certaines ondes peuvent se propager (soit pas Q16

d’onde, soitL=n^λ₂ , et leur longueur d’onde dépend d’un entier. On parle donc de quanti- fication.

1. à condition que les équations d’onde soient linéaires, ce qui est le cas de beaucoup d’onde dans des milieux simples. Toutefois, ce n’est pas toujours vrai : ce n’est par exemple a priori pas le cas pour des vagues dans la mer (équation non linéaire).

Lycée Poincaré – Nancy Page 3/8 Correction

A. Par les schémas

1. Dans le cas de la plus grande longueur d’onde possible, la longueur d’onde est plus grande que la longueur de la corde et on ne voit qu’un ventre. N’oubliez pas qu’il était demandé Q17

différents instants.

x L

0

2. De même les 3 modes propres suivants : Q18

x L

0

3. Puisqu’il faut 2 nœuds aux extrémités, on remarque qu’il faut mettre un nombre entier de demi-longueur d’onde (chaque nœud étant éloigné de λ/2 du précédent). On en déduit

L=n^λ₂ , ce qui est bien le résultat de la partie précédente.

Q19

4. Puisque le tuyau est ouvert à une extrémité, alors il faut un ventre d’un côté et un nœud de l’autre.

(a) Dans le cas de la plus grande longueur d’onde possible, la longueur d’onde est plus grande que la longueur de la corde et on ne voit qu’un ventre d’un coté et un nœud de l’autre, soit :

Q20

x L

0

(b) De même, les 3 modes propres suivants :

x L

0

(c) Ici, c’est un peu plus délicat, mais le raisonnement peut être le suivant : il faut un ventre puis un nœud pour le premier mode, soit ^λ. Ensuite, pour chaque mode suivant, il

faut que l’on ajoute λ/2afin de "rajouter des nœuds" (ou des ventres) sans changer les conditions aux limites.

On peut le voir plus facilement en prenant un cosinus et en représentant les différents endroits pouvant convenir (en ne faisant varier qu’un bord, celui de "droite" ci-dessous).

0 x

λ 4

λ 2

λ 2

λ 2

λ 2

On en déduit L= ^λ₄ +n^λ₂ . On ne peut ici pas comparer au calcul qui n’a pas été fait, mais on pourrait faire les calculs et on trouverait le même résultat (sinus maximum en valeur absolue au lieu de nul).

Attention, une erreur classique est d’écriren^λ₄, toutefois cela ne fonctionne pas pour lesnpairs : par exemple enn = 2, on aurait un ventre aux deux bouts (ou un

nœud au deux bouts).

Pour répondre à l’affirmation, il faut exprimer les fréquences fondamentales dans les deux cas.

Le son émis par l’instrument contient a priori tout les sinus à toutes les fréquences possibles. Toutefois le son résultant est un signal non sinusoïdal dont la fréquence

est celle du fondamental.

Cas ouvert/ouvert (fondamentaln = 1) :L= ^λ₂ = _2f^c

o/o ⇒fo/o= _2L^v Cas fermé/ouvert (fondamentaln = 0) :L= ^λ₄ = _4f^c

f /o ⇒ff /o= _4L^v = ^fo/o₂

L’affirmation « un tuyau ouvert aux deux extrémités sonne avec une fréquence double de celle d’un tuyau de même longueur fermé à une extrémité » est donc vraie .

Il y a eu beaucoup d’erreur à cette question parce que vous avez voulu vérifier si on avait toutes les fréquences du 1er cas qui étaient deux fois plus grandes que les

fréquences du 2e cas alors qu’il ne fallait regarder que le fondamental.

B. Applications

1. (a) λ=v/f A.N.λ = ³³¹₃₄ λ = 9,7m Q21

(b) Pour le fondamental, on a soitL = λ/4soit L = λ/2en fonction des conditions aux li- mites. Puisque l’on souhaite la longueur « minimale », il faut prendreL=λ/4 L= 2,4m (attention aux arrondis).

Les conditions aux limites sont donc ouvertes d’un coté et fermé de l’autre.

Q22

Justifiez votre choix de conditions aux limites en fonction de la contrainte imposée par l’énoncé.

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2. (a) Puisque l’onde se propage dans un milieu non dispersif et non absorbant : fn = _λ^v_n. Il reste à exprimer les différentes fréquences sachant que l’on connait la quantification sur les longueurs d’ondes :

L= ^λ₄ⁿ +n^λ₂ⁿ = ^λ₄ⁿ ×(1 + 2n)⇒λn= _1+2n^4L On en déduitfn = _λ^v_n = _4L^c (1 + 2n).

Q23

On peut simplifier en exprimant les différentes fréquence en fonction de f0 = _4L^c : fn=f0×(2n+ 1) On voit donc qu’il n’y a que des multiples impairs du fondamen- tal.

Vous avez été nombreux à vous arrêter àL= ^λ₄ⁿ ×(1 + 2n)puis2n+ 1est impair donc on a les harmoniques impairs. Le raisonnement est faux : il faut regarder les

fréquences et non les longueurs pour pouvoir conclure.

(b) Le schéma ci-dessous correspond à la situation décrite : ouvert d’un coté, fermé de l’autre et un petit trou ouvert àL/3de l’extrémité fermée.

2L/3 L/3

nœud nœud ventre

On doit toujours vérifier la condition L = ^λ₄ⁿ +n^λ₂ⁿ, mais en plus, il faut vérifier les conditions ^L₃ = ^λ₄ⁿ +m^λ₂ⁿ et ^2L₃ = ^λ₂ⁿ +p^λ₂ⁿ avecm,pdes entiers.

En effet, on se retrouve avec un tuyaux de longueurL/3vérifiant des conditions asymé- triques (fermé/ouvert) et un tuyau de longueur2Lvérifiant des conditions symétriques (ouvert/ouvert).

(Remarque : si l’on vérifie la deuxième condition, alors on vérifie nécessairement la pre- mière et la troisième : il suffit de multiplier l’équation 2 par 3 ou par 2 et on se rend compte quen = 3m+ 1etp= 2m).

Q24

On en déduit λn = _f^v_n = _3(2n+1)^4L ce qui impliquefn = _λ^c_n = _4L^3v(1 + 2n) = f₀^′ ×(2n+ 1).

La fréquence fondamentale est désormaisf₀^′ = _4L^3v.

Ainsi, avec la clé de douzième, la fréquence de chaque harmonique et en particulier du fondamental est multipliée par 3, le son est plus aigu .

III. O ISEAU CARILLONNEUR

1 Étude de la première partie du mouvement, lâché de l’oiseau

1. (a) F~ =−k(l−l0)(−~ex)avecl =l0−xd’où F~ =−kx~ex . Q25

(b) Bilan des forces : Q26

➢ le poids de l’oiseau :P~ =−mg~e_z

➢ la réaction normale du support :R~N =RN~ez

➢ la force de rappel du ressort :F~ =−kx~ex.

Ne dites pas juste "P , ~~ F etR" : il faut expliquer avec des mots quel symbole~ correspond à quelle force. Ici on devine facilement, mais ce n’est pas toujours le

cas et il faut prendre de bonnes habitudes.

(c) On applique le principe fondamental de la dynamique, au systèmeM, dans le référentiel terrestre galiléen :m~a=P~+R~+F~. Soit en projection surOx:m¨x=−kx. On en déduit : Q27

¨

x+ω₀²x= 0 avec ω₀² = k m

(d) Une forme générale des solutions est : x(t) =Acos(ω0t) +Bsin(ω0t) avecAetBconstantes.

(inutile de chercher une solution particulière puisque l’on a déjà une équation homo- Q28

gène).

Il n’était pas demandé de trouver les constantes d’intégration.

2. Utilisation du graphique :

(a) On lit sur le graphique xm = 10cm et10T0 = 3,0s. D’où T0 = 0,30s . Enfin ω0 = ^2π_T0 = 21rad/s Attention aux unités !

Q29

(b) On lit sur le graphique x₀ = 1dm et on est au niveau d’un maximum donc v₀ = 0 (en tant que dérivée dex(t)au niveau d’un maximum).

Q30

Pensez à justifier pourv0 car ce n’est pas simplement une valeur à lire sur le graphique.

(c) La deuxième condition donneB = 0, la première donneA=x0d’où x(t) =x0cos(ω0t) Q31

Ne remplacez pasx0par1, ce ne serait pas homogène (à moins de préciser que la formule donnex(t)en dm).

3. Il faut résoudre l’équation x(t1) = 0en cherchant le plus petit t1 > 0parmi les différentes solutions.x(t₁) = 0⇒cos(ω₀t₁) = 0d’oùω₀t₁ = ^π₂+nπ;n∈Z. Toutefois on a dit qu’il fallait

"le plus petit t1 >0" : on prend doncn= 0. On en déduit :2π_T^t1₀ = ^π₂ d’oùt1 = ^T₄⁰ = 0,075s.

Sur le graphique, on voit à peu près1/4d’une graduation faisant0,2s, c’est-à-dire0,05s Sa vitesse est alors x(t˙ = t1) = −ω0x0sin^2π_T

0 ×^T₄⁰ = −ω0x0 ×1 = −2,1m/s. Difficile à vérifier sur le graphique pour la vitesse, il faut regarder la pente de la tangente lorsque la courbe croise l’axe des abscisses, mais on est plus raide que−2dm en0,15s, ce qui fait à peu près−1,2m/s : c’est donc crédible. De plus on a bienx˙ négatif puisque la courbe descend.

Q32

N’utilisez pas une formule du stylev =d/t1, c’est faux ! La vitesse n’est pas constante.

Lycée Poincaré – Nancy Page 7/8 Correction

2 Choc avec la sonnette

x

z casx <0

F~d F~g

4. F~d=−kx~ux;F~g =−k^′x~ux . Q33

5. En appliquant la même méthode que précédemment : mx¨+ (k+k^′)x= 0 Q34

6. ω₀^′ =^qk+k_m^′ est la nouvelle période T₀^′ = 2π^q_k+k^m_′ .

On a T₀^′ < T0 car on divise par un terme plus grand que précédemment (k^′ >0) Q35

7. x(t1) = 0etx(t˙ 1) =v1d’oùAsin(ω₀^′t1+ϕ) = 0doncϕ=−ω^′₀t1convient. PuisAω^′₀cos(0) =v1

d’oùA = _ω^v0′

0 et la nouvelle solution est : Q36

x(t) = v1

ω₀^′ sin(ω₀^′(t−t1))

8. Ce n’est plus valide lorsquexredevient positif. Il faut donc trouver le plus petitt2 > t1 tel que x(t2) = 0d’oùsin(ω^′₀(t2−t1)) = 0. La solution est telle queω₀^′(t2 −t1) = π ⇒t2−t1 =

T0^′

2 ⇒ t2 = T0

4 +T₀^′ Q37 2

9.

t(s) x(t)(dm)

En t2 et en t1 l’élongation des ressorts est nulle, on a donc Em(t2) = Ec(t2) et de même ent₁. Par conservation de l’énergie mécanique au cours du temps Em(t2) = Em(t1)d’où v₁² = ˙x²(t2). Or la masse se déplace dans l’autre sens donc x(t˙ 2) = −v1 .

Q38

10. Graphique ci-contre.

Q39

3 Mouvement complet

1. C’est celle vue au début puisqu’on retombe sur le système du début avec un ressort : x¨+ ω0x= 0

Q40

2. Lorsque l’on atteint la plus grande valeur, la masse change de sens de déplacement et donc la vitesse s’annule. On a donc l’énergie cinétique qui est s’annule et toute l’énergie méca- nique est sous forme potentielle. On revient donc àx= 0,1m

Q41

3. cf plus haut, on recommence le même mouvement Q42

4. On fait une demi période avec le sinus de périodeT0puis une demi avecT₀^′d’oùT = ^T₂⁰+^T₂^0′ Q43

5. Non car son mouvement n’est pas purement sinusoïdal.

Q44