PT 2020-2021 Pour le jeudi 01-10-2020 DEVOIR LIBRE n° 1
L’usage de calculatrices est interdit pour l’ensemble des problèmes constituant ce devoir.
PREMIER PROBLEME : Capteur de position par triangulation (d’après banque PT 2009) L’usage de calculatrices est interdit pour ce problème.
L’élément de base du capteur est un photo-détecteur, issu de la technologie des diodes PIN, appelé PSD (Position Sensitive Detector).
Principe de mesure par triangulation LASER :
Un pinceau de lumière LASER est projeté sur l’objet cible à mesurer et renvoyé de manière diffuse par celui-ci.
A travers un objectif, un spot est reproduit sur un détecteur de position (PSD).
L’élément PSD fournit une tension de sortie analogique, asservie à la position, fonction de la distance mesurée.
L’objet cible doit présenter une surface diffusant la lumière : une cible à surface réfléchissante ne permettrait pas au capteur de fonctionner correctement.
On admettra qu’une surface diffusive renvoie la lumière dans toutes les directions.
Aucune connaissance sur les diodes n’est requise pour toute la suite : on raisonnera sur le schéma équivalent de la figure 2.
I) Détecteur PSD.
Il est formé de la superposition de 3 couches de silicium traité spécifiquement (couches P, I, N). La base de la couche N, métallisée, est reliée au point C ; deux électrodes A1 et A2 sont déposées sur la couche P.
Ces électrodes sont distantes de L.
Fonctionnement et schéma équivalent (voir Figure 2) :
Les électrodes A1 et A2 sont mises à la masse, le point C étant porté au potentiel VO positif.
Dans l’obscurité, il n’y a aucun courant électrique.
Un pinceau lumineux fin, de puissance PO, frappant la diode en M, à l’abscisse x (l’origine est au milieu de A1A2), traverse la mince couche P et, par ionisation dans la couche I, libère des charges mobiles. Il en résulte un courant électrique d’intensité IO proportionnelle à PO circulant de C vers l’ensemble A1-A2.
Ce courant se divise pour sortir par les 2 électrodes A1 et A2 selon le schéma équivalent de la figure 2. Les résistances R1 et R2 sont proportionnelles respectivement aux longueurs MA1 et MA2 avec une même constante de proportionnalité notée K’.
1) Ecrire les expressions liant R1 et R2 à K’, L et x.
2) Déterminer I1 et I2 en fonction de IO, R1 et R2, puis de x, L et IO. 3) En déduire la relation donnant x en fonction de L, I1 et I2. II) Montages de base du conditionneur.
Tous les amplificateurs linéaires intégrés sont idéaux et fonctionnent dans le domaine linéaire.
Pour les 3 montages (a, b, c), déterminer les tensions de sortie US, en fonction des grandeurs d’entrée (Ie
puis Ue1, Ue2 puis Ue3, Ue4) et des résistances électriques indiquées sur les schémas. On reportera les réponses dans un tableau identique à celui-ci-dessous (à reproduire) :
Montage a Montage b Montage c
US1 = US2 = US3 =
III) Le conditionneur.
Les électrodes A1 et A2 du PSD sont connectées au conditionneur suivant :
1) Donner, en fonction de I1, I2 et Rf, les potentiels VS1 du point S1 et VS2 du point S2. 2) Le composant noté Mu est connecté de telle sorte que :
S1 S2
S V
10 V -
U .
Déterminer U en fonction des intensités IS 1 et I2.
3) En déduire la relation donnant l’abscisse x du pinceau lumineux en fonction de U et L. S
DEUXIEME PROBLEME : Montage intégrateur (d’après banque PT 2014)
L’usage de calculatrices est interdit pour ce problème.
On considère le montage suivant sur lequel est appliquée la tension ue Um cos
t , la pulsation étant réglable.On observe alors une tension de sortie us Usm cos
t s
. Les données sont : r, R et C.1) Analyse.
a) Trouver la fonction de transfert complexe
e s
u
Hu en fonction de et des données.
b) Avec R = 10 k, C = 100 nF et r = 100 k, donner les équations des asymptotes du gain en décibel en haute et basse fréquence et tracer l’allure du diagramme donnant le gain en décibel en fonction de log().
2) Domaine intégrateur.
a) Déduire de l’étude précédente la relation temporelle liant u et e u à basse fréquence. s b) Déduire de même la relation temporelle liant u et e u à haute fréquence. s
c) Préciser le domaine de pulsation pour lequel ce montage est intégrateur tel que us Ki
ue dt.Donner l’expression littérale de Ki.
3) Intégrateur idéal.
a) Calculer l’impédance d’entrée du montage.
b) L’impédance d’entrée n’étant pas infinie, ce montage ne forme pas un intégrateur idéal ; comment compléter ce montage pour s’approcher d’un intégrateur idéal ?
TROISIEME PROBLEME : Traitement du signal électrique : filtrage (d’après banque PT 1999) L’usage de calculatrices est interdit pour ce problème.
Figure 1
Les composants notés Y avec i = 1, 2, 3, 4, 5 sont des admittances réalisées par des résistances ou des i condensateurs. On rappelle que l’admittance d’un dipôle est l’inverse de son impédance.
1) Fonction de transfert générale.
Démontrer que la fonction de transfert peut être mise sous la forme :
S . Y Y . Y
Y . Y V
jω V T
5 4 3
3 1 1
2
.
Déterminer S en fonction des admittances Y . i 2) Etude du filtre passe-bas.
Les admittances Y , 1 Y et 3 Y sont réalisées par des résistances toutes égales à R tandis que les 4 admittances Y et 2 Y sont réalisées par des condensateurs de capacités respectivement égales à C5 2 et C1.
a) Déterminer l’expression de la fonction de transfert
1 2
V V jω
T en fonction de R, C1 et C2.
b) Mettre cette fonction de transfert sous la forme :
20 0
1 2
ω j ω ω 2jm ω 1
A V
jω V T
en déterminant les expressions de A, 0 et m en fonction de R, C1 et C2.
c) Déterminer, à partir des équations précédentes, les expressions de C1 et C2 en fonction de R, m et
0.
d) Pour réaliser le filtre, on utilise des capacités de précision 5%. Quelle est l’incertitude sur 0, à supposer des valeurs exactes pour les résistances ?
Donnée : si
i a i
y i
x , alors
i
2
i 2 i
i y
a Δy x
Δx .
e) Application numérique : Calculer les valeurs numériques de C1 et C2 avec :
R = 1 k 0,707
2
m 1 et 20kHz
2π
f0 ω0 .
3) Expérimentation.
On dispose d’un générateur basses fréquences (GBF) de fréquence maximale 2 MHz, d’un oscilloscope 2 voies et de tous les accessoires de mesure (sondes, ...).
a) Etablir le câblage du filtre et des éléments précédents qui permet de tracer la fonction de transfert en amplitude et en phase du filtre passe-bas.
b) On souhaite relever le tracé de la fonction de transfert en amplitude et en phase du filtre passe-bas et, pour ce faire, on applique en entrée du filtre la tension sinusoïdale conformément à la figure 2.
Déterminer numériquement, à partir de ce chronogramme, la fréquence commune du signal d’entrée et de sortie. Calculer le module de la fonction de transfert et le déphasage entre les deux signaux V 1 et V et représenter à l’échelle sur le chronogramme de la figure 2 à reproduire sur la copie, la 2 tension de sortie du filtre.
c) Le laboratoire dans lequel nous travaillons dispose, en plus du GBF, d’un oscilloscope numérique pourvu d’un module FFT qui permet de visualiser à l’écran la décomposition spectrale d’un signal.
Comment peut-on visualiser directement sur l’écran de l’oscilloscope la fonction de transfert en amplitude (en échelle linéaire de fréquence) du filtre précédent avec un signal alternatif carré de basse fréquence ? On se souviendra que l’analyse harmonique d’un tel signal carré donne une décroissance des harmoniques en
n
1 si bien que les harmoniques de rangs élevés peuvent être considérées d’amplitudes approximativement constantes.
Figure 2
QUATRIEME PROBLEME : Etude d’un détecteur de métal (d’après banque PT 2009)
L’usage de calculatrices est interdit pour ce problème.
A) ETUDE D’UN OSCILLATEUR
Un circuit oscillant R, L, C0 est utilisé dans le montage électronique de la figure 1, où figure un amplificateur linéaire intégré idéal, fonctionnant en régime linéaire, et trois résistances, dont une réglable (R3).
Figure 1
1) Etablir la relation entre i(t), v(t), R1, R2 et R3. 2) En déduire l’équation différentielle vérifiée par i(t).
On posera
0
0 LC
1
,
L 0
2 m R
et m’ =
0 2
1 3
L R 2
R R
.
3) Etudier qualitativement le fonctionnement du montage lorsque m’ < m et lorsque m’ > m. Que se passe-t-il théoriquement si m’ = m ? Cette condition est-elle réalisable ? Quel est le rôle de la résistance réglable R3 ?
Application numérique : C0 = 22 nF, L = 20 mH. A quelle fréquence peut fonctionner cet oscillateur ? 4) La tolérance sur la valeur de la capacité du condensateur est donnée à 5 %. Quel écart relatif de
fréquence pourra en découler ? Donnée : si
i a i
y i
x , alors
i
2
i i 2
i y
a Δy x
Δx .
B) DETECTEUR DE METAL
On réalise deux oscillateurs sinusoïdaux du type étudié au A) ci-dessus, avec deux bobines b1 et b2 de mêmes dimensions. Les deux bobines sont placées côte à côte dans la tête de détection de l’appareil mais leur couplage magnétique reste négligeable (l’inductance mutuelle entre les deux bobines est négligée).
La tête de détection est sensiblement plane, et parallèle au sol. Les oscillateurs sont appelés Osc1 et Osc2, leurs sorties respectives sont les tensions vc1 et vc2 aux bornes des condensateurs ; on supposera que ces deux tensions sont de même amplitude, notée V0, de l’ordre du volt, et on notera f1 et f2 leurs fréquences respectives.
En l’absence de pièce métallique et loin du sol, les fréquences d’oscillations sont f10 et f20 (f20 est supposée supérieure à f10).
Le montage complet du détecteur est donné à la figure 2. Un multiplieur donne en sortie le signal VA = A.vc1.vc2, il est suivi par un filtre passe-bande de fréquence centrale f0’ = f20 – f10, de gain G et de facteur de qualité Q’, et d’un convertisseur fréquence – tension. L’élément final de la chaîne est un voltmètre numérique qui reçoit du convertisseur fréquence – tension une tension égale à B.(f – f0’), lorsque celui-ci reçoit un signal périodique de fréquence f.
Le montage fonctionne correctement si f0’ est de l’ordre de grandeur de 100 Hz.
Figure 2
1) Quelles sont les unités des coefficients A (pour le multiplieur) et B (pour le convertisseur fréquence – tension) ?
2) Quel est le rôle du multiplieur suivi du filtre passe-bande ? Sachant que Q’ = 20 et que f10 et f20 sont de l’ordre de 8 kHz, montrer, avec précisions quantitatives, que le signal à l’entrée du convertisseur fréquence – tension est assimilable à une tension sinusoïdale, dès lors que l’écart entre f1 et f2 est situé dans la bande passante du filtre.
3) Pourquoi les deux fréquences f10 et f20 ont-elles peu de chance d’être identiques ? Comment peut-on ajuster l’écart entre ces deux fréquences ?
La présence du sol modifie les lignes de champ des bobines b1 et b2. Il s’ensuit une variation de fréquence
f – sensiblement identique sur chaque oscillateur – qui n’a pas d’influence sur la sortie du montage.
4) Expliquer cette absence d’influence ?
On suppose que la présence d’un objet métallique plus proche de la bobine b1 que de la bobine b2
induit une diminution de la fréquence ’f sur f1, alors que f2 reste quasi-constante.
Application numérique : f10 = 7516 Hz ; f20 = 7653 Hz ; ’f = 5 Hz ; A = 0,1 SI ; B = 0,6 SI ; G = 12.
Calculer la tension à l’entrée du voltmètre numérique suite à la détection de l’objet métallique.
5) Expliquer en détails ce qu’observe l’utilisateur de ce détecteur de métaux lorsque la tête de détection se déplace de part et d’autre de l’objet métallique.
