PT 2019-2020 Pour le jeudi 09-04-2020 DEVOIR LIBRE n° 6
L’usage de calculatrices est interdit pour le 1er problème, et autorisé pour le 2ème problème.
PREMIER PROBLEME : Figures de Chladni (d’après banque PT 2019) L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
Ce problème correspond à la partie modélisation de l’épreuve d’Informatique et Modélisation de Systèmes Physiques de la banque PT 2019.
Le barème de cette partie était de 35 % de la totalité de l’épreuve de concours.
Introduction historique
En 1787, le physicien et musicien, Ernst Florence Friedrich Chladni de Wittenberg, alors qu’il procédait à de nombreuses expériences, fit une intéressante découverte. Il constata que lorsqu’il excitait une plaque de métal avec l’archet de son violon, il la faisait vibrer et il pouvait produire des sons de distinctes tonalités selon l’endroit où il touchait la plaque. La plaque métallique était fixée en son centre, il eut l’idée d’y disperser de la poussière. Lors des phases vibratoires, pour chaque tonalité, la poussière s’arrangeait et se distribuait selon les lignes nodales des vibrations, de magnifiques figures géométriques apparaissaient alors. Expérimentateur chevronné, il prit soin de cataloguer et recenser ces différentes figures, après s’être assuré de leur caractère reproductif.
Dispositif et démonstration de Chladni
Ces figures, désormais dénommées figures de Chladni, en hommage à leur découvreur, attirèrent l’attention de nombreuses personnalités de l’époque. Scientifiques et puissants se pressaient aux nombreuses démonstrations du musicien pour admirer le phénomène. Sa compréhension échappait toutefois à l’entendement des contemporains de Chladni.
L’empereur Napoléon Bonaparte fut enthousiasmé par ces démonstrations permettant d’entendre et
« voir » le son. En 1809, il invita l’académie des sciences à proposer un prix pour expliquer le phénomène et il finança la traduction en français du traité majeur d’acoustique de Chladni.
La première à proposer une explication pour ces observations fut la mathématicienne Sophie Germain dans une correspondance privée à partir de 1811. Elle publia quelques années plus tard un résumé de ces études qui constitua le premier modèle mathématique pour la déformation d’une plaque sous une contrainte de force extérieure, son travail « Recherche sur la Théorie des surfaces élastiques » sera couronné par l’Académie des Sciences en 1816. Lagrange et Poisson corrigèrent et améliorèrent ce premier modèle. Il fallut toutefois attendre l’intervention de Kirchhoff pour aboutir à une modélisation permettant d’approcher de façon satisfaisante le comportement d’une plaque. Il en profita pour résoudre le problème des figures de Chladni sur une plaque circulaire où les nombreuses symétries permettent de réduire la complexité des solutions.
Figures de Chladni
A l’aube du vingtième siècle, l’expert sur la théorie des sons, John William Strut, qui passa à la postérité en tant que Lord Rayleigh, résuma la situation dans son traité majeur « La Théorie du Son » : Le problème de la plaque rectangulaire dont les bords sont libres est d’une extrême difficulté et a pour l’essentiel résisté à toutes les tentatives de résolution. Ce fut la spectaculaire invention de Walter Ritz qui permit en 1909 d’effectuer le premier calcul précis des vibrations d’une plaque carrée.
1) Introduction du modèle physique
(10 % du barème)Nous considérons une plaque métallique carrée de côté L, elle est d’épaisseur e, de module de Young E et sa masse volumique vaut .
Pour suivre les éventuelles déformation de la plaque, nous utilisons un repère cartésien R
O,ex,ey,ez
. Au repos, la plaque se situe dans un plan horizontal de cote z = 0 et chaque point de la plaque au repos est repéré par M0 (x, y).
Repérage d’un point sur la plaque
Sous l’action d’une sollicitation extérieure, ou d’une contrainte, la plaque se déforme, chacun des points initialement en M0 (x, y) est alors décrit par le point M (x’, y’, z, t). M est une fonction du champ initial de position M0 et du temps t.
Nous supposons que si les sollicitations sont modérées, nous aurons :
t x’ = x et y’ = y
Dans le cadre de cette approximation, le point M est à tout instant à la verticale de M0 et sa seule variable d’espace indéterminée est son altitude z. Nous pouvons, dans ce cas, considérer que la position de M est décrite par la fonction :
z = f(x, y, t)
z est l’amplitude de vibration et f(x, y, t) est la fonction d’onde de vibration.
Une analyse du problème utilisant une approche de déformation élastique, permet de considérer que la fonction d’onde f vérifie l’équation :
2 2 2 2 2 2 2
t . f c
1 y
f x
Δf f
(1)
où c > 0 est la célérité de l’onde.
1) Quel est le nom de cette équation d’onde ? Quelles sont ces principales propriétés ?
Citez au moins deux situations physiques distinctes pour lesquelles il existe une équation analogue.
2) Pensez-vous que cette équation soit le reflet d’un modèle physique autorisant des pertes d’énergie ? Justifier votre réponse.
3) Par analyse dimensionnelle, proposez une expression de c cohérente vis-à-vis des paramètres physiques de la plaque.
4) Application numérique : masse volumique = 2,70.103 kg.m-3, épaisseur e = 1,00 mm, module de Young E = 69 GPa, et la longueur du côté de la plaque L = 25,0 cm.
Calculer c.
5) Soit fL(x, y, t) une solution de l’équation (1) pour une plaque de côté L, fL(x, y, t) possède une caractéristique temporelle .
Nous considérons, dans cette seule question, une plaque faite du même matériau, possédant la même épaisseur, et soumise aux mêmes types de conditions aux limites, mais de côté L’ = L.
a) Déterminer, parmi (, ), la valeur du coefficient qui permet à la fonction g(x,y,t) = fL(x, y, t) d’être solution de l’équation (1) pour cette nouvelle plaque.
b) En déduire la caractéristique temporelle ’ correspondante en fonction de .
2) Modes de vibration
(5 % du barème)En règle générale, les vibrations d’une plaque sont complexes et se décomposent en superposition de modes. Chacun de ces modes correspond à une vibration monochromatique (d’une seule fréquence).
6) Pour résoudre l’équation (1) en z(x, y, t), nous allons commencer par rechercher des solutions à variables séparables. C’est-à-dire des solutions qui seront de la forme :
z = f(x, y, t) = u(x, y) h(t)
a) En déduire les équations différentielles que doivent vérifier les fonctions u(x, y) et h(t).
b) Pourquoi les solutions acceptables pour h(t) sont-elles seulement sinusoïdales ?
c) Les solutions h(t) sont mises sous la forme h(t) = h0 exp(it), exprimez alors l’équation vérifiée par u(x, y). Différerait-elle si nous avions privilégié la forme h(t) = A cos(t) + B sin(t) ?
3) Confrontation du modèle aux expériences
(20 % du barème)Nous réalisons un dispositif expérimental permettant de confronter nos simulations (traitées dans la partie informatique, donc non traitées ici) à nos mesures. Nous considérons une plaque métallique uniforme et carrée sur laquelle nous disposons de fins grains de sable. La plaque est excitée par une onde acoustique émise par un haut-parleur proche. Pour certaines fréquences, la plaque entre en résonance avec l’émetteur sonore.
Nous pouvons distinguer, sur la plaque, la présence stable de ventres où l’amplitude de vibration est maximale, et la présence de nœuds où elle est nulle. Les grains sont expulsés des ventres et se concentrent à proximité des nœuds. Ces nœuds forment des courbes dites lignes nodales. Ce sont celles qu’a relevées Chladni et dont vous trouvez quelques exemples sur les figures de Chladni données en introduction du sujet. Nous avons relevé quelques-unes des fréquences liées à ces résonances dans le tableau ci-après.
Nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
fréquence en ratio
ν1
ν 1 2,5 2,5 4 5 5 6,5 6,5 8,5 8,5 9 10 10
Pour éviter toute difficulté de calcul, les fréquences relevées sont rapportées à la première fréquence de résonance détectée qui est de l’ordre de la dizaine de Hertz.
L’analyse, par transformée de Fourier, des courbes obtenues nous montre que les solutions spatiales caractérisées par la simulation numérique (non traitée ici) sont des familles de fonctions u(x, y) du type ci-après :
L π y n L sin π x m sin C y x, u
où m,n N* sont des entiers caractérisant le mode mn.
7) Modèle initial.
Il repose sur l’équation d’onde (1).
a) En considérant les formes d’ondes introduites, établir l’équation de dispersion liant la fréquence temporelle de l’onde aux entiers m, n.
b) Application numérique.
Déterminer l’ordre de grandeur de la fréquence de résonance la plus basse 1. Est-il compatible avec celui donné par l’expérience ?
c) La distribution des premières fréquences de résonance est-elle conforme à celle prévue par l’équation de dispersion ? (Une réponse argumentée est attendue).
d) Que pouvez-vous en conclure sur la pertinence du modèle utilisé ?
8) Un improbable modèle.
Un étudiant suggère d’utiliser le modèle régi par l’équation d’onde ci-après :
t . f y α
f x
Δf f 2 1
2 2 2
a) Expliquez en quelques lignes pourquoi ce modèle est inadéquat.
b) Quelle est la dimension de la constante α1 ?
9) Un autre modèle.
Un étudiant suggère d’utiliser le modèle régi par l’équation d’onde ci-après :
2 22
4 2
2
t . f α f Δf f
Δ
a) Quelle est la dimension de la constante α2 ?
b) Par analyse dimensionnelle, proposez une expression de la constante α2.
c) Quelle est l’équation de dispersion correspondant à cette équation d’onde pour les formes d’ondes introduites dans cette section ?
d) La distribution des fréquences obtenue expérimentalement est-elle conforme à celle prévue par cette nouvelle équation de dispersion ?
e) On rappelle que dans la question 6), on a établi que l’équation correspondant à un mode propre de pulsation peut s’écrire, pour u(x, y) sous la forme :
u λ . y -
u x
Δu u 2
2 2 2
(2)
où > 0 est la valeur propre associée au mode étudié.
Supposons que le modèle de la question 9) soit plus pertinent que celui décrit par l’équation (1), montrer que, même dans ce cas, la recherche des solutions numériques de l’équation (2) reste adéquate.
10) Dégénérescence des modes.
a) Dans le tableau des relevés expérimentaux, nous constatons la présence de fréquences identiques.
Comment pouvez-vous justifier ces dernières ?
b) La prise en compte des fréquences d’index 2 et 3 nous permet de proposer une solution z
x,y,t
sous la forme :
cos
ωtL π y L sin π x 2 L sin
π y 2 L sin π x sin C t y, x,
z
Déterminer l’équation de la ligne nodale correspondante.
DEUXIEME PROBLEME : Propagation des signaux dans une ligne coaxiale sans perte (d’après banque PT 2008)
L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.
Ce problème constitue la deuxième partie d’une épreuve de concours (banque PT 2008).
La première partie de cette épreuve de concours a été traitée dans le DS6 (1er problème).
Le barème de la deuxième partie était de 65 % de la totalité de l’épreuve de concours.
Les résultats établis dans la première partie de l’épreuve et utiles pour la deuxième partie sont donnés ici en début d’énoncé.
Un câble coaxial est constitué par deux cylindres coaxiaux parfaitement conducteurs, de même axe Oz, et de rayons respectifs r1, r2 et (r2 + e), et de longueur l. La longueur de la ligne l est assez grande devant r1
et r2 pour que l’on puisse négliger les effets d’extrémités : on considère que les symétries et invariances sont les mêmes que si la longueur l était infinie.
L’espace entre les deux conducteurs contient un isolant, homogène et isotrope de permittivité relative εr = 2,0. On rappelle que la permittivité absolue ε de l’isolant est liée à sa permittivité relative par la relation ε
= ε0.εr, la notation ε0 désignant la permittivité absolue du vide.
Pour les applications numériques, on prendra :
r1 = 0,15 cm ; r2 = 0,50 cm ; l = 10 m ; e = 0,10 cm ; µ0 = 4π.10-7 H.m-1 ; ε0 = 8,85.10-12 F.m-1.
On peut montrer que la capacité par unité de longueur du câble coaxial, notée C1, et que l’inductance propre du câble coaxial par unité de longueur, notée L1, sont données par :
1 2 1
r ln r
ε π
C 2 et
1 2 0
1 r
ln r π 2
L μ .
Pour tenir compte des phénomènes de propagation dans le câble coaxial, on modélise une portion du câble de longueur élémentaire dz par le circuit suivant (modèle de la ligne sans perte) :
L1 correspond à l’inductance propre par unité de longueur de la ligne.
C1 correspond à la capacité par unité de longueur de la ligne.
Dans toute la suite, on suppose que les fonctions v(z, t) et i(z, t) sont, sur le plan mathématique, de classe C2.
1) Equation de propagation
1.1) Ecrire la loi des nœuds au point A et en déduire que v(z, t) et i(z, t) vérifient l’équation aux dérivées partielles :
t C v z - i
1
.
1.2) En appliquant la loi des mailles, montrer que v(z, t) et i(z, t) vérifient également l’équation aux dérivées partielles :
t L i z - v
1
.
1.3) Montrer que v(z, t) et i(z, t) vérifient une équation de d’Alembert : 2
2 2 2 2
t f c
1 z
f
, la notation c
désignant la vitesse de propagation des signaux dans cette ligne.
1.4.a) Préciser l’expression de cette vitesse c de propagation, en fonction de L1 et C1, puis en fonction de µ0 et ε.
1.4.b) Vérifier l’homogénéité de ce dernier résultat.
1.5) Calculer la valeur numérique de la vitesse de propagation c.
On admet que les solutions générales de l’équation de propagation sont :
c t z c i
-z t i t z, i
c t z c v
-z t v t z, v
b a
b a
1.6) Quelle est la signification physique de ces solutions ?
1.7.a) On se place dans le cas où
c -z t i t z, i
c -z t v t z, v
a a
. On posera :
c -z u t .
En utilisant l’équation aux dérivées partielles donnée à la question 1.2), montrer l’existence d’une quantité Rc, en fonction de L1 et de c, telle que : a c a Va0
c -z t i c R
-z t
v
, V étant une constante a0
qu’on ne demande pas de déterminer.
1.7.b) Etablir de la même façon, et en posant
c t z
w , que b c b Vb0
c t z i R c - t z
v
(attention au signe devant Rc !), V étant une constante qu’on ne demande pas de déterminer. b0
1.8.a) Rc est appelée résistance caractéristique du câble coaxial. Exprimer Rc en fonction de L1 et de C1.
1.8.b) Calculer la valeur numérique de Rc, compte-tenu des expressions fournies de L1 et C1.
Dans toute la suite du problème, on suppose que les constantes Va0 et Vb0 sont nulles.
2) Ligne en régime permanent sinusoïdal
On applique à l’entrée de la ligne une tension sinusoïdale de pulsation ω.
Le câble coaxial est chargé par un dipôle d’impédance complexe Z , nommée dans la suite u
« impédance de charge ».
L’ensemble du dispositif fonctionne en régime permanent sinusoïdal.
Le générateur fournit une force électromotrice sinusoïdale : vg
t Vg cos
ωt .A la tension v
z, t Vz cos
ωt v
z
, on associe la grandeur complexe v
z, t Vz e jω t. A l’intensité i
z, t I z cos
ωt i
z
, on associe la grandeur complexe i
z, t Iz ejω t.On a alors pour les amplitudes complexes les relations suivantes, dans lesquelles V et a V sont deux b constantes complexes qu’on déterminera ultérieurement :
z k j c z b k j - c a
z k j b z k j - a
R e e V
R z V I
e V e
V z V
avec c k ω.
2.1) Par un calcul qui n’est pas demandé ici, on établit la constance de la quantité Re
V
z.I z
2
1 *
, la notation Re signifiant « partie réelle de », I*
z étant le complexe conjugué de I
z . Après avoir exprimé cette quantité en fonction de V
z et I
z , amplitudes des tension v(z, t) et intensité i(z, t), et de
z , déphasage de v(z, t) par rapport à i(z, t), expliquer de façon soignée et argumentée à quoi correspond, sur le plan physique, cette constance.2.2) Exprimer V
0 et I
0 en fonction de V , a V et de Rb c.2.3) En déduire V et a V en fonction de b V
0 , I
0 et de Rc, puis en fonction de V
0 , de Rc et du quotient
0I 0 0 V
Z .
2.4) On nomme « impédance complexe en un point d’abscisse z de la ligne », la quantité complexe définie par
z Iz z V
Z . Etablir la relation suivante :
0 tan kzZ j - R
kz tan R j - 0 .Z R z Z
c
c
c .
2.5) Montrer que « l’impédance ramenée à l’entrée de la ligne », par définition égale à Z
0 , est liée à« l’impédance de charge Z » par la relation suivante : u
k tan Z j R
k tan R j .Z R 0 Z
u c
c u
c
.
2.6.a) Exprimer V
0 en fonction de Vg, de RG et de Z
0 .2.6.b) En déduire, compte-tenu des résultats de la question 2.3), que
Gcg
a Z0 R
R 0 .Z 2V V 1
et que
Gcg
b Z 0 R
R 0 .Z 2V V 1
.
2.7) On ferme la ligne sur sa résistance caractéristique, c’est-à-dire qu’on choisit : Zu Rc.
2.7.a) Que vaut alors « l’impédance ramenée à l’entrée de la ligne » Z
0 ? 2.7.b) Que peut-on dire, alors, de la valeur de V ? b2.7.c) Exprimer alors V
z et I
z en fonction de V , de Ra c et du produit (kz). Commenter physiquement.2.7.d) Donner les expressions de la tension v(, t) et de l’intensité i(, t) en fonction de Vg, Rc, RG, ω, c, et t.
On note, dans les questions 2.8 à 2.10 ci-dessous, λ la longueur d’onde associée à la pulsation ω, pour la propagation dans cette ligne coaxiale.
2.8) On ferme la ligne par un court circuit.
2.8.a) En déduire l’expression de l’impédance ramenée Z
0 .2.8.b) La partie réelle de Z
0 est nulle ; montrer que cette propriété est cohérente avec celle évoquée à la question 2.1).2.8.c) Que vaut l’impédance ramenée Z
0 pour une ligne de longueur 4
(ligne quart d’onde) ?
2.9) On « ferme » la ligne par un circuit ouvert.
2.9.a) En déduire l’expression de l’impédance ramenée Z
0 .2.9.b) La partie réelle de Z
0 est nulle ; y-a-t-il cohérence de cette propriété avec celle évoquée à la question 2.1).2.9.c) Que vaut l’impédance ramenée Z
0 pour une ligne de longueur 4
(ligne quart d’onde) ?
2.10) On veut adapter une antenne FM de type dipôle replié dont l’impédance complexe – ici réelle – vaut Rant = 300 Ω, à l’entrée d’un tuner dont l’impédance complexe d’entrée, également réelle, vaut 75 Ω. A cette fin, on relie l’antenne au tuner (voir figure ci-dessous) par une ligne de longueur ; l’adaptation est réalisée lorsque l’impédance ramenée Z
0 est égale à Rant, impédance de l’antenne.Déterminer – et calculer – la résistance caractéristique Rc de la ligne d’adaptation si sa longueur vaut : 4
.
3) Ligne en régime impulsionnel
La ligne est chargée par une résistance Ru.
La fem vg(t) fournie par le générateur fournit un échelon de tension d’amplitude E.
La résistance interne du générateur est réglée de telle sorte que RG = Rc : la ligne est adaptée côté générateur.
3.1) Montrer que le rapport
t c v
t c v
a b
est donné par :
c u
c u
R R
R - R
.
Quelle est la signification physique du coefficient Γ ?
3.2.a) Etablir une relation entre la fem vg(t), RG (égale à Rc), les tension v(z=0, t) et intensité i(z=0, t) à l’entrée de la ligne.
3.2.b) En déduire, compte-tenu des relations mentionnées aux questions 1.7.a) et 1.7.b) (les constantes Va0 et Vb0 étant nulles), la tension incidente va(t) à l’entrée de la ligne en fonction de E pour t > 0.
3.2.c) Après avoir proposé et exploité soigneusement les schémas équivalents à l’entrée de la ligne pour l’onde incidente et l’onde réfléchie, retrouver, par une deuxième méthode, la tension incidente va(t) à l’entrée de la ligne pour t > 0.
3.3) La ligne est chargée par sa résistance caractéristique, soit Ru = Rc. 3.3.a) Déterminer la valeur de Γ ; conclusion ?
3.3.b) Exprimer la tension à l’extrémité de la ligne, v(, t), en fonction de vg, t, et c.
3.3.c) Tracer le graphe de v(, t).
3.4) La ligne est chargée par un circuit ouvert.
3.4.a) Calculer la valeur numérique de Γ ; commenter le résultat.
3.4.b) Tracer, sur une même figure, les graphes de v(, t) et celui de v(0, t).
3.5) La ligne est chargée par un court circuit.
3.5.a) Calculer la valeur numérique de Γ ; commenter le résultat.
3.5.b) Tracer le graphe de v(0, t).
3.6) Application : le réflectomètre temporel (Time Domain Reflectometer)
Lors de mesures sur des lignes, il est souvent nécessaire de connaître non seulement la nature et la valeur des discontinuités rencontrées (symbolisées sur la figure ci-dessous par la résistance Ru, différente de Rc), mais également leur position le long de la ligne. Le réflectomètre temporel est l’instrument idéal pour ce genre de mesures.
La figure suivante donne le schéma de principe du réflectomètre temporel :
On suppose que le « Té » indiqué ci-dessus permet, compte-tenu des caractéristiques d’entrée de l’oscilloscope, une mesure de la tension à l’entrée de la ligne sans en perturber le fonctionnement.
Le générateur fournit une impulsion rectangulaire d’amplitude E = 10 V, à vide, et de durée τ. On suppose que la durée τ est petite par rapport au temps de propagation entre l’entrée et la sortie de la ligne.
L’oscilloscope est réglé avec une base de temps de 100 ns/div et une échelle verticale de 2 V/div.
A l’aide de l’oscilloscope, on relève, pour une même ligne, les deux oscillogrammes ci-après de v(0, t), lors de deux mesures mettant chacune en lumière une discontinuité simple qu’on cherche à caractériser, et à localiser.
3.6.a) A partir de ces relevés, déterminer, en exposant clairement les arguments utilisés : - la valeur de la résistance Rc caractéristique de la ligne ;
- la valeur de la charge Ru symbolisant la discontinuité pour chacun des oscillogrammes 1 et 2 ; - la position, sur la ligne, de ces discontinuités, sachant que la vitesse de propagation vaut c =
2,0.108 m.s-1 ;
- la capacité par unité de longueur C1 ;
- l’inductance propre par unité de longueur L1.
3.6.b) Pouvait-on s’attendre, au vu des expressions de L1 et C1 fournies en introduction, aux valeurs obtenues à la question précédente pour Rc, c, L1 et C1 ?
3.6.c) Expliquer soigneusement, de façon détaillée mais sans calcul, en quoi les graphes de v(0, t) obtenus aux questions 3.4.b) et 3.5.b) permettent de retrouver facilement les oscillogrammes n°1 et n°2 ci-dessus.
