PT 2019-2020 20-09-2019 DEVOIR SURVEILLE n° 1
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L’usage de calculatrice est interdit pour l’ensemble des problèmes constituant ce devoir.
Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.
Vous devez traiter les 4 problèmes sur 4 copies différentes.
Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie
« blanche ».
Barème Ramassé à Premier problème 17 % 14h00 Deuxième problème 12 % 15h00 Troisième problème 20 % 16h00 Quatrième problème 51 % 17h00
Vous avez tout intérêt à faire dans l’ordre : le 1er problème, puis le 2ème problème, puis le 3ème problème, et enfin le 4ème problème !
Vous êtes libres de commencer le problème suivant avant que je ramasse les copies (vous pouvez par exemple commencer le 2ème problème avant 14h00).
PREMIER PROBLEME : Filtrage d’une onde modulée en amplitude (d’après banque PT 2012)
Ce problème représente 17 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
Un récepteur détecte une onde modulée en amplitude à la fréquence f =
2 . L’onde captée par le récepteur génère un signal ue qui est filtré.
1) Tension modulée :
La tension aux bornes du récepteur a pour expression :
ue(t) = Um { cos(p t) + C cos[(p + ) t] + C cos[(p - ) t] } où fp =
2
p est la fréquence porteuse et C une constante positive (C < 1).
a) Tracer le spectre fréquentiel de ue.
b) Montrer que ue peut se mettre sous la forme :
ue = A(t) cos(p t) avec A(t) = Um (1 + m cos( t)) ; Expliciter m.
2) Etude du filtre :
La fonction de transfert complexe du filtre est :
f -f f Q f j 1 H G
p p
0 fréquence centrale fp et facteur de qualité Q.
On note GdB le gain en décibel et on pose
p
fp
x f
.
a) Ecrire l’équation de l’asymptote haute fréquence donnant GdB en fonction de log(x).
b) Donner de même l’équation de l’asymptote basse fréquence.
c) Déterminer GdB pour x = 1.
d) Tracer, sur un même graphique de la feuille réponse, les asymptotes calculées en a) et b) et le diagramme de Bode donnant GdB, en fonction de log(x) (préciser numériquement quelques points de ce diagramme en prenant : G0 = 10 et Q = 10 ; ne pas tracer le diagramme de la phase).
e) Montrer que, si x est voisin de la valeur 1, H s’écrit de manière approchée :
x -1 Q j 2 1H G0
.
3) Filtrage : On pose
fp
x f . Les données sont p, , Um, C, Q et G0.
a) A partir de l’expression approchée de H donnée en 2)e), déterminer les équations horaires de sortie correspondant, dans la tension de sortie us, à chacun des 3 termes de la tension modulée ue.
Pour cela, compléter, sur la feuille réponse, le tableau suivant : Composante
d’entrée Um cos(p t) C Um cos[(p - ) t] C Um cos[(p + ) t]
fp
x f
H
Amplitude de la tension de sortie associée à cette
composante Phase de la tension de sortie
associée Equation horaire
de la sortie
b) En déduire que la tension de sortie du filtre s’écrit : us = G0 Um {1 + m’ cos( t - )} cos(p t).
Donner les expressions littérales de m’ et .
c) Tracer le spectre fréquentiel de us. Quel est l’intérêt de ce filtrage ?
FEUILLE REPONSE
Question 2)d) : Diagramme de BODE
Question 3)a)
Composante
d’entrée Um cos(p t) C Um cos[(p - ) t] C Um cos[(p + ) t]
fp
x f
H
Amplitude de la tension de sortie associée à cette
composante Phase de la tension de sortie
associée Equation horaire
de la sortie
DEUXIEME PROBLEME : Démodulation d’un signal réceptionné (d’après banque PT 2002)
Ce problème représente 12 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
On considère qu’un circuit de réception génère un signal de la forme : e1(t) = E0 cos( t) sin(0 t)
0 est la pulsation d’une onde porteuse de fréquence f0 = 1 MHz et est la pulsation d’une onde acoustique de fréquence comprise entre 50 Hz et 20 kHz.
1) On utilise un circuit multiplieur délivrant u(t) = H e1(t) e0(t) avec e0(t) = E1 sin(0 t), H étant une constante positive. Déterminer l’expression de u(t) et la mettre sous forme de somme de signaux sinusoïdaux.
2) Comment peut-on ne conserver que l’information relative à l’onde acoustique de pulsation ? Proposer un exemple simple de schéma de filtre actif adapté, en précisant les valeurs numériques des éléments.
On considère le montage donné en figure 1, dans lequel l’amplificateur linéaire intégré, supposé idéal, fonctionne en régime linéaire. K est un interrupteur commandé par le signal e2(t) dont le chronogramme est donné en figure 2. Quand e2(t) = 1, l’interrupteur K est fermé et quand e2(t) = 0, l’interrupteur K est ouvert.
Figure 1
Figure 2
3) Déterminer et représenter le chronogramme du gain
te t t u G
1
.
Le gain G
t , étant périodique, peut être décomposé en série de Fourier sous la forme
1 n
0 n
0 n
0 a cos n b sinn
2 t a
G t t .
4) Expliquer en quoi le montage précédent peut être utilisé comme multiplieur de la question 1), moyennant l’adjonction d’une fonction à préciser.
TROISIEME PROBLEME : Principe de l’électro-oculographie – Traitement analogique du signal (d’après banque PT 2019)
Ce problème représente 20 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
Ce problème est extrait d’un sujet de concours relatif à la mesure de quelques propriétés de l’œil.
Aucune connaissance préalable en biologie n’est requise.
Principe de l’électro-oculographie :
En raison des différents échanges ioniques dans les cellules, l’arrière de l’œil (côté rétine) porte une charge électrique négative alors que l’avant de l’œil (côté cornée) est chargé positivement. Il en résulte un champ électrique supposé permanent utilisé pour mesurer l’angle de rotation du globe oculaire autour d’un de ses axes.
Figure 1 Sur la figure 1, ur
représente le vecteur unitaire, attaché à l’œil, de l’axe rétine – cornée.
On attache au visage, supposé fixe, un repère cartésien (O, x, y, z).
Le globe oculaire est mobile autour de l’axe Oz ; est l’angle entre Oy et ur
(figure 2).
Pour mesurer , on place deux électrodes, de part et d’autre de l’œil, aux points A (a, b, 0) et A’ (-a, b, 0), fixes par rapport au visage. Le signal détecté par ces électrodes est traité par un circuit électronique étudié par la suite.
Figure 2 : Repérage de l’œil et emplacement des électrodes
Les électrodes mesurent une différence de potentiel U = V(A) – V(A’) entre A et A’.
On peut montrer que cette différence de potentiel dépend de (cette étude n’est pas menée ici).
Traitement analogique du signal :
Les signaux issus des électrodes ne sont pas exploitables directement et doivent être amplifiés et filtrés.
1) Amplificateur de différence :
Les électrodes sont reliées à l’amplificateur d’instrumentation représenté à la figure 3. Celui-ci comporte 3 ALI (notés AL1, AL2, AL3).
On donne : R = 100 k, R’ = 2 k.
a) Rappeler les ordres de grandeurs du gain statique, de l’impédance d’entrée et de l’impédance de sortie d’un ALI réel.
b) Quelles sont les valeurs de ces mêmes grandeurs pour un ALI idéal ?
Dans toute la suite, les ALI seront considérés comme idéaux et fonctionnant en régime linéaire.
Figure 3 : Schéma de l’amplificateur
c) L’électrode en A, dont le potentiel par rapport à une référence est noté Ve1, est reliée à AL1.
L’électrode en A’, dont le potentiel par rapport à une référence est noté Ve2, est reliée à AL2 (figure 3).
Déterminer V2 – V1 en fonction de Ve2 – Ve1, R et R’.
d) En déduire la tension de sortie VS en fonction de Ve2 – Ve1. e) Le gain Ad de l’amplificateur est donné par Ad =
e1 e2
S
V - V
V .
Expliciter Ad littéralement puis numériquement.
f) Les électrodes fournissent une différence de potentiel ayant une amplitude de l’ordre de 100 µV. Quel est l’ordre de grandeur de l’amplitude du signal en sortie de l’amplificateur ?
2) Filtrage :
Le signal utile est compris dans une bande fréquence comprise entre 0,002 Hz et 10 Hz.
a) D’une manière générale en électrophysiologie médicale, il est primordial d’inclure dans le traitement du signal un filtre coupe-bande à 50 Hz. Pourquoi ? Est-ce nécessaire pour les signaux oculaires ? b) Les signaux électro-physiologiques sont également très bruités par des parasites ayant un contenu
spectral situé dans les hautes fréquences. Quel type de filtre doit-on utiliser pour améliorer la qualité de ces signaux ?
c) Le signal issu de l’amplificateur d’instrumentation est traité par un filtre dont la fonction de transfert est :
2 0
x Q- jx 1 x H H
avec
f0
x f , f étant la fréquence du signal et f la fréquence caractéristique 0
du filtre (on note j2 = -1).
On choisit les composants de manière que H0 = 1, f0 = 15 Hz et 2 Q 2 .
α) Faire la représentation de Bode du gain en décibel en fonction de log(x) en précisant les asymptotes et les résonances éventuelles.
β) Rappeler la définition de la fréquence de coupure à -3 dB et la déterminer.
3) Acquisition du signal :
Les connaissances nécessaires pour traiter les questions a) et b) suivantes n’ont pas encore été vues en classe. Ces questions ne sont donc pas comptabilisées dans le barème (mais la question c) oui !).
On souhaite enregistrer le mouvement oculaire par l’intermédiaire d’une carte d’acquisition pendant 1 min.
a) Rappeler la condition de Nyquist-Shannon.
b) Préciser la fréquence d’échantillonnage limite pour l’enregistrement des signaux oculaires ainsi que le nombre de points enregistrés pour une acquisition à cette fréquence limite.
c) Sur l’enregistrement de la figure 4, on visualise le mouvement de l’œil (courbe 2) d’un patient ayant pour consigne de suivre une cible lumineuse qui se déplace (courbe 1). Estimer le retard de l’œil par rapport à la cible.
Figure 4 : exemple d’électro-oculogramme : courbe 1 : déplacement de la cible, courbe 2 : mouvement oculaire.
Echelle horizontale : 1 s/div Echelle verticale : 5 °/div
QUATRIEME PROBLEME : Filtres en électronique (d’après école de l’air PSI)
Ce problème représente 51 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
On se propose d’étudier différents filtres en électronique.
Dans tout le problème, la représentation complexe d’un signal e
t sera notée e.Les diagrammes demandés dans le problème seront tracés directement sur la copie, toutefois le plus grand soin sera apporté à leurs réalisations.
Données : 133,60 et 52,24.
A) Etude préliminaire :
On dispose d’un générateur BF (basse fréquence), on utilisera ainsi deux tensions u1
t et u2
treprésentées au cours du temps par :
On a u1
t 2 sin
2 f t
avec Tf 1 = 1000 Hz
et
T 2 t
T si 2 t u
2 t T 0 si 2 t u
2 2
On montre et on admettra que la fonction u2
t est une fonction périodique donc décomposable en série de Fourier :
sin2 5 f t
5 t 1 f 3 2 3 sin t 1 f 2 8 sin t u2
1) Donner la valeur moyenne (au cours d’une période T) de < u1
t > et de < u2
t >.2) Rappeler la définition de la valeur efficace. Quelles sont les valeurs efficaces des deux tensions u1
t notée U1 et de u2
t notée U2. Faire l’application numérique.3) Commenter rapidement le développement en série de u2
t .B) Etude de filtres passe-bas et passe-haut :
On réalise les deux circuits suivants avec R = 50 k et C = 3,2 nF :
1) Ecrire les fonctions de transfert des deux montages :
e jω v
H1 1 et
e jω v
H2 2 . 2) Etudier le comportement de ces deux circuits en BF et en HF.
3) Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques pour ces deux circuits. On précisera pour chacun d’eux, la nature du filtre et la pulsation de coupure à – 3 dB. On calculera numériquement la fréquence de coupure.
4) On applique à l’entrée de chacun des deux filtres, les deux signaux étudiés dans la partie A. Donner les caractéristiques des signaux de sortie.
C) Etude d’un filtre passe-bande :
On réalise maintenant le circuit suivant, où R et C gardent les mêmes valeurs que dans la partie B :
1) Déterminer la fonction de transfert
e v jω
H3 3 .
2) Quel est le comportement en BF et en HF du circuit. Vérifier le résultat à partir de la fonction de transfert.
3) Déterminer littéralement puis numériquement les fréquences de coupure de ce filtre. Définir un facteur de qualité et donner sa valeur.
4) Tracer le diagramme de Bode asymptotique de H3.
5) Caractériser les signaux de sortie lorsqu’on applique successivement u1 et u2 à l’entrée du circuit.
D) Etude d’un filtre coupe-bande :
On réalise maintenant le circuit suivant, où R et C gardent toujours les mêmes valeurs :
On donne pour ce circuit la fonction de transfert H4
jω :
2 2 2 4
4
ω C R - 1
ω C R j 1 4
1 e
jω v H
1) Etudier le comportement du circuit en BF et en HF, retrouver le comportement à partir de la fonction de transfert.
2) Justifier le nom de filtre à réjection ou filtre coupe-bande. Déterminer alors littéralement puis numériquement les fréquences de coupure de ce filtre.
3) Tracer le diagramme asymptotique de Bode.
4) Donner les signaux en sortie quand on applique à l’entrée de ce filtre u1 et u2.
E) Etude d’un filtre passe-tout :
On réalise maintenant le circuit suivant, où R et C gardent toujours les mêmes valeurs :
1) Quelle est la fonction de transfert
e jω v
H5 5 de ce circuit ? 2) Etudier le comportement du circuit en BF et en HF.
3) Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce circuit.
4) On applique à l’entrée successivement u1
