PT 2019-2020 29-11-2019 DEVOIR SURVEILLE n° 3
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L’usage de calculatrice est autorisé pour l’ensemble des problèmes constituant ce devoir.
Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.
Vous devez traiter les 2 problèmes sur 2 copies différentes.
Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie
« blanche ».
Barème Ramassé à Premier problème 50 % 15h00 Deuxième problème 50 % 17h00
Le 1er problème est à traiter de 13h00 à 15h00 (ramassé à 15h00).
Le 2ème problème est à traiter de 15h00 à 17h00.
Interdiction de commencer le 2ème problème avant 15h00.
PREMIER PROBLEME : Etude thermodynamique d’un tube cylindrique (d’après e3a 1999 MP)
Ce problème représente 50 % du barème.
L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.
Question préliminaire : Quelles sont les qualités que l’on peut attendre d’un bon modèle physique ?
On considère un tube cylindrique de révolution, de longueur infinie et de rayon intérieur a.
Ce tube est rempli d’un gaz parfait de masse volumique ρ et de capacité thermique massique à pression constante cp, supposées constantes sauf indication contraire.
On utilisera les coordonnées cylindriques classiques
ur,uθ,uz
.
I) Conduction (ou diffusion) thermique : On se place ici à pression constante.
On rappelle la loi de Fourier : jth -λg.grad T
, T étant la température et λg la conductivité thermique du gaz, constante positive.
1) La loi de Fourier est-elle un postulat à admettre, un théorème démontrable ou une loi expérimentale approchée ?
2) Que représente jth
, quelle est son unité ?
3) Quelle est la signification physique du signe - de la loi de Fourier ?
4) En admettant qu’une variation de la température T du gaz ne puisse provenir que d’une conduction thermique, il est demandé d’établir par un bilan énergétique une relation supplémentaire entre T et les composantes de jth
à l’intérieur du cylindre :
a) si la conduction thermique est longitudinale : T = T(z, t) ; b) si la conduction thermique est radiale : T = T(r, t).
5) En déduire une équation différentielle linéaire en T : a) si la conduction thermique est longitudinale ; b) si la conduction thermique est radiale.
6) Application numérique : Dans le cas d’une conduction thermique radiale, on suppose que la température est maintenue constante, d’une part sur la surface r =
2 a : T(
2
a) = 300 K, et d’autre part
sur la surface r = a : T(a) = 400 K. Calculer numériquement T en r = 4
3.a en régime stationnaire.
7) Critiquer ce modèle radial.
II) Conducto-convection thermique : 1er cas :
Le cylindre de gaz est entouré d’une épaisseur 2.e de verre de conductivité thermique λv.
On se placera en régime stationnaire avec les hypothèses suivantes : La température T0 est uniforme dans le gaz interne en convection forcée.
La température varie entre T1 et T2 dans l’épaisseur de verre.
La température extérieure est uniforme : Text (convection naturelle).
Le transfert thermique reste radial.
1) On rappelle la loi thermodynamique de Newton, en valeur absolue : jth = h.ΔT où h est le coefficient surfacique de transmission thermique, et ΔT représente la variation de température de part et d’autre de l’interface. On notera hgv et hvext les deux coefficients correspondant aux deux interfaces gaz interne- verre et verre-extérieur.
De quoi dépendent ces coefficients hgv et hvext ?
2) En écrivant la conservation de la puissance thermique, écrire les équations reliant les variations de températures T0 - T1, T1 - T2 et T2 - Text en fonction de a, e et des coefficients λv, hgv et hvext.
3) Définir et calculer la résistance thermique Rth pour une longueur L de cette enveloppe de verre.
4) A quelle condition sur a, λv et hvext cette résistance thermique Rth peut-elle présenter un minimum Rthmin
en fonction de e ?
5) Interpréter l’existence de ce minimum. A quoi peut servir une telle résistance thermique minimum ? 6) Applications numériques. On donnera les résultats avec 3 chiffres significatifs.
L = 1 m, a = 5 cm, λv = 1 S.I., hgv = 100 S.I. et hvext = 10 S.I.
a) Calculer numériquement Rth pour e = 1 cm.
b) Calculer numériquement Rthmin et l’épaisseur emin correspondante.
III) Conducto-convection thermique : 2ème cas :
Le cylindre de gaz est entouré d’une épaisseur e de verre de conductivité thermique λv, puis d’une épaisseur e d’air immobile de conductivité thermique λa et enfin d’une nouvelle épaisseur e du même verre (principe du vase de Dewar).
On se placera en régime stationnaire avec les hypothèses suivantes : La température T0 est uniforme dans le gaz interne (convection forcée).
La température varie entre T1 et T2 dans l’épaisseur interne de verre.
La température varie entre T2 et T3 dans l’épaisseur d’air immobile (sans convection).
La température varie entre T3 et T4 dans l’épaisseur externe de verre.
La température extérieure est uniforme : Text (convection naturelle).
Le transfert thermique reste radial.
1) On reprend les notations du II) pour les deux coefficients surfaciques de transmission thermique correspondant aux interfaces gaz-verre et verre-extérieur : hgv et hvext.
Ecrire toutes les relations existant entre les températures, a, e et les coefficients λv, λa, hgv et hvext. 2) Définir et calculer la résistance thermique Rth pour une longueur L de cet ensemble verre-air-verre.
3) Application numérique. On donnera les résultats avec 3 chiffres significatifs.
L = 1 m, a = 5 cm, e = 1 cm, λv = 1 S.I., λa = 0,026 S.I., hgv = 100 S.I. et hvext = 10 S.I.
Calculer numériquement Rth.
4) Comparer les résultats du II) 6) a) et du III) 3). Quel est l’intérêt de ce deuxième dispositif ?
5) Que risquerait-il de se passer si l’épaisseur d’air emprisonné était beaucoup plus grande ? Quelle en serait la conséquence pour Rth ?
6) Serait-il intéressant d’opérer avec de l’air emprisonné sous faible pression ?
7) Les faces interne et externe du vase de Dewar sont parfois argentées (bouteille « Thermos »). Pourquoi
?
IV) Compression :
La masse volumique ρ du gaz ne pourra plus être considérée ici comme constante.
La capacité thermique massique à volume constant cv est égale à
cp
et est constante.
Le cylindre n’est plus de longueur infinie : il est fermé à gauche par un bouchon fixe et à droite par un piston mobile de masse m.
Le cylindre est d’axe de symétrie horizontal, on négligera l’influence de la pesanteur et la convection : on admettra que le problème se limite à une seule dimension d’espace z.
Il ne sera plus nécessaire de considérer une quelconque épaisseur à la paroi latérale du cylindre car on admet qu’elle est parfaitement athermane. De même, le bouchon et le piston seront imperméables à tout transfert thermique. Les transformations seront donc adiabatiques mais pas nécessairement toujours réversibles.
La position de la face interne du bouchon est repérée par l’abscisse 0.
La position de la face interne du piston est repérée par l’abscisse z.
Le gaz interne est parfait et a un volume V = π.a2.z.
La pression extérieure est P0.
On supposera que les mouvements ne seront jamais si rapides que la notion de pression P, la même en tous points du gaz mais pouvant varier au cours du temps, perde son sens : le gaz sera équibare.
On admettra que lors d’une transformation adiabatique, même non réversible, d’un gaz équibare, on a P.Vγ = cste.
Le piston glissera sans frottements, sauf indication contraire.
1) Partant d’une situation d’équilibre (T = T0 et P = P0, en tous points du gaz) avec z = z0, on déplace le piston de droite d’une distance Δz vers la droite et on le lâche aussitôt sans vitesse initiale. En appliquant le théorème de la résultante cinétique au piston, écrire l’équation différentielle en z de son mouvement, sans chercher à la résoudre.
2) Exprimer le travail δWg+p reçu par l’ensemble {gaz interne + piston de droite} lors d’une variation dz de z en fonction des pressions P ou P0.
3) Exprimer le travail δWg reçu par le seul gaz interne lors d’une variation dz de z en fonction des pressions P ou P0.
4) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au piston, retrouver le résultat du IV) 1).
5) Cette évolution est-elle réversible, c’est-à-dire invariante par renversement du temps ?
6) On a supposé que la pression P pouvait être considérée comme uniforme. En est-il nécessairement de même pour la température T ?
7) Cette évolution est-elle quasi-statique (c’est-à-dire que le gaz est à tout instant en équilibre en son sein)
?
8) On suppose ici que le déplacement initial est faible (Δz << z0) : la vitesse du piston sera donc faible.
Résoudre l’équation en z(t). On pourra poser z = z0 + ε, avec ε << z0.
9) Le piston glisse maintenant avec des frottements fluides. On admettra qu’il subit une force proportionnelle et opposée à sa vitesse : k.z.uz
.
Reprendre la question IV) 1). Vers quelle valeur tendra z au bout d’un long temps ? 10) Critiquer ces modèles.
DEUXIEME PROBLEME : Moteur thermique (d’après banque PT 2002)
Ce problème représente 50 % du barème.
L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.
On donnera les résultats avec 3 chiffres significatifs (même si les valeurs numériques fournies par l’énoncé ne le permettent normalement pas… Sinon, ça « plombe » l’exercice…).
Ce problème aborde différents aspects de l’étude d’un moteur thermique.
On suppose, pour simplifier, que le moteur est constitué d’un cylindre unique de volume égal à un litre.
Les contraintes de fabrication et d’utilisation imposent de ne pas dépasser une pression de 50 bars dans le cylindre. On rappelle que 1 bar = 105 Pa.
Dans tout le problème, les gaz, quels qu’ils soient, sont assimilés à des gaz parfaits de rapport γ = 1,4.
Le piston est couplé à un système mécanique de sorte que les transformations seront considérées comme mécaniquement réversibles.
La constante molaire des gaz parfaits vaut : R = 8,314 J.mol-1.K-1.
I) Moteur de Carnot :
L’air enfermé dans un cylindre subit la suite de transformations réversibles suivantes :
A → B : isotherme
B → C : adiabatique
C → D : isotherme
D → A : adiabatique.
Les coordonnées de l’état A sont : PA = 1 bar, VA = 1 L, TA = 300 K.
Dans l’état B, VB = VA/8 et, dans l’état C, PC = 50 bars.
1) Représenter, sur la copie, l’allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron.
2)
a) Déterminer et calculer la valeur de la pression en B.
b) Déterminer et calculer la valeur de la température en C.
c) Etablir la relation PA.PC = PB.PD. d) Calculer la valeur de la pression en D.
3) Calculer le travail fourni par le gaz au système mécanique sur un cycle.
4) Calculer la chaleur fournie par la source chaude au gaz sur un cycle.
5)
a) Calculer le rendement.
b) Retrouver ce résultat après avoir rappelé l’expression du rendement d’un moteur cyclique de Carnot (moteur cyclique ditherme réversible).
6) Calculer la puissance du moteur, sachant que le fluide effectue 5000 cycles par minute. Exprimer cette puissance en chevaux-vapeur (1 Ch = 735 W).
7) Que pensez-vous des performances de ce moteur de Carnot ?
II) Moteur à explosion :
Au point A, le cylindre contient maintenant un mélange supposé homogène gazeux d’air et de n’ = 2.10-4 mol d’essence.
On a toujours, en A : PA = 1 bar, VA = 1 L, TA = 300 K ; en B, VB = VA/8.
Le mélange gazeux subit la suite de transformations suivantes :
A → B : compression adiabatique réversible ;
B → C : combustion isochore de toute l’essence ; cette évolution est également adiabatique pour l’ensemble du système réactif ;
C → D : détente adiabatique réversible ; on donne VD = VA ;
D → A’ : refroidissement isochore ; on donne TA’ = TA.
Dans toute l’étude de ce modèle de moteur à explosion, on suppose constant le nombre total de moles gazeuses.
1)
a) Déterminer la pression du mélange dans l’état B.
b) Déterminer la température du mélange dans l’état B.
2) Le « pouvoir calorifique » de l’essence est П’ = 5910 kJ.mol-1. a) Calculer la température en fin de combustion au point C.
b) Calculer la pression PC.
c) Respecte-t-on les contraintes mentionnées en introduction ?
Dans la réalité, la combustion n’est pas instantanée, d’où une valeur moins élevée de la pression maximale.
Dans la suite de l’étude de notre modèle, on supposera la combustion B → C isochore, et on prendra TC = 2108 K.
3) Calculer la température en D.
4)
a) Calculer le travail fourni par le gaz au système mécanique sur un « cycle ».
b) Calculer la chaleur algébrique QDA fournie sur un « cycle » par la source froide.
5)
a) Sur un aller-retour du piston, calculer la variation d’énergie interne ΔU du mélange gazeux.
b) A-t-on ΔU = 0 ? Pourquoi ? 6)
a) Comment définir le rendement ? b) Le calculer.
7) Le piston effectue N = 5000 allers-retours par minute, mais la moitié de ces allers-retours correspond aux phases de remplissage en gaz frais et de refoulement des gaz d’échappement (sans explosion !) ; ces phases de remplissage et de refoulement, supposées isobares à la pression PA, se compensent.
Quelle est la puissance du moteur, exprimée en chevaux-vapeur ? (1 Ch = 735 W)
III) Bilan entropique :
1) On considère maintenant un fluide décrivant un cycle ditherme moteur (la source chaude est de température T2, et la source froide de température T1).
a) Exprimer la création d’entropie Scréée au sein du fluide, sur un cycle, en fonction notamment des chaleurs reçues par le fluide, en provenance des deux sources.
b) En déduire l’expression du rendement en fonction de T1, T2, Q2 (chaleur fournie au fluide par la source chaude) et de la création d’entropie Scréée.
c) Quels enseignements peut-on en déduire, quant à l’optimisation du rendement du moteur ditherme, à valeurs données de T2 et Q2 ?
2) On suppose que le refroidissement isochore DA évoqué dans la partie II) est effectué au contact thermique d’une source froide de température T1 égale à TA.
a) Exprimer et calculer la création d’entropie Scréée au sein des n moles de gaz parfait.
b) Commenter le résultat : quelle est la cause d’irréversibilité ?
3) Indiquer, sans calcul, s’il y a création d’entropie au sein du gaz lors de l’évolution BC du cycle évoqué dans la partie II) et, dans l’affirmative, quel type d’irréversibilité peut en être la cause.
IV) Vaporisation :
A T = TA = 300 K, la pression de vapeur saturante de l’essence est Psat(TA) = 0,15 bar.
1) Montrer que l’essence est sous forme de vapeur sèche non-saturante, au point A de la partie II) (moteur à explosion) ; on rappelle que la quantité totale de matière gazeuse dans le cylindre vaut sensiblement 4.10-2 mol.
2) On cherche à déterminer l’état de l’essence au point B.
On donne la chaleur latente molaire de vaporisation de l’essence en fonction de la température : Lm = A1 - B1 T, avec A1 = 54,25 kJ.mol-1 et B1 = 77,5 J.mol-1.K-1.
On donne également la relation de Clapeyron relative à la vaporisation :
dT T P V d
- V
T
Lm m vapeur m liquide sat , où Vm représente un volume molaire.
a) Déterminer la loi Psat(T) en fonction de Psat(TA), A1, B1, TA, R et de la température T ; on négligera le volume molaire du liquide devant celui de la vapeur, assimilée à un gaz parfait.
b) En déduire la valeur, en bar, de Psat(TB) à la température TB = 690 K (température supposée inférieure à la température critique).
c) Quel est l’état de l’essence au point B du « cycle » étudié dans la partie II) ?
3) En s’appuyant sur l’allure du diagramme entropique molaire de l’essence, pouvait-on prévoir le résultat trouvé ci-dessus au 2)c), sachant qu’au point A l’essence est sous forme de vapeur sèche non- saturante ?
V) Echanges thermiques dans le moteur à explosion :
Dans la réalité, le brutal abaissement de la pression, lors de l’étape DA du « cycle » du moteur à explosion évoqué dans la partie II), est dû à l’ouverture de la soupape d’échappement.
En revanche, des échanges thermiques ont lieu, à travers les parois du cylindre, pendant toute la durée du
« cycle », entre le mélange gazeux situé dans le cylindre et l’eau de refroidissement du moteur. Il est en effet nécessaire de maintenir le moteur et l’huile à des températures raisonnables, la température moyenne des gaz dans le cylindre étant élevée.
L’objet de la fin de cette étude est l’obtention de l’ordre de grandeur de cette fuite thermique.
Le matériau constituant le cylindre, homogène, isotrope, est de masse volumique µ, de capacité thermique massique c et de conductivité thermique λ. On modélise la paroi du cylindre par une paroi plane d’épaisseur d et de surface S. On considère que la température ne dépend que d’une dimension cartésienne et du temps : T = T(x, t), où Ox est l’axe orthogonal à la paroi ; x = 0 correspond au point intérieur de la paroi (côté gaz, donc), et x = d correspond à l’interface cylindre - eau de refroidissement.
1)
a) Rappeler l’expression de la loi de Fourier, dans ce cas de conduction unidimensionnelle.
b) Etablir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par T(x, t) : 2
2
x λ T t c T
μ
.
2) Dans le cadre précédent, on se place maintenant en régime permanent.
a) Montrer que T(x) est une fonction affine, et préciser son expression littérale, sachant qu’en x = 0, T
= T’, et que T = T’’ en x = d.
b) La résistance thermique Rth 1 est définie par la relation
th 1
th P
' ' T - '
R T , relation dans laquelle Pth
désigne la puissance thermique passant des gaz à l’eau de refroidissement, à travers la paroi du cylindre. Déterminer l’expression de Rth 1 en fonction de d, λ et S.
c) Application numérique : on donne S = 0,01 m2, d = 0,5 cm ; calculer la résistance thermique Rth 1, sachant que λ = 150 W.m-1.K-1.
En pratique, on considère que la puissance thermique Pth évacuée des gaz vers le circuit de refroidissement a pour valeur
th R G
th R
T -
P T (TG et TR étant les valeurs respectives de la température moyenne des gaz dans le cylindre et de celle du circuit de refroidissement), la résistance thermique ayant pour valeur effective Rth = 27.10-3 K.W-1, du fait de phénomènes conducto-convectifs.
3) On donne : TG = 670 K et TR = 330 K.
a) Calculer la puissance thermique Pth évacuée vers le circuit de refroidissement.
b) En déduire la valeur de la chaleur (ou transfert thermique) Qrefr évacuée vers le circuit de refroidissement pendant deux allers-retours du piston (on rappelle que celui-ci effectue 5000 allers- retours par minute).
c) On affirme souvent que, dans un moteur à explosion, les pertes thermiques dues au refroidissement sont du même ordre de grandeur que les pertes d’énergie dues à l’échappement des gaz. Les résultats trouvés aux questions II)4) et V)3)b) vous semblent-ils en accord avec cette affirmation ?
