PT 2018-2019 Pour le jeudi 11-04-2019 DEVOIR LIBRE n° 6

PT 2018-2019 Pour le jeudi 11-04-2019 DEVOIR LIBRE n° 6

L’usage de calculatrice est interdit pour l’ensemble des problèmes constituant ce devoir.

PREMIER PROBLEME : Transmission optique : Propagation guidée de la lumière dans une fibre optique (d’après banque PT 2013)

L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.

Les parties A et B ont déjà été traitées dans le Devoir Libre n°4.

Les signaux optiques peuvent être utilisés pour transporter une grande quantité d’information sur d’importantes distances.

On s’intéresse ici à la propagation guidée de la lumière dans une fibre optique.

A) Lois de Descartes

On considère un dioptre plan séparant 2 milieux transparents et homogènes : le milieu (1) d’indice n1 et le milieu (2) d’indice n2. De la lumière se propage du milieu (1) vers le milieu (2). On isole un rayon frappant le dioptre en I, et formant un angle i1 avec (N), normale au dioptre en I. On observe l’existence d’un rayon réfléchi dans le milieu (1) formant un angle i’ avec (N) et éventuellement d’un rayon réfracté formant un angle i2 avec (N). Les angles sont non orientés.

FIGURE 1 : Lois de Descartes

A.1. A quelle condition peut-on considérer que la lumière est constituée de rayons lumineux indépendants ?

A.2. Enoncer les lois de Descartes relatives à la réfraction et à la réflexion.

A.3. Décrire le phénomène de réflexion totale : on précisera notamment la condition sur les indices et la condition sur l’angle i1.

B) Fibre optique à saut d’indice

Une fibre optique est un fin cylindre de verre, capable de guider la lumière sur de longues distances. Un rayon lumineux rentrant à une extrémité de la fibre reste piégé à l’intérieur par réflexion totale interne.

Une fibre optique à saut d’indice est constituée d’un cœur cylindrique d’indice n1 d’un diamètre d’environ 50 µm, entouré par une gaine d’indice n2 < n1.

FIGURE 2 : Fibre à saut d’indice

FIGURE 3 : Coupe dans le plan méridien d’une fibre à saut d’indice

B.1. Montrer que tout rayon situé dans un plan contenant l’axe de la fibre et formant dans la fibre un angle  avec l’axe peut se propager dans le cœur en restant dans ce plan si  < c, avec



 



 



1 2

c n

cos n

Arc .

B.2. Que risque-t-il de se passer si on courbe trop la fibre ? On pourra illustrer au moyen d’un schéma.

B.3. On définit l’ouverture numérique ON de la fibre par ON = n1 sin(c).

B.3.a. Montrer que ON = n₁² -n²₂ .

B.3.b. On pose n1 = n2 + n : n est petit. Etablir une expression approchée de ON à l’ordre le plus bas non nul.

B.3.c. Evaluer ON pour n1 = 1,53 et n2 = 1,50 avec 1 chiffre significatif.

B.3.d. On considère que l’indice de l’air à l’extérieur de la fibre est égal à 1. Soit O le point de l’axe de la fibre situé sur le dioptre air-cœur. On note 0 l’angle d’incidence du rayon lumineux entrant dans la fibre en O (cf figure 3). A quelle condition sur 0 le rayon se propage-t-il dans la fibre ?

C) Modes de propagation

Le but de cette partie est de montrer que, dans une fibre optique, la lumière peut se propager le long d’un nombre fini de rayons. Pour cela, nous considérerons la lumière comme une onde électromagnétique décrite par un champ électrique E

et un champ magnétique B . Données et rappels :

- 0 : permittivité diélectrique du vide ; - µ0 : perméabilité magnétique du vide ; - Pour un champ de vecteur A

quelconque : ^rot

 

 



 



C.1. Donner les équations de Maxwell dans le vide.

C.2. Etablir l’équation de propagation de E

dans le vide et la mettre sous la forme : t 0

E c - 1 ΔE

2 2 2

 

 





On exprimera c en fonction de 0 et µ0 et on rappellera sa signification.

C.3. Justifier qu’il faut remplacer c par n

c dans cette équation pour décrire la propagation dans un milieu transparent d’indice n.

On veut étudier la propagation d’un champ électrique E

dans la fibre. Pour simplifier, le « cœur » sera décrit par une couche plane d’indice n1, comprise entre les cotes x = - a et x = + a. Pour x > a, le milieu a un indice n2 (cf figure 4). Pour chaque région ( x < a ou x > a), on cherche E

sous la forme : ey

k.z) - .t E(x).cos(ω

E 

 avec  et k positifs.

On pose c

ω = k0 et 0 = k0

2 .

On utilisera la représentation complexe : on pose E E(x).e^j_^{.t -k.z}e_y



FIGURE 4 : Modélisation du cœur par une couche plane C.4. On cherche B

sous la forme B B_m e^{jω.t -k.z}

 . Exprimer B_m

en fonction de E(x), k, , dx

) x (

dE et des vecteurs de base.

C.5. Justifier que E(x) et dx

) x (

dE sont continues en x =  a. On supposera qu’aucun courant surfacique n’apparait et on rappelle qu’en présence d’une surface chargée éventuelle, on a continuité de la composante tangentielle du champ électrique (non précisé dans l’énoncé original).

C.6. On s’intéresse à la propagation dans la « gaine » : x > a.

C.6.a. Ecrire l’équation de propagation vérifiée par E

dans ce milieu en tenant compte de la question C.3.

C.6.b. En déduire l’équation différentielle vérifiée par E(x) pour x > a.

C.6.c. Discuter la nature des solutions selon le signe de n2.k0 – k. En déduire la condition pour que la propagation soit guidée dans le cœur. On considère cette condition vérifiée dans la suite.

C.6.d. On pose :

2 0 2 2 2 -n k k

δ 1

Ecrire la solution E(x) sous la forme d’une combinaison linéaire de fonctions exponentielles, en fonction de  et de constantes d’intégration qu’on ne cherchera pas à déterminer pour l’instant ; on distinguera les cas x > a et x < - a.

C.7. On s’intéresse à la propagation dans le « cœur » : x < a.

C.7.a. Ecrire l’équation de propagation vérifiée par E

dans ce milieu.

C.7.b. En déduire l’équation différentielle vérifiée par E(x) pour x < a.

C.7.c. A quelle condition sur n1 a-t-on E(x) fonction sinusoïdale de x ? On considère cette condition vérifiée dans la suite.

C.7.d. On pose :

2 2 0 2

1 k -k

 n



Exprimer E(x) en fonction de  et de constantes d’intégration qu’on ne cherchera pas à déterminer pour l’instant.

On choisit de ne s’intéresser qu’aux solutions paires, ie telles que E(x) = E(-x)  x.

C.8. Pour x < a, donner l’expression de E(x) en notant Em son amplitude. Pour x > a, justifier que dans chacun des cas, le coefficient d’une des exponentielles est nécessairement nul.

C.9. Représenter l’allure de E(x) en considérant 2a = 3 η

2π pour fixer les idées.

C.10. En utilisant les relations de continuité, établir la relation :

 

η ON ηa k

tan ₂

2 2

 0 avec ON = n₁² -n²₂ .

C.11. Expliquer comment déterminer graphiquement les solutions de cette équation d’inconnue . Ces solutions sont appelées « modes ».

C.12. Exprimer le nombre N total de modes en fonction de ON, 0 et a.

C.13. Evaluer N pour 0 = 1,0 µm, ON = 0,30 et a = 25 µm.

C.14. On admet que chaque mode correspond à un rayon d’inclinaison donnée. Exprimer la valeur maximale de a permettant d’avoir une propagation le long d’un seul rayon. L’évaluer numériquement avec 2 chiffres significatifs pour 0 = 1,0 µm et ON = 0,30.

DEUXIEME PROBLEME : Analogie entre une onde électromagnétique dans une cavité résonante et la corde d’une guitare électrique (d’après banque PT 2013)

L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.

Les applications numériques seront données avec un chiffre significatif.

On donne : ^rot

 

 



 



De nombreux instruments de musique utilisent une corde vibrante pour produire une onde sonore. Nous allons étudier l’analogie entre une corde vibrante et une onde électromagnétique dans une cavité résonante formée de deux plans conducteurs parfaits.

On précise qu’aucune connaissance sur les ondes mécaniques n’est nécessaire pour traiter ce problème.

A) Onde dans une cavité résonante 1) Conducteur parfait

a) Rappeler la loi d’Ohm locale ainsi que la définition d’un conducteur parfait.

b) Montrer que le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur parfait.

c) Ecrire alors les relations de passage du champ électrique à la surface d’un tel conducteur.

On rappelle la relation de passage pour E

en présence de charges surfaciques séparant deux milieux 1 et 2 de part et d’autre de cette surface chargée : ₁₂

0 1

2 n

ε E σ -

E  

 , où E₁ et E₂

sont respectivement les champs dans les milieux 1 et 2 au voisinage immédiat de la surface, n₁₂

est le vecteur unitaire normal localement à cette surface et allant du milieu 1 vers le milieu 2, et  est la densité surfacique de charges.

2) Propagation d’une onde électromagnétique dans le vide

a) Ecrire les équations de Maxwell dans le vide, sans charges ni courants.

b) En déduire l’équation satisfaite par le champ électrique. Comment se nomme-t-elle ? c) Que représente le terme µ00 dans cette équation ?

On se place en coordonnées cartésiennes et on considère les deux vecteurs :

 

1 u

c -x t E t x,

E 



 



  et ₂

 

c t x E t x,

E 



 

 

 où u_y

est un vecteur unitaire et c la célérité de la lumière dans le vide.

d) Vérifier que ces deux vecteurs sont solutions de l’équation obtenue au b).

e) Quel nom porte chacune de ces deux solutions ? 3) Etude de l’onde incidente

Une onde électromagnétique arrive en incidence normale sur un conducteur parfait occupant le demi-espace x > 0 (Figure 1).

On suppose que cette onde est plane progressive monochromatique de pulsation . Le champ électrique s’écrit en coordonnées cartésiennes et en représentation complexe :

 

   

i x, t E exp i ωt -kx u

E 



où E0 et k sont des constantes.

a) Quel est l’état de polarisation de cette onde ? b) Donner la relation de dispersion.

Figure 1

4) Etude de l’onde résultante

a) La présence du conducteur implique une réflexion obéissant aux lois de Descartes. Comment l’onde réfléchie se propage-t-elle ? Justifiez votre réponse.

b) L’onde réfléchie est une onde monochromatique de même pulsation. On cherche alors le champ électrique réfléchi complexe sous la forme :

 

 

E_r _r0 

Justifier que E_r0

ne dépende que de x.

c) Quelle équation doit vérifier E_r

? Quelle(s) condition(s) doit vérifier E_r





? d) En déduire E_r

.

e) Déterminer l’expression E

 

du champ électrique total en fonction de E0,  et c. (On donnera le résultat sous forme du produit de deux fonctions sinusoïdales).

f) Quelle est la particularité de cette onde et son nom ?

g) Déterminer les positions des plans nodaux du champ électrique E

en fonction de la longueur d’onde.

On rappelle qu’un plan nodal est un plan dans lequel le champ est nul à tout instant.

5) Cavité résonante : quantification de la fréquence

Pour former la cavité résonante, on ajoute un deuxième conducteur parfait placé dans le demi-espace x < - l (Figure 2).

Figure 2

a) Quelle(s) autre(s) condition(s) la présence de ce deuxième conducteur parfait impose-t-elle au champ électrique E

?

b) Montrer que ceci impose une quantification de la pulsation des ondes pouvant s’établir dans la cavité :

n = n 0 où n est un entier.

c) Expliciter 0 en fonction de c et l.

d) En déduire, que pour l’onde harmonique de pulsation n = n 0, le champ électrique E_n

 

dans la cavité prend la forme :

     

n x, t A sin αx sin βt u

E 



en explicitant A,  et  en fonction de E0, 0, c et n.

B) Analogie avec la corde d’une guitare

1) Caractéristiques

a) Déterminer la masse linéique µ d’une corde en acier de masse volumique  de longueur l et de diamètre D.

b) Application numérique : On donne :  = 8000 kg.m^-3, µ = 6 g.m^-1. Déterminer la section s en mm² et la longueur l d’une corde de 3,6 g.

2) Analogie avec l’onde électromagnétique

On assimile la corde de guitare à une corde inextensible sans raideur de masse linéique constante µ, tendue par une tension de module T0. Au repos, elle se confond avec l’axe Ox (Figure 3). On note l la longueur de la corde placée entre les abscisses x = - l et x = 0 où la corde est attachée.

On étudie les vibrations de la corde dans le plan Oxy, c’est-à-dire les petits mouvements transversaux selon Oy, de part et d’autre de cette position de repos.

Figure 3

On cherche à utiliser l’analogie entre l’élongation y(x, t) de la corde vibrante fixée à ses deux extrémités et le champ électrique dans une cavité résonante.

a) Quelles sont les valeurs de y(x, t) aux extrémités de la corde (conditions limites) ? b) Analyser la dimension du terme

µ v T⁰ .

On admet que y(x, t) vérifie l’équation aux dérivées partielles suivante : x 0

y µ -T t

y

2 2 0 2

2 









c) Quel est le terme correspondant à v pour une onde électromagnétique ? Que représente le terme v vis- à-vis de la propagation d’une onde le long de la corde ?

d) Application numérique : Calculer v pour T0 = 120 N.

e) Les conditions aux limites imposent une quantification de la pulsation n = n 0. Par analogie avec l’onde électromagnétique dans la cavité résonante, expliciter 0 en fonction de v et l.

f) Montrer que pour l’onde harmonique de pulsation n, l’expression :

 





sin Y t x,

y_{n 0n}  ₀



 



 

 où Y0n représente l’amplitude de cette onde, est compatible avec l’équation de propagation et les conditions aux limites.

g) Dessiner l’allure de la corde à ωn

t  2π et

ωn

2

t  π pour n = 1, 2 et 3.

3) Spectre d’une corde de guitare

On admet que pour une corde vibrante, l’expression générale de y(x, t) a la forme suivante :







1 n

n(x, t) y t)

y(x, avec

     

 x sinn π ω t

n sin b ω t n cos a t) (x,

y_n  _{n 0}  _{n 0}

Les coefficients an et bn, qui correspondent à l’harmonique d’ordre n, dépendent des conditions initiales (forme initiale de la corde, vitesse initiale de ses différents points…).

On donne pour une corde pincée (cas de la guitare) : bn = 0 n

an = 0 pour n pair et an = ₃ n

A pour n impair avec A constant.

a) Quelles sont les fréquences présentes dans les vibrations donc également dans le son émis ? b) Quelle est la fréquence du son le plus intense ?

c) Tracer le spectre obtenu.

d) Quelle qualité le microphone d’une guitare électrique doit-il présenter ?

TROISIEME PROBLEME : Analyse d’un 100 m à l’aide d’un cinémomètre à effet Doppler-Fizeau (d’après banque PT 2018)

L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.

1. Introduction

Le 100 m est une épreuve d’athlétisme consistant à courir sur une distance de 100 m en ligne droite en une durée la plus faible possible. A très haut niveau, il est couru en moins de 10 secondes pour les hommes et 11 secondes pour les femmes. Le record du monde est actuellement détenu par l’athlète jamaïcain Usain Bolt, qui l’a couru en 9,58 secondes aux championnats du monde de Berlin en 2009.

Un cinémomètre est un appareil capable de mesurer la vitesse relative d’une cible (« relative » signifiant ici « dans un référentiel lié à l’appareil »). Le plus souvent, la mesure est réalisée à distance par émission d’ondes électromagnétiques qui se réfléchissent sur la cible et frappent un récepteur. Il existe deux façons d’exploiter ce phénomène pour identifier la vitesse relative de la cible :

 soit en mesurant le délai entre émission et réception, et donc la distance appareil- cible (télémétrie), à intervalles de temps réguliers,

 soit en mesurant l’écart des fréquences respectives des ondes émise et reçue (effet Doppler-Fizeau).

Figure 1 : une piste olympique de 100 m

Etant données la configuration rectiligne de la piste (Figure 1) et la faible durée d’une course, le 100 m se prête bien à l’utilisation d’un tel appareil pour analyser les performances des coureurs. Ainsi, au cours de la dernière décennie, plusieurs épreuves prestigieuses de 100 m ont fait l’objet de mesures cinémométriques.

Ce sujet traite de l’utilisation d’un cinémomètre à effet Doppler-Fizeau pour analyser les performances d’athlètes courant un 100 m.

On traitera ici de la modélisation du cinémomètre, et plus particulièrement de la modélisation de la réflexion de l’onde sur la cible : effet Doppler.

2. Modélisation du cinémomètre

Le cinémomètre est constitué de deux sous- ensembles (Figure 2) :

 un dispositif optique, identique à celui d’une paire de jumelles courantes, dont la fonction est de permettre à l’opérateur de viser la cible ;

 et un dispositif de mesure, constitué d’un émetteur laser, d’un récepteur laser et d’une chaîne de traitement du signal, dont la fonction est de déterminer la vitesse de la cible.

L’objectif de ce problème est d’étudier la réflexion de l’onde laser sur une cible en

mouvement. Figure 2 : le cinémomètre laser

Modélisation de la réflexion de l’onde sur la cible : effet Doppler

Pour permettre à l’opérateur d’effectuer la mesure, de minces fils métalliques conducteurs sont cousus dans le dos des maillots des athlètes. On modélise ainsi l’athlète visé (la « cible ») par un objet métallique plan, parfaitement conducteur, perpendiculaire à l’axe

 

. On note V

la vitesse du référentiel R’ lié à la cible par rapport au référentiel terrestre R (Figure 3).

L’abscisse à l’instant t de la surface réfléchissante est supposée égale à : xcible = Vt

Lors de la mesure, l’émetteur contenu dans le cinémomètre émet une onde incidente de fréquence fi que l’on suppose plane, progressive et monochromatique. Cette onde se réfléchit sur la cible et revient vers le cinémomètre ; la fréquence de l’onde réfléchie est différente de celle de l’onde incidente (effet Doppler).

Figure 3 : réflexion d’une onde sur une cible en mouvement

L’objectif de ce problème est de déterminer la relation entre la vitesse de la cible et la différence des fréquences des deux ondes. Pour cela, on détermine l’expression du champ électrique dans le référentiel de la cible puis on en déduit la forme de l’onde réfléchie en fonction de celle de l’onde incidente.

2.1. Expression des champs dans le référentiel de la cible

On note E et B

les champs électrique et magnétique dans le référentiel R, E' et B'

dans R’.

Q.1. a. Ecrire l’expression de la force de Lorentz subie par une particule de charge q animée d’une vitesse v

dans le référentiel R et v'

dans le référentiel R’.

La loi de composition des vitesses indique que les vitesses vérifient la relation v v' V



 .

b. Les forces restent invariantes par changement de référentiel. Montrer que les champs E' et B'

se déduisent des champs E et B

par les relations : B

V E '

E   





 B ' B 



2.2. Expression de l’onde réfléchie

Le champ électrique de l’onde incidente a pour expression dans R :

y i

0

i u

c - x t π f 2 cos E

E 



 



 



 



 

Celui de l’onde réfléchie est cherché sous la forme :

y r

0

r u

c t x π f 2 cos E r

E 



 



 



 

 



Q.2. a. Donner la relation entre E et B

pour une onde plane progressive monochromatique.

b. En déduire les expressions respectives de E_i'

et E_r'

en fonction de E_i , E_r

, V et c.

Dans la suite, on ne se servira que de E_i' et E_r'

.

Q.3. a. Montrer grâce à des considérations énergétiques qu’à l’intérieur d’un conducteur parfait le champ électrique est nul.

On admet que dans le référentiel R’ la composante tangentielle du champ électrique est continue à chaque instant à l’interface air-cible parfait, ce qui s’écrit :









E_{i cible} _{r cible} 



 b. Exprimer E_i'





et E_r'





.

c. En déduire la fréquence fr et le coefficient de réflexion r en fonction de fi, V et c.

d. En supposant V << c, montrer par un développement limité au premier ordre que : fi – fr = fi

c V 2

e. Au même ordre, exprimer le coefficient r. Que vaut-il lorsque la cible est immobile ?

Q.4. La cible se déplace à la vitesse de 10 m.s^-1 et l’onde émise a une fréquence de 30 GHz. Donner la valeur numérique de fi – fr.