11.1 Réflexion normale d’une OPPM sur un conducteur parfait

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École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia

Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2^e année 2012–2013

Électromagnétisme

TD 11

Ondes É/M dans les conducteurs

Introduction : Dans un conducteur, le champ électrique E~˜ génère une densité de courant selon la loi d’Ohm :

~˜

J=σE~˜ (A m⁻²) (1) On peut montrer que les équations de Maxwell sont satisfaites par une OPPM ayant la forme :

~˜

E=E~₀e⁻^j^~^˜^k^·^~^r (2) où le nombre d’onde est complexe :

˜k²=ω²ǫ0µ0

1−j σ ǫ0ω

(3)

Dans le cas spécial d’un bon conducteur (σ≫ǫ0ω) on obtient : k˜=1−j

√2

| {z }

√−j

√µ0ωσ, 1 δ− j1

δ (4)

oùδ=p

2/µ0ωσ est l’épaisseur de peau.

Si l’on considère le caskˆ=eˆ_z, une OPPM dans un bon conducteur prend la forme :

~˜

E=E~₀e⁻^{j ˜}^kz =E~₀e⁻^z/δe⁻^j^z/δ (5) Sur l’interface entre le vide (1) et un milieu conducteur (2), les équations de Maxwell imposent des conditions aux limites. On note nˆ le vecteur unitaire perpendiculaire à l’interface entre les deux milieux, sortant du milieu (2). On peut montrer que les composantes normales et tangentielles (par rapport à l’interface) des champs doivent satisfaire les relations suivantes :

ˆ

n·(E~˜1−E~˜2) = ˜ρs/ǫ0 nˆ·(B~˜1−B~˜2) = 0 nˆ∧(E~˜₁−E~˜₂) =~0 nˆ∧(B~˜₁−B~˜₂) =µ0

~˜ J_s

où ρ˜s(C m⁻²) est une densité de charges surfaciques (des charges accumulées uniquement sur la surface) etJ~˜_s(A m⁻¹)est une densité de courant surfacique aussi (le courant existe uniquement sur la surface).

Le courant surfaciqueJ~˜_s existe seulement dans le cas d’un conducteur parfait (σ=

∞). En plus, dans un conducteur parfait, les champsE~˜₂ etB~˜₂ sont nuls.

TD 11 – p.1 www.polytech.unice.fr/~aliferis

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On remarque qu’à la surface d’un conducteur parfait, le champ électrique estperpen- diculaire à celui-ci ; il a uniquement une composante normale, égale à E˜_nor1= ˜ρs/ǫ0

(un résultat rencontré déjà dans le cadre de l’Électrostatique, cf. cours équ. (38)), alors que le champ magnétique est tangentiel au conducteur, sa seule composante étantB˜tan1=µ0J˜s.

Notions : bon conducteur, conducteur parfait, atténuation, épaisseur de peau, ré- flexion, transmission.

11.1 Réflexion normale d’une OPPM sur un conducteur parfait

Un conducteur parfait (métal à conductivité infinie,σ=∞) remplit le demi-espacez >0. Une OPPM de fréquencef se propage dans le vide (z <0) selonkˆ=ˆe_z. L’onde est de polarisation linéaire : le champ électrique, d’amplitude Ei0, reste toujours parallèle à ˆe_x. Cette onde est appelée « incidente » puisqu’elle rencontre, pendant sa propagation, le conducteur parfait àz= 0.

a. Donner la représentation complexe de l’onde électromagnétique incidente (E~˜_i etB~˜_i).

b. À partir des conditions de continuité des champs, déduire qu’il doit exister une onde se- condaire (« réfléchie ») dansz <0et donner sa représentation complexe (E~˜_r etB~˜_r).

c. Déterminer le courant surfacique de densité J~˜_s(A m⁻¹) circulant sur le plan z = 0 (à la surface du conducteur). Que signifie «A m⁻¹» ? Comparer ce courant au champ électrique incident.

d. Le courantJ~˜_s, localisé àz = 0, rayonne une onde É/M dans le vide (z <0) et une autre dans le conducteur (z >0). Quels sont les rôles de ces ondes ?

e. Calculer le champ électromagnétique total, résultant de la superposition de l’onde initiale (incidente) et des ondes créées par le courant du conducteur. Donner les représentations complexe (E~˜,B~˜) et réelle (E~,B~). Caractériser les ondes totales dans les deux demi-espaces (vide et conducteur).

Résultat:

c. J~˜_s =^2E_µ₀ⁱ⁰_c ˆe_x e.

~˜ E=

(−2 jEi0sin(kz)eˆ_x , z <0

0 , z >0

~˜ B=

(2^E_cⁱ⁰cos(kz)ˆe_y , z <0

0 , z >0

E~=

(2Ei0sin(kz) sin(ωt)eˆ_x , z <0

0 , z >0

B~=

(2^E_cⁱ⁰cos(kz) cos(ωt)eˆ_y , z <0

0 , z >0

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11.2 Réflexion normale d’une OPPM sur un bon conducteur

On revient au problème précédant (11.1) et on remplace le conducteur parfait par un métal de conductivité σ élevée (σ ≫ ωǫ0) mais finie (donc de résistivité ρ > 0). Dans cette situation, l’onde É/M incidente donne naissance aussi bien à une onde réfléchie dans le vide (z <0, comme avant) mais aussi à une onde transmise, à l’intérieur du conducteur (z >0).

a. Écrire les représentations complexes (champs électrique et magnétique) des ondes incidente, réfléchie et transmise (d’amplitude Ei0,E˜r0et E˜t0 respectivement).

b. Appliquer la condition de continuité des champs électriques et donner la relation entreEi0, E˜r0 etE˜t0 qui en résulte.

c. Appliquer la condition de continuité des champs magnétiques et donner la deuxième relation entreEi0,E˜r0 etE˜t0qui en résulte.

d. Exprimer l’amplitude du champ électrique de l’onde transmise dans le conducteur,E˜t0, en fonction de celle de l’onde incidenteEi0. Que devient cette expression dans le casσ→ ∞? e. Donner l’expression du courant ohmiqueJ~˜(A m⁻²)dans le conducteur. Que signifie «A m⁻²» ?

Calculer le courantI˜dans une « tranche » du conducteur d’épaisseur h, parallèle au sens du courant et à la direction de propagation.

f. Calculer le rapport I/h(A m˜ ⁻¹) de la question précédante dans le cas d’un conducteur parfait. Comparer avec les résultats de l’exercice11.1.

Résultat:

a.

~˜ E_i=

(Ei0e⁻^jkzeˆ_x , z <0

0 , z >0

~˜ B_i=

(_E

i0

c e⁻^j^kzeˆ_y , z <0

0 , z >0

~˜ E_r =

(E˜r0e^j^kzeˆ_x , z <0

0 , z >0

~˜ B_r =

(−^E^˜c^r0e^j^kzˆe_y , z <0

0 , z >0

~˜ E_t=

(0 , z <0

E˜t0e⁻^{j ˜}^k^t^zeˆ_x , z >0

~˜ B_t=

(0 , z <0

˜ktE˜t0

ω e⁻^{j ˜}^k^t^zeˆ_y , z >0

˜kt=1− j

δ δ=

r 2 µ0ωσ

b. Ei0+ ˜Er0= ˜Et0

c. ^E_cⁱ⁰ −^E^˜_c^r0 = ¹_ωδ⁻^jE˜t0

d. E˜t0=_ωδ+c^2ωδ

−jcEi0

e. J~˜=σE~˜_t I˜=R+∞

z=0

Ry0+h y=y0

~˜

J·eˆ_xdydz= _µ₀(1+ j )(ωδ+c⁴ −jc)Ei0hseloneˆ_x f. ^I_h^˜^σ−→^→∞ ^2Eµ0ⁱ⁰c =kJ~˜_sk