École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia
Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année 2012–2013
Électromagnétisme
TD 11
Ondes É/M dans les conducteurs
Introduction : Dans un conducteur, le champ électrique E~˜ génère une densité de courant selon la loi d’Ohm :
~˜
J=σE~˜ (A m−2) (1) On peut montrer que les équations de Maxwell sont satisfaites par une OPPM ayant la forme :
~˜
E=E~0e−j~˜k·~r (2) où le nombre d’onde est complexe :
˜k2=ω2ǫ0µ0
1−j σ ǫ0ω
(3)
Dans le cas spécial d’un bon conducteur (σ≫ǫ0ω) on obtient : k˜=1−j
√2
| {z }
√−j
√µ0ωσ, 1 δ− j1
δ (4)
oùδ=p
2/µ0ωσ est l’épaisseur de peau.
Si l’on considère le caskˆ=eˆz, une OPPM dans un bon conducteur prend la forme :
~˜
E=E~0e−j ˜kz =E~0e−z/δe−jz/δ (5) Sur l’interface entre le vide (1) et un milieu conducteur (2), les équations de Maxwell imposent des conditions aux limites. On note nˆ le vecteur unitaire perpendiculaire à l’interface entre les deux milieux, sortant du milieu (2). On peut montrer que les composantes normales et tangentielles (par rapport à l’interface) des champs doivent satisfaire les relations suivantes :
ˆ
n·(E~˜1−E~˜2) = ˜ρs/ǫ0 nˆ·(B~˜1−B~˜2) = 0 nˆ∧(E~˜1−E~˜2) =~0 nˆ∧(B~˜1−B~˜2) =µ0
~˜ Js
où ρ˜s(C m−2) est une densité de charges surfaciques (des charges accumulées uni- quement sur la surface) etJ~˜s(A m−1)est une densité de courant surfacique aussi (le courant existe uniquement sur la surface).
Le courant surfaciqueJ~˜s existe seulement dans le cas d’un conducteur parfait (σ=
∞). En plus, dans un conducteur parfait, les champsE~˜2 etB~˜2 sont nuls.
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On remarque qu’à la surface d’un conducteur parfait, le champ électrique estperpen- diculaire à celui-ci ; il a uniquement une composante normale, égale à E˜nor1= ˜ρs/ǫ0
(un résultat rencontré déjà dans le cadre de l’Électrostatique, cf. cours équ. (38)), alors que le champ magnétique est tangentiel au conducteur, sa seule composante étantB˜tan1=µ0J˜s.
Notions : bon conducteur, conducteur parfait, atténuation, épaisseur de peau, ré- flexion, transmission.
11.1 Réflexion normale d’une OPPM sur un conducteur parfait
Un conducteur parfait (métal à conductivité infinie,σ=∞) remplit le demi-espacez >0. Une OPPM de fréquencef se propage dans le vide (z <0) selonkˆ=ˆez. L’onde est de polarisation linéaire : le champ électrique, d’amplitude Ei0, reste toujours parallèle à ˆex. Cette onde est appelée « incidente » puisqu’elle rencontre, pendant sa propagation, le conducteur parfait àz= 0.
a. Donner la représentation complexe de l’onde électromagnétique incidente (E~˜i etB~˜i).
b. À partir des conditions de continuité des champs, déduire qu’il doit exister une onde se- condaire (« réfléchie ») dansz <0et donner sa représentation complexe (E~˜r etB~˜r).
c. Déterminer le courant surfacique de densité J~˜s(A m−1) circulant sur le plan z = 0 (à la surface du conducteur). Que signifie «A m−1» ? Comparer ce courant au champ électrique incident.
d. Le courantJ~˜s, localisé àz = 0, rayonne une onde É/M dans le vide (z <0) et une autre dans le conducteur (z >0). Quels sont les rôles de ces ondes ?
e. Calculer le champ électromagnétique total, résultant de la superposition de l’onde initiale (incidente) et des ondes créées par le courant du conducteur. Donner les représentations complexe (E~˜,B~˜) et réelle (E~,B~). Caractériser les ondes totales dans les deux demi-espaces (vide et conducteur).
Résultat:
c. J~˜s =2Eµ0i0c ˆex e.
~˜ E=
(−2 jEi0sin(kz)eˆx , z <0
0 , z >0
~˜ B=
(2Eci0cos(kz)ˆey , z <0
0 , z >0
E~=
(2Ei0sin(kz) sin(ωt)eˆx , z <0
0 , z >0
B~=
(2Eci0cos(kz) cos(ωt)eˆy , z <0
0 , z >0
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11.2 Réflexion normale d’une OPPM sur un bon conducteur
On revient au problème précédant (11.1) et on remplace le conducteur parfait par un métal de conductivité σ élevée (σ ≫ ωǫ0) mais finie (donc de résistivité ρ > 0). Dans cette situation, l’onde É/M incidente donne naissance aussi bien à une onde réfléchie dans le vide (z <0, comme avant) mais aussi à une onde transmise, à l’intérieur du conducteur (z >0).
a. Écrire les représentations complexes (champs électrique et magnétique) des ondes incidente, réfléchie et transmise (d’amplitude Ei0,E˜r0et E˜t0 respectivement).
b. Appliquer la condition de continuité des champs électriques et donner la relation entreEi0, E˜r0 etE˜t0 qui en résulte.
c. Appliquer la condition de continuité des champs magnétiques et donner la deuxième relation entreEi0,E˜r0 etE˜t0qui en résulte.
d. Exprimer l’amplitude du champ électrique de l’onde transmise dans le conducteur,E˜t0, en fonction de celle de l’onde incidenteEi0. Que devient cette expression dans le casσ→ ∞? e. Donner l’expression du courant ohmiqueJ~˜(A m−2)dans le conducteur. Que signifie «A m−2» ?
Calculer le courantI˜dans une « tranche » du conducteur d’épaisseur h, parallèle au sens du courant et à la direction de propagation.
f. Calculer le rapport I/h(A m˜ −1) de la question précédante dans le cas d’un conducteur parfait. Comparer avec les résultats de l’exercice11.1.
Résultat:
a.
~˜ Ei=
(Ei0e−jkzeˆx , z <0
0 , z >0
~˜ Bi=
(E
i0
c e−jkzeˆy , z <0
0 , z >0
~˜ Er =
(E˜r0ejkzeˆx , z <0
0 , z >0
~˜ Br =
(−E˜cr0ejkzˆey , z <0
0 , z >0
~˜ Et=
(0 , z <0
E˜t0e−j ˜ktzeˆx , z >0
~˜ Bt=
(0 , z <0
˜ktE˜t0
ω e−j ˜ktzeˆy , z >0
˜kt=1− j
δ δ=
r 2 µ0ωσ
b. Ei0+ ˜Er0= ˜Et0
c. Eci0 −E˜cr0 = 1ωδ−jE˜t0
d. E˜t0=ωδ+c2ωδ
−jcEi0
e. J~˜=σE~˜t I˜=R+∞
z=0
Ry0+h y=y0
~˜
J·eˆxdydz= µ0(1+ j )(ωδ+c4 −jc)Ei0hseloneˆx f. Ih˜σ−→→∞ 2Eµ0i0c =kJ~˜sk
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