PT 2018-2019 Pour le jeudi 15-11-2018
DEVOIR LIBRE n° 2
L’usage de calculatrices est autorisé pour le 1er problème et interdit pour le 2ème problème.
PREMIER PROBLEME : Turbine à gaz (d’après banque PT 2012)
L’usage de calculatrices est autorisé pour ce problème. A rendre avec la copie : 1 document réponse.
On se propose d’étudier dans ce problème le fonctionnement d’une turbine à gaz (ou turbine à combustion). Elles fonctionnent habituellement selon un cycle ouvert selon le schéma de la Figure 1.
L’air frais pris à l’atmosphère est comprimé à haute pression dans le compresseur (C) puis il est admis dans la chambre de combustion (chaudière). Les gaz chauds résultants de la combustion se détendent alors dans la turbine (T) avant d’être évacués à l’atmosphère sous forme de gaz d’échappement.
Le compresseur et la turbine sont montés sur le même arbre permettant de récupérer un travail noté wnet, travail net récupéré pour l’admission d’un kg d’air frais.
I) PRELIMINAIRES
Considérons une machine thermodynamique ouverte telle que présentée sur la Figure 2. Le fluide s’écoule en régime permanent avec un débit massique noté D. Il entre dans la machine à une altitude ze dans les conditions de pression et température (Pe, Te) avec une vitesse d’écoulement ce. Il sort de la machine à une altitude zs avec une vitesse cs dans les conditions de pression et température (Ps, Ts). Les canalisations d’entrée et de sortie de la machine sont calorifugées. Le fluide ne peut échanger de chaleur avec l’extérieur que lorsqu’il se trouve dans la machine.
1) Montrer que le premier principe de la thermodynamique appliqué à un système que vous préciserez soigneusement, permet d’établir l’expression suivante :
c -c
g
z -z
q w
2 h 1 -
hs e s2 2e s e
avec :
- h enthalpie massique du fluide
- q transfert thermique massique reçu par le fluide de l’extérieur lorsqu’il est dans la machine - w travail massique indiqué reçu par le fluide de l’extérieur lorsqu’il traverse la machine.
w et q étant pris comme des grandeurs algébriques.
2) Par la suite, on sera amené à étudier un écoulement d’air supposé gaz parfait, non pesant et de variation d’énergie cinétique négligeable. On notera alors cpm et cvm les capacités thermiques massiques à pression et volume constants. Elles seront considérées indépendantes de la température et de rapport :
vm pm
c γc
En appliquant les hypothèses précédentes et à partir de l’expression démontrée dans la question 1, proposez une expression simplifiée faisant intervenir les températures d’entrée et de sortie du fluide.
3) On note R la constante molaire des gaz parfaits et M la masse molaire de l’air. Déterminer cpm et cvm en fonction de R, M et γ.
4) Pour l’air, on prend M = 29 g.mol-1 et γ = 1,4 et R = 8,31 J.K-1.mol-1. Calculer cpm et cvm.
II) MODELISATION IDEALE DU CYCLE : CYCLE DE JOULE
Le cycle ouvert présenté en Figure 1, peut être modélisé comme un cycle fermé. Ce cycle est présenté sur la Figure 3.
Les évolutions de compression et de détente restent inchangées. Le phénomène de combustion est remplacé par une évolution d’échange de chaleur à pression constante avec une source de chaleur externe.
L’échappement des gaz brûlés et l’admission d’air frais est remplacé par une évolution d’échange de chaleur à pression constante avec le milieu extérieur.
L’air subi une succession de 4 évolutions réversibles au cours du cycle :
- au point 1, l’air entre dans le compresseur pour y subir une compression isentropique jusqu’au point 2.
- entre les points 2 et 3, l’air échange de la chaleur avec un fluide extérieur dans un échangeur de chaleur isobare modélisant la chaudière.
- au point 3, l’air entre dans la turbine pour y subir une détente isentropique jusqu’au point 4.
- entre les points 4 et 1, l’air échange de la chaleur avec l’atmosphère dans un échangeur de chaleur isobare. L’air du cycle est ainsi refroidi.
5) On note v le volume massique de l’air. Représenter dans le diagramme de Clapeyron (P, v) le cycle subi par l’air. On précisera les points 1, 2, 3 et 4, et le sens de parcours du cycle.
On donne le cycle dans le diagramme (T, s) où s est l’entropie massique de l’air en Figure 4.
6) Exprimer l’entropie massique de l’air à la température T et à la pression P, notée s(T, P), en fonction de l’entropie massique à la température T0 et à la pression P0 notée s(T0, P0) = s0, de T0, P0.
7) En déduire qu’une évolution isobare se représente comme une exponentielle conformément au cycle tracé dans le diagramme (T, s) de la Figure 4.
Détermination des grandeurs énergétiques
Par la suite, on notera toute grandeur relative au point i du cycle, Xi. Par exemple, la température du point 1 est notée T1.
8) Déterminer les transferts thermiques subis par l’air dans les deux échangeurs de chaleur que l’on notera respectivement q23 et q41 en fonction des différentes températures des points 1, 2, 3 et 4 du cycle et des capacités thermiques de l’air.
9) Déterminer le travail massique indiqué, noté w12, reçu par l’air en traversant le compresseur en fonction des différentes températures des points 1, 2, 3 et 4 du cycle et des capacités thermiques de l’air.
10) Déterminer le travail massique indiqué, noté w34, reçu par l’air en traversant la turbine en fonction des différentes températures des points 1, 2, 3 et 4 du cycle et des capacités thermiques de l’air.
11) Exprimer wnet (défini en début d’énoncé) en fonction des travaux w12 et w34.
12) En déduire une expression de wnet uniquement en fonction des différentes températures des points 1, 2, 3 et 4 du cycle et des capacités thermiques de l’air.
Expression du rendement et optimisation 13) Définir le rendement de l’installation.
14) Montrer que l’on peut le mettre sous la forme :
2 1
T - T η1
15) On introduit le taux de compression défini par :
1 2
P τP
Montrer alors que l’on peut mettre le rendement sous la forme :
z -1 η1
avec z que vous exprimerez uniquement en fonction du taux de compression et du rapport des capacités thermiques à pression et volume constant .
16) D’après la question précédente, sur quelle grandeur peut-on influer pour augmenter le rendement ? Au cours d’une étude technico-commerciale du dispositif, quel autre élément faudra-t-il prendre en compte pour concevoir la turbine à gaz ?
Optimisation du travail récupéré sur l’arbre
On impose le fonctionnement de cette turbine à gaz à T1 fixé à 300 K (température de l’air pris à l’atmosphère), T3 fixé à 1000 K (grandeur limitée par la résistance des matériaux des aubes de la turbine).
T2 et T4, quant à elles, varient selon le rapport de compression choisi.
17) Dans le diagramme de Clapeyron, que représente l’aire du cycle subi par le fluide ? On justifiera avec soin la réponse.
18) Par le même type de raisonnement, en déduire ce que représente l’aire du cycle subi par le fluide en diagramme (T, s). On justifiera avec soin la réponse.
19) Pourquoi alors obtient-on par simple lecture de l’aire du cycle subi par le fluide en diagramme (T, s), le travail net récupéré sur l’arbre wnet.
20) Les températures des points 1 et 3 du cycle étant fixées ainsi que la pression entre les points 4 et 1 du cycle, représenter le cycle de Joule (en diagramme (T, s)), dans les deux cas suivants :
a) Un rapport de compression tel que T2 se rapproche de la valeur de T3. b) Un rapport de compression tel que T2 se rapproche de la valeur de T1. 21) En déduire que wnet passe forcément par un maximum.
22) Exprimer le travail net wnet uniquement en fonction de cpm, T3, T1 et z.
23) Déterminer par le calcul la valeur de z rendant wnet maximal uniquement en fonction de T1 et T3 (T1 et T3 étant fixés).
24) En déduire la valeur maximale que wnet peut atteindre. On exprimera wnet uniquement en fonction de cpm, T1 et T3.
25) Calculer numériquement wnet, T2, T4 et le rendement dans ce cas de figure.
III) MISE EN PLACE D’UNE COMPRESSION ETAGEE
La compression des gaz est une opération délicate et surtout très coûteuse. Pour répondre à ce problème, on est amené à procéder à une compression étagée comme proposé sur la partie droite de la Figure 5.
Au point 1, l’air est sous la pression P1 et à la température T1. Compression à un étage :
- Evolution 1 2 : compression isentropique de P1 à P2.
Compression à deux étages :
- Evolution 1 1a : compression isentropique de P1 à Px.
- Evolution 1a 1b : refroidissement isobare jusqu’à la température T1. - Evolution 1b 2a : compression isentropique de Px à P2.
26) On donne, en Figure 6, le tracé, à partir d’un point 1 du diagramme de Clapeyron, de deux évolutions : l’une isotherme, l’autre isentropique. Reprenez sur votre copie ce diagramme en identifiant le tracé de l’évolution isentropique et de l’évolution isotherme. On justifiera la réponse en démontrant une relation entre la pente d’une isotherme et la pente d’une isentropique.
27) Toujours à partir de la Figure 6, tracer un nouveau diagramme de Clapeyron en y faisant figurer la courbe représentative de l’évolution de 1 2 relative à la configuration compression à un étage. Sur le même graphe, représenter les trois évolutions 1 1a, 1a 1b et 1b 2a relatives à la configuration compression à deux étages.
28) En déduire par un raisonnement graphique, l’intérêt d’une compression à deux étages par rapport à la compression à un étage.
29) Dans un diagramme entropique (T, s), représenter les trois isobares P1, Px, P2. Faire figurer également l’isotherme T1. Et enfin faire apparaître les trois évolutions 1 1a, 1a 1b et 1b 2a.
On pourrait alors montrer que, pour obtenir un travail minimal de compression, il faut choisir un rapport de pression entre chaque étage identique. A savoir ici :
1 x x 2
P P P P
IV) TURBINE A GAZ AVEC COMPRESSEUR ET TURBINE A DEUX ETAGES ET REGENERATEUR
Ce que l’on vient de montrer lors de la partie III, avec le compresseur, est valable aussi pour la turbine. La Figure 7 représente le schéma de fonctionnement d’une turbine à gaz comprenant un compresseur à deux étages, une chambre de combustion, une turbine à deux étages puis un régénérateur.
Les évolutions subies par l’air sont les suivantes :
1 2 : Compression isentropique de P1 à Px.
2 3 : Refroidissement isobare.
3 4 : Compression isentropique de Px à P2.
4 5 : L’air passe dans le régénérateur où il est mis en contact avec l’air chaud récupéré en sortie de la turbine à deux étages (point 9). Ce régénérateur permet un préchauffage de l’air avant la combustion. L’air y reçoit un transfert thermique q45 de manière isobare.
5 6 : Passage de l’air dans la chambre de combustion où il reçoit de l’extérieur de manière isobare un transfert thermique q56.
6 7 : Détente isentropique de P2 à Px.
7 8 : Réchauffement isobare.
8 9 : Détente isentropique de Px à P1.
9 10 : L’air passe dans le régénérateur (supposé idéal) où il est mis en contact avec l’air sortant du compresseur à deux étages (point 4). L’air y reçoit un transfert thermique q910 de manière isobare.
10 1 : Refroidissement isobare. L’air reçoit de l’extérieur un transfert thermique q101.
Conformément à ce qui a été dit à la fin de la partie III, le rapport des pressions de chaque étage doit être le même. Ce résultat est aussi valable pour les étages de détente.
Ce qui nous permet de poser : T1 = T3 ; T4 = T2 = T10 ; T5 = T7 = T9 et T6 = T8.
30) Dans le diagramme (T, s) de la Figure 8 repris en document annexe que l’on rendra avec la copie, sur laquelle sont représentées les isobares P1, P2 et Px et les isothermes T1, T2, T5 et T6, tracer le cycle correspondant au schéma de la Figure 7. On prendra soin de faire figurer les points 1 à 10 du schéma de la Figure 7. (les isobares et isothermes sont à identifier).
31) Où peut-on lire graphiquement par simple différence entre deux grandeurs q45, q56, q910 et q101 à un coefficient près que l’on donnera ? Les faire figurer sur votre diagramme de la question 30.
32) Exprimer alors le rendement de cette installation en fonction des différents transferts thermiques massiques et des travaux échangés au cours du cycle. En déduire une forme de ce rendement uniquement en fonction des températures T1, T2, T5 et T6.
33) On désire augmenter le nombre d’étages de compression et de détente, tout en gardant un même rapport de compression (de détente) pour chaque étage de compression (de détente). Soit n étages de compression pour passer de P1 à P2. Exprimer le taux de compression d’un étage en fonction de P1, P2
et n.
34) En déduire vers quelle valeur tend ce rapport si n tend vers plus l’infini.
On peut alors, dans le cas d’un nombre d’étage de compression et de détente infini, assimiler le cycle subi par l’air à un cycle composé de deux isobares P1 et P2 et deux isothermes de température Ta et Tb (Ta <
Tb), décrit de manière réversible.
35) Tracer le cycle dans le diagramme (T, s).
36) Identifier sur ce schéma les évolutions correspondantes au fonctionnement du régénérateur, du réchauffement lors des détentes, et du refroidissement lors des compressions.
37) En appliquant le second principe de la thermodynamique, exprimer qch le transfert thermique massique échangé par le fluide au cours du réchauffement lors des détentes, en fonction des températures et pressions caractéristiques du cycle tracé à la question 35, et en fonction de R et M.
38) De même, exprimer qfr le transfert thermique massique échangé par le fluide au cours du refroidissement lors des compressions.
39) En déduire l’expression du rendement en fonction des températures Ta et Tb.
40) Quelle remarque peut-on faire ? Dans la pratique, on se contente de 3 étages. Pourquoi ?
DEUXIEME PROBLEME : Etude d’un congélateur (d’après banque PT 2013)
L’usage de calculatrices est interdit pour ce problème. Les deux parties de ce problème sont largement indépendantes.
La première partie du problème est consacrée à l’étude des échanges énergétiques nécessaires au bon fonctionnement du congélateur d’un réfrigérateur et la seconde partie à l’étude du cycle thermodynamique décrit par le fluide du réfrigérateur permettant d’atteindre un bon C.O.P. (coefficient de performance ou encore efficacité).
Dans le congélateur, la température intérieure est maintenue à – 10 °C, été comme hiver. On considérera que la température extérieure est 20 °C en hiver et 30 °C en été. Le fluide thermodynamique utilisé est le R134A dont les données figurent dans l’annexe 2. On considère, sauf mention explicite de l’énoncé, que le réfrigérateur fonctionne en régime permanent. Toutes les données numériques utiles sont regroupées en fin de problème.
Les candidats feront les arrondis qu’ils jugent nécessaires pour fournir des résultats numériques à un ou deux chiffres significatifs, ce dernier point étant laissé à l’initiative du candidat.
Les calculs numériques entreront pour une part importante du barème.
I) ETUDE DES ECHANGES ENERGETIQUES
Le fluide traverse un compresseur, un détendeur, un évaporateur et un condenseur, ces deux derniers éléments étant figurés par les échangeurs 1 ou 2 :
1) Pourquoi ce cycle constitue-t-il celui d’une machine ditherme réceptrice ?
2) Dans le cas d’un réfrigérateur, au contact de quel échangeur (condenseur ou évaporateur) doit se trouver le contenu du réfrigérateur ? Justifier.
3) L’évaporateur constitue-t-il l’échangeur 1 ou le 2 ? Justifier.
4) Quel est le rôle du condenseur ?
5) Faut-il abaisser ou augmenter la haute pression du cycle quand on passe de l’été à l’hiver ? Justifier.
6) Quelle en est la conséquence sur le COP ?
On s’intéresse à la puissance nécessaire au fonctionnement de ce réfrigérateur en régime permanent, en été, alors qu’il est à moitié rempli en volume par une masse m = 20 kg d’aliments.
On commence par évaluer la puissance perdue due au passage à l’état solide de la vapeur d’eau contenue dans l’air humide à l’intérieur du congélateur lorsqu’on l’ouvre et le referme (condensation de la vapeur d’eau). On considère que, lors d’une ouverture-fermeture, tout l’air contenu dans le congélateur est renouvelé. Il faut aussi tenir compte de l’étanchéité imparfaite des compartiments. Pour cela, on estime que tout se passe comme si l’on ouvrait 40 fois par demi-journée (12h) le congélateur.
La quantité de vapeur d’eau présente dans l’air peut se caractériser par son humidité relative, HR, rapport de la pression partielle de l’eau à sa pression de vapeur saturante à la même température, ou par son humidité absolue, HA, rapport de la masse de vapeur d’eau exprimée en gramme présente dans un volume donné à la masse d’air sec de ce volume exprimé en kilogramme. Le diagramme de l’air humide est fourni en annexe 1 : il porte en ordonnée HA, et en abscisse les températures. Les courbes obliques donnent la valeur de HR. La courbe limitant le graphique à gauche correspond à la quantité maximale de vapeur d’eau que l’air peut contenir sans qu’elle ne se condense. Lorsque l’air contient cette quantité de vapeur, on dit qu’il est saturé en humidité ou que son hygrométrie est de 100 %.
7) Sachant que le taux d’humidité relative moyen est de 60 % en été, calculer HA à partir des données fournies en fin d’énoncé. Vérifier cette valeur sur le diagramme de l’air humide fourni en annexe 1.
8) Sur ce même diagramme, déterminer la température du point de rosée, température en dessous de laquelle la vapeur d’eau présente dans l’air humide se condense.
9) Calculer la perte de puissance, Peau, que représente la condensation totale à l’état solide de la vapeur d’eau présente dans l’air ambiant l’été. On fera le calcul en prenant la valeur de la chaleur latente de vaporisation de l’eau à 0 °C. (On rappelle que le compartiment du congélateur est à moitié rempli).
Le problème n’est pas la puissance perdue mais la formation de givre qui découle de la condensation de la vapeur d’eau.
10) Pourquoi faut-il dégivrer régulièrement le congélateur ?
On cherche maintenant à évaluer les pertes dues à la conduction thermique. Le congélateur est capable de maintenir pendant 6h au maximum au-dessous de 0 °C, sans décongélation, la température de 20 kg d’aliments en cas de panne de courant. On considère que la température de congélation des aliments est 0 °C.
11) Calculer la puissance moyenne relative aux pertes par conduction thermique, Pcond. On cherche enfin à trouver Pcong la puissance nécessaire à la congélation des aliments.
12) Calculer Pcong pour un congélateur capable de congeler les 20 kg de nourriture, initialement à 20 °C, en 12h.
13) En déduire la puissance frigorifique globale nécessaire pour congeler les aliments et les maintenir à une température de – 10 °C.
Pour la suite du problème, on prendra une valeur de 200 W.
14) Pour une puissance du compresseur P supposée constante et une capacité thermique C du congélateur et de son contenu, montrer, en appliquant les principes de la thermodynamique à un ou plusieurs systèmes que l’on précisera clairement, que l’équation différentielle liant le temps t et la température interne du congélateur, T, s’écrit en régime transitoire :
dT 1 T - C T - dt
P ext
dans le cas d’un air extérieur à la température constante Text et pour un fonctionnement réversible du congélateur.
15) Pour Text = 30 °C, en déduire la durée nécessaire pour atteindre le régime permanent, caractérisé par une température de – 10 °C, après une panne de courant qui aurait ramené à 0 °C, sans décongélation des aliments, la température à l’intérieur du congélateur.
II) ETUDE DU CYCLE THERMODYNAMIQUE
Les caractéristiques du cycle sont celles qui prévalent en été : la haute pression est alors réglée à 10,16 bar et la basse pression à 1,06 bar.
Dans le compresseur, le fluide frigorigène arrive à l’état gazeux, sous basse pression et on considère la compression isentropique.
Dans le condenseur, les vapeurs de fluide frigorigène se refroidissent (« désurchauffe »), puis le fluide se liquéfie. Le fluide liquide se refroidit encore de 10 °C (sous-refroidissement) avant de quitter le condenseur. Les transformations y sont toutes supposées isobares.
Le détendeur est constitué d’un tuyau très fin, indéformable, qui ne reçoit pas de chaleur. Le fluide frigorigène s’y vaporise partiellement. La détente est adiabatique.
Dans l’évaporateur, le fluide frigorigène s’évapore totalement ; le gaz formé est encore légèrement réchauffé, de 5 °C (surchauffe). Les transformations y sont toutes supposées isobares.
L’écoulement du fluide à travers les différents organes est lent et stationnaire.
Le gaz est assimilé à un gaz parfait.
16) Montrer que la transformation dans le détendeur est isenthalpique.
17) Dans le diagramme entropique (T, s), donner l’allure, en la justifiant, d’une isobare pour le liquide, le système diphasé, la vapeur.
18) Sur ce diagramme théorique :
- Tracer la courbe de saturation du fluide.
- Tracer en pointillé le cycle sans surchauffe ni sous-refroidissement et en trait plein le cycle avec surchauffe et sous-refroidissement.
On raisonne sur le cycle « réel » avec surchauffe et sous-refroidissement.
On note 1 l’état du fluide à l’entrée du compresseur, 2 l’état du fluide à la sortie du compresseur, etc.
19) Préciser l’état physique du fluide pour chaque état.
20) En quoi la surchauffe et le sous-refroidissement constituent-ils des améliorations pour le fonctionnement du congélateur ?
21) En vous aidant des données de l’annexe 2, calculer le titre massique en vapeur à la sortie du détendeur (on assimilera le liquide sous-refroidi à du liquide saturant à la même température). On ne retiendra que le 1er chiffre après la virgule.
22) Calculer la quantité de chaleur échangée par unité de masse du fluide dans l’évaporateur. Exprimez la variation d’entropie associée.
23) Proposer une méthode pour calculer la température T2 atteinte en fin de compression isentropique. On trouve T2 60 °C.
24) Calculer le travail massique indiqué reçu par le fluide dans le compresseur.
25) Calculer la quantité de chaleur échangée par unité de masse du fluide dans le condenseur. (on assimilera le liquide sous-refroidi à du liquide saturant à la même température). Exprimer la variation d’entropie associée.
26) Exprimer la variation d’entropie massique associée à la détente. Peut-on prévoir son signe ?
27) Exprimer, puis calculer le COP de ce réfrigérateur. Le comparer à celui du cycle de Carnot qui fonctionnerait entre une source chaude à 30 °C et une source froide à – 10 °C. Conclure.
28) Montrer qu’abaisser la température de condensation permet de réaliser une économie. Pourquoi ne peut-on néanmoins abaisser trop cette température ?
29) Rappeler les différentes étapes de la démonstration du premier principe de la thermodynamique des systèmes ouverts. (On ne demande pas la démonstration mais l’énonciation brève et rigoureuse des différentes hypothèses et étapes du raisonnement).
30) Donner la valeur théorique du débit massique de R134A pour maintenir un régime permanent à – 10
°C en tenant compte des pertes calculées au I.
Données numériques :
- dimensions du congélateur : 20 cm 50 cm 50 cm
- pression atmosphérique : Patm = 1013 mbar
- pression saturante de l’eau à 30 °C : Psat = 4000 Pa
- chaleur latente massique de vaporisation de l’eau à 0 °C : lv = 2500 kJ.kg-1
- chaleur latente massique de fusion de la glace à 0 °C : lf = 300 kJ.kg-1 - chaleur latente massique de décongélation des aliments : lc = 250 kJ.kg-1 - capacité thermique massique de l’eau vapeur : cvap = 1410 J.kg-1.K-1 - capacité thermique massique de l’eau liquide : cl = 4200 J.kg-1.K-1
- capacité thermique massique de la glace : cs = 2100 J.kg-1.K-1 - capacité thermique massique de l’air sec : ca = 1000 J.kg-1.K-1
- capacité thermique massique des aliments décongelés : cdec = 3600 J.kg-1.K-1 - capacité thermique massique des aliments congelés : ccong = 1500 J.kg-1.K-1 - capacité thermique du congélateur : C = 5.105 J.K-1
- masse molaire de l’eau : Meau = 18 g.mol-1 - masse molaire de l’air : Mair = 29 g.mol-1
- masse volumique de l’air supposée constante entre 0 °C et 30 °C : air = 1,3 kg.m-3
- capacité thermique massique à pression constante du R134A : cp = 800 J.kg-1.K-1 - ln(273/263) = 0,04
