PT 2018-2019 Pour le jeudi 04-10-2018
DEVOIR LIBRE n° 1
L’usage de calculatrices est interdit pour l’ensemble des problèmes constituant ce devoir.
PREMIER PROBLEME : Etude d’un oscillateur sinusoïdal L’usage de calculatrices est interdit pour ce problème.
1) On considère le quadripôle représenté sur la figure 1 ci-dessous.
Dans ce montage, C1 et C2 sont les capacités des deux condensateurs ; v(t) et v2(t) sont les valeurs instantanées des tensions d’entrée et de sortie du quadripôle.
On suppose que le régime de fonctionnement du quadripôle est sinusoïdal de pulsation .
Pour la suite du problème, on utilisera la notation complexe dont on rappelle que : - l’amplitude complexe de la grandeur instantanée sinusoïdale v(t) est notée V, - le nombre complexe dont le carré est égal à - 1 est noté j, ce qui implique j2 = - 1.
1.1) Donner le nom de ce montage classique et préciser son utilité.
Exprimer le rapport V V2
en fonction de C1 et C2.
Quelle relation existe-t-il entre les phases de v2(t) et de v(t) ?
1.2) On considère maintenant le quadripôle représenté sur la figure 2 ci-dessous.
On reconnait, en partie dans cette représentation, le quadripôle de la figure 1.
Dans ce montage, R est la valeur de la résistance, L celle de l’inductance de la bobine ; v1(t) est la tension d’entrée du nouveau quadripôle.
On convient de noter Z l’impédance complexe de l’ensemble formé par la bobine d’inductance (L) et les deux condensateurs (C1 et C2).
Etablir l’expression de Z en fonction de L, C1, C2 et .
1.3) Exprimer le rapport V1
V en fonction de R et Z, puis en fonction de R, L, C1, C2 et .
1.4) En déduire l’expression de la fonction de transfert T(j) =
1 2
V V
que l’on mettra sous la forme :
j j d b a 1 ) 1 j ( T
Expliciter les coefficients a, b et d de la fonction de transfert T en fonction de R, L, C1 et C2. Quelles sont les dimensions des coefficients a, b et d ?
2) On envisage maintenant l’utilisation d’un amplificateur linéaire intégré, supposé idéal, de gain infini, en régime de fonctionnement linéaire. Dans ces conditions, on a : v+ = v- et i+ = i- = 0 (figure 3 ci- dessous).
L’amplificateur linéaire intégré est inséré dans le montage représenté sur la figure 4 ci-dessous.
R1 et R2 sont deux résistances. On remarquera la présence du quadripôle de la figure 2 dans ce montage.
2.1) On envisage, pour ce montage, un régime de fonctionnement sinusoïdal permanent.
Exprimer l’amplitude complexe V- , de deux manières différentes, tout d’abord : - en fonction de V , e V , Rs 1 et R2, puis
- en fonction de T et V . s
En déduire une relation entre V et e V faisant intervenir T, Rs 1 et R2.
2.2) On relie maintenant R1 directement à la masse, ce qui revient à annuler la tension d’entrée (ve = 0).
Montrer que, sous certaines conditions, on peut malgré tout avoir vs(t) différent de zéro.
Dans cette situation, vs(t) peut être une fonction sinusoïdale du temps. Exprimer la condition d’oscillation par une relation simple entre R1, R2, C1 et C2.
On pose C’ =
2 1
2 1
C C
C C
. Exprimer la pulsation des oscillations en fonction de L et C’.
DEUXIEME PROBLEME : Autour de l’Amplificateur Linéaire Intégré
L’usage de calculatrices est interdit pour ce problème.
Les deux parties de ce problème sont largement indépendantes.
Dans ce problème, on s’intéresse à un Amplificateur Linéaire Intégré (ALI), également appelé Amplificateur Opérationnel (AO).
I) LIMITES AU MODELE IDEAL ET LINEAIRE D’UN AMPLIFICATEUR LINEAIRE INTEGRE :
On étudie ici quelques limites au modèle de l’ALI idéal de gain infini, en régime linéaire.
On rappelle la caractéristique de transfert d’un ALI, ou amplificateur de différence, idéal de gain infini (figures la et 1b).
1) Dans le montage représenté figure 2, le quadripôle étudié est formé d’un ALI et deux résistances, l’ALI est idéal de gain infini et fonctionne dans sa zone linéaire. Exprimer :
a) A tel que uS(t) = A uE(t).
b) La résistance d’entrée du quadripôle.
c) La résistance de sortie du quadripôle.
2) LIMITES AU FONCTIONNEMENT LINEAIRE DE L’ALI IDEAL : On considère le montage figure 2.
a) Comment mesurer expérimentalement les tensions de saturation Usat et –U’sat ?
b) Le constructeur indique un is max de 20 mA. On applique à l’entrée du quadripôle uE(t)=Uem cos(t) avec Uem = 1,0 V, R2 = 100 k, R1 = 10 k, Usat = U’sat = 14,0 V. Comment choisir la valeur d’une résistance Ru placée en sortie pour garder un fonctionnement linéaire ?
c) La sortie ne reste linéaire que si dt duS
, est appelée vitesse de balayage de l’ALI (slew rate), le constructeur indique pour l’ALI précédent = 1,0 V.s-1. On applique à l’entrée la même tension qu’au 2b), on augmente , jusqu’à quelle valeur de , uS(t) reste-t-elle théoriquement sinusoïdale ?
Décrire la déformation de uS(t) et dessiner l’allure du graphe uS(t), pour des valeurs > 1.
On peut se servir de l’apparition de cette déformation pour estimer , proposer une autre méthode de mesure expérimentale de .
3) INFLUENCE DE QUELQUES « DEFAUTS » D’UN ALI REEL :
On considère un modèle d’ALI réel en fonctionnement linéaire où l’on néglige tension de décalage et courants de polarisation : figure 3.
a) On prend rd infinie et (gain différentiel) fini. Représenter le schéma équivalent du montage de la figure 2 avec ce modèle pour l’ALI. Calculer la résistance de sortie du quadripôle en fonction de rs, R1 et R2. On rappelle la définition de la résistance de sortie :
0 S u
S S
E
i R u
.
b) On considère maintenant fini et fonction de la fréquence f de la tension appliquée à l’entrée, à l’exclusion de tout autre défaut, notamment on prend rd infinie et rs = 0. On adopte comme modèle pour le gain complexe :
c 0
f jf 1 ) µ f ( µ
avec j2 = - 1. Comment nomme-t-on ce modèle ?
b1) Etablir alors la fonction de transfert du quadripôle figure 2 et l’écrire :
0 0
f jf 1 H H
.
Calculer H0 en fonction de 0 et A (cf § 1) et f0 en fonction de fC , A et 0. b2) On prend 0 = 1,0.105, R2 = 100 k, R1 = 10 k, fC = 10 Hz.
Calculer numériquement H0 et en donner une expression littérale approchée. Tracer, sur le même graphe, l’allure des diagrammes de Bode asymptotiques en amplitude pour et H. On prendra comme échelle 1 cm pour 10 dB en ordonnée et 2 cm pour une décade en abscisse.
Interpréter les limitations en fréquence observées expérimentalement avec le montage figure 2.
II) ETUDE D’UN DISPOSITIF POUVANT SERVIR D’HORLOGE :
On désire obtenir en sortie d’un oscillateur, qui servira d’horloge, la tension représentée figure 4. On appelle rapport cyclique : = / T0.
1) LE MONTAGE DE BASE : (figure 5), il utilise un ALI idéal de gain infini fonctionnant dans sa zone non linéaire (comparateur à hystérésis). Les tensions de saturation de l’ALI sont Usat et – Usat.
a) A t = 0, V- = 0 et us = + Usat. On note
2 1
1 sat
1 R R
U R
V . Exprimer V-(t) pour t 0, en fonction de t, R, C, V1 et USat.
b) Représenter V-(t), uS(t) et uS(V-).
c) Calculer la période T0 en fonction de R, C, V1 et Usat puis R, C, R1 et R2. Calculer
AN : R1 = 20 k, R2 = 80 k, R = 5,0 k et on veut T0 = 20 s. Calculer C.
On donne : 2,5 1,5 ln
1 .
d) Qualitativement, comment le slew rate limité de l’ALI modifie-t-il la forme de uS(t) ? On donnera l’allure du graphe uS(t). Usat = 14,0 V, numériquement, quelle condition devrait respecter pour que les commutations soient acceptables (durée de commutation inférieure à T0 / 2) ?
On envisage maintenant des modifications du montage de base permettant des réglages indépendants de la période et du rapport cyclique.
2) MODIFICATION DE LA PERIODE :
On réalise le montage figure 6 où Rp est un potentiomètre de 25 k, k variant de 0 à 1. Les autres composants ont les valeurs indiquées au §II) 1).
a) Exprimer T0 en fonction de R, C, R1, R2, Rp et k.
b) Quelles sont les valeurs numériques extrêmes de f0 = 1 / T0 ? On donne : ln(1,4) = 0,32 et ln(2,1) = 0,74.
c) Que vaut, dans ce cas, le rapport cyclique ? 3) MODIFICATION DU RAPPORT CYCLIQUE :
On réalise le montage figure 7 où R’p est un potentiomètre de 4,7 k, k variant de 0 à 1, R’ = R’’ = 100 . Les diodes sont idéales et les autres composants ont les valeurs indiquées au §II) 1).
a) Calculer la période T0, dépend-elle de k ?
b) Calculer le rapport cyclique en fonction de R’, R’’, R’p et k. Quelles sont ses valeurs numériques extrêmes pour k variant de 0 à 1 ?
TROISIEME PROBLEME : Statique des fluides
L’usage de calculatrices est interdit pour ce problème.
On considère un récipient cylindrique de rayon R, ayant un fond hémisphérique, et contenant une hauteur H d’un liquide de masse volumique constante. Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme et l’accélération de la pesanteur est notée g. L’axe z est l’axe vertical ascendant. On a z = 0 au point O (centre de la demi-sphère). La pression atmosphérique est notée P0.
1) Etablir la relation fondamentale de la statique des fluides, liant dz
dP, la masse volumique et l’accélération de la pesanteur g.
2) En déduire la pression dans le liquide à l’altitude z en fonction de P0, , g, H et z.
3) Déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le liquide sur le fond hémisphérique, grâce à la méthode vue en cours.
4) De la même manière, déterminer la résultante des forces pressantes exercées par l’air sur le fond hémisphérique.
5) En déduire la résultante des forces pressantes exercées sur le fond hémisphérique.
6) Commenter le résultat obtenu : à quoi est égale cette résultante ?
7) Retrouver l’expression de la résultante des forces pressantes exercées par le liquide sur le fond hémisphérique en appliquant une relation fondamentale de la dynamique au liquide qui surmonte la demi-sphère.
