PT 2019-2020 Pour le jeudi 12-03-2020 DEVOIR LIBRE n° 5
L’usage de calculatrices est interdit pour les 1er et 2ème problèmes, et autorisé pour le 3ème problème.
PREMIER PROBLEME : Interféromètre de Michelson : étude de défauts de planéité de miroirs métalliques (d’après banque PT 2001)
L’usage de calculatrices est interdit pour ce problème.
On considère un interféromètre de Michelson « théorique » dans lequel la lame séparatrice est considérée comme idéalement fine. Il n’y a pas de compensatrice. La séparatrice introduit un déphasage supplémentaire égal à π pour une des deux ondes : celle qui s’y réfléchit dès l’entrée. On suppose en outre que les éclairements dus à chacune des deux ondes qui émergent de l’interféromètre sont égaux : on les note ε0.
Soit M’2 le symétrique du miroir M2 par la séparatrice.
1) On considère un système optique centré afocal, constitué de deux lentilles convergentes L1 et L2 de distances focales f’1 et f’2 avec f’1 < f’2. Le faisceau lumineux traverse d’abord L1. Ce système reçoit un faisceau de lumière parallèle cylindrique de révolution, de diamètre d, dont l’axe de symétrie est confondu avec l’axe optique du système. Exprimer le diamètre d’ du faisceau en sortie.
Application numérique : f’1 = 5,0 mm et f’2 = 150 mm.
Quel est l’intérêt de ce dispositif ?
2) L’interféromètre est réglé en « lame d’air », et éclairé par une onde plane, monochromatique de longueur d’onde λ, arrivant avec une incidence de 45° sur la séparatrice. M1 est parallèle à Ox et M2
est parallèle à Oy. La direction de l’onde plane incidente est parallèle à Ox. Soit e la distance algébrique entre M1 et M’2.
On recueille les faisceaux émergents sur un écran translucide plan parallèle au miroir M1. a) Quel est l’aspect de ce plan pour une distance e donnée ? Exprimer l’éclairement ε.
b) Comment varie l’éclairement ε si e varie ?
Est-il possible de repérer la position correspondant à e = 0 ?
Montrer simplement, sans calculs, que l’utilisation d’une source de lumière blanche permet de résoudre ce problème.
3) On admet que la condition e = 0 est réalisée. On incline alors M2 d’un angle α faible. On éclaire l’ensemble par une source monochromatique, de longueur d’onde λ, de telle sorte que l’on observe des franges d’interférences localisées du coin d’air.
Préciser les conditions d’éclairage et d’observation. Exprimer l’interfrange i sur la surface de localisation, en fonction de α et λ.
4) Le miroir M2 initialement plan et tel que M’2 soit parallèle à M1 s’est déformé et est devenu sphérique.
On admettra que le centre de la sphère M’ symétrique de M2 par rapport à la séparatrice, de rayon R, se trouve sur l’axe y’y, qui est donc axe de symétrie de M’. Le dispositif est éclairé comme dans la question 3).
a) Soit e0 la distance entre M1, et le plan π tangent à M’ et parallèle à M1.
Exprimer l’épaisseur d’air e entre M1 et M’, pour un point P de M’, en fonction de e0, r et R (voir figure 2).
On remarquera que les conditions d’observation impliquent les approximations : r << R et e0 << R.
b) Avec les approximations précédentes, exprimer la différence de marche δ en un point P situé à la distance r de l’axe y’y. Montrer que, dans les mêmes conditions d’observation que les franges du coin d’air, l’on observe des anneaux localisés au voisinage des miroirs.
c) Déterminer l’ordre p0 au centre des anneaux en fonction de e0 et λ. On utilise l’indice k pour repérer les anneaux brillants, sachant que k = 1 correspond au premier anneau brillant à partir du centre de la figure d’interférences, de rayon R1 sur la surface de localisation.
Calculer le rayon Rk du kième anneau brillant en fonction de R1, k, λ et R.
d) On veut déterminer si M2 est devenu concave ou convexe. Pour cela on déplace M2 par translation vers la séparatrice : π reste parallèle à M1. Montrer que l’observation du phénomène permet de donner une réponse à cette question.
e) Exprimer le rayon R de la sphère en fonction des rayons du kième et du (k + l)ième anneaux, et de .
5) Analyse d’un défaut de planéité d’une surface métallique réfléchissante : Une surface métallique S polie est plane à l’exception d’un défaut.
On l’installe sur un des bras d’un interféromètre de Michelson, à la place de M2. L’interféromètre est éclairé comme dans la question 3). On rappelle que M1 est également un miroir métallique parfaitement plan.
a) Le symétrique S’plane de la partie plane de la surface réfléchissante par rapport à la séparatrice doit être parallèle à M1. Comment s’en assurer ? Comment régler le contact optique entre M1 et S’plane ? b) On observe alors une figure d’interférences comprenant 4 courbes fermées sombres et un point
sombre. Que peut-on déduire de cette figure ?
DEUXIEME PROBLEME : Principe de l’électro-oculographie (d’après banque PT 2019) L’usage de calculatrices est interdit pour ce problème.
Ce problème est issu d’un sujet dont le thème général était l’étude de modèles biophysiques.
On s’intéresse dans ce problème à la mesure d’une propriété de l’œil.
Aucune connaissance préalable en biologie n’est requise.
En raison des différents échanges ioniques dans les cellules, l’arrière de l’œil (côté rétine) porte une charge électrique négative alors que l’avant de l’œil (côté cornée) est chargé positivement. Il en résulte un champ électrique supposé permanent utilisé pour mesurer l’angle de rotation du globe oculaire autour d’un de ses axes.
1) Système constitué de deux plans de charges opposées :
Dans un repère cartésien, on s’intéresse à un plan d’équation y = 0 porteur d’une densité surfacique uniforme de charge positive .
a) Rappeler le théorème de Gauss.
b) Déterminer le champ électrostatique créé par cette distribution en tout point de l’espace.
c) On superpose à cette distribution un deuxième plan d’équation y = a porteur d’une densité surfacique uniforme de charge négative -.
) Déterminer le champ électrostatique en tout point de l’espace.
) En déduire le potentiel électrostatique V(M) entre les plans en prenant V = 0 au niveau du plan y=0.
) Représenter quelques surfaces équipotentielles.
2) Globe oculaire :
Les figures 1a et 1b représentent une modélisation de la répartition de charges portées par le globe oculaire et les lignes de champ électrique dues à cette distribution de charges (ur
représente le vecteur unitaire, attaché à l’œil, de l’axe rétine – cornée ; voir figures 1, 2 et figure 3 : document).
Figure 1a : répartition des charges
Figure 1b : lignes de champ a) Donner la définition d’une ligne de champ.
b) Reproduire quelques lignes de champ et les orienter.
3) Mesure de l’angle de rotation du globe oculaire :
On attache au visage, supposé fixe, un repère cartésien (O, x, y, z).
Le globe oculaire est mobile autour de l’axe Oz ; est l’angle entre Oy et ur
(figure 2).
Pour mesurer , on place deux électrodes, de part et d’autre de l’œil, aux points A (a, b, 0) et A’ (-a, b, 0), fixes par rapport au visage. Le signal détecté par ces électrodes est traité par un circuit électronique (non étudié ici).
Figure 2 : Repérage de l’œil et emplacement des électrodes
a) Dans un souci de simplification, on suppose que, dans la zone des électrodes, le champ électrostatique E
créé par la distribution de charges est uniforme et colinéaire à ur
: E
M E0 ur. - La modélisation par un champ uniforme est-elle bien adaptée ?- Préciser, en justifiant soigneusement, le signe de E . 0
b) Le potentiel V(M) en un point M(x, y, 0) se met sous la forme : V(x, y, 0) = Kx + K’y. Expliciter littéralement K et K’.
c) On se place d’abord dans le cas où ur
est colinéaire à l’axe Oy. Quelle différence de potentiel U = V(A) – V(A’) mesurent les électrodes entre A et A’ ?
d) ur
fait à présent un angle avec l’axe Oy. Exprimer la différence de potentiel U en fonction de E , a, 0 b et .
Figure 3 : Document
TROISIEME PROBLEME : Oscilloscope cathodique (d’après banque PT 2000)
L’usage de calculatrices est autorisé pour ce problème.
Le présent sujet traite de l’oscilloscope cathodique. On étudie ici la déflexion électrostatique qui est le phénomène fondamental mis en œuvre pour mesurer une différence de potentiel.
Constantes générales :
Masse de l’électron : m = 9,1.10-31 kg Charge de l’électron : - e = - 1,6.10-19 C
Partie 1 : Réfraction d’un faisceau d’électrons
Une cathode chauffée, C, émet des électrons dont on peut négliger la vitesse initiale. Ces électrons se déplacent dans le vide jusqu’à rencontrer une anode, A, plaque métallique percée d’un trou permettant à une partie du faisceau d’électrons de s’échapper dans la direction horizontale Oz. On néglige le poids des électrons dans tout le problème.
On établit entre A et C, une différence de potentiel UAC = 200 V.
1.1) Déterminer l’expression et calculer numériquement la vitesse v0 avec laquelle les électrons traversent l’anode en O en fonction de UAC et des constantes générales.
Le faisceau d’électrons issus de O, accéléré entre C et A, traverse au point I une grille G1 connectée à l’anode A et dont le potentiel est UA. L’espace entre l’anode A et la grille G1 est noté (1) ; il est vide. La normale à la grille G1 forme avec l’axe Oz un angle l. Une seconde grille G2 parallèle à la première, à la distance d de celle-ci, est portée au potentiel UB. On rapporte le mouvement des électrons aux axes IX et IY de vecteurs unitaires respectifs i
et j
. La géométrie du système est représentée en figure 1. L’origine des temps est telle que l’électron étudié est en I à l’instant t = 0.
1.2) Justifier que le champ électrique dans l’espace (1) est nul. En déduire la vitesse v1
des électrons au point I, en fonction de v0 et de l’angle l.
1.3) Déterminer l’expression du champ électrique E
entre les grilles G1 et G2 en fonction de la différence de potentiels UAB = UA - UB et de la distance d.
1.4) En déduire l’expression de la force électrostatique subie par un électron entre les grilles.
1.5) Par application du principe fondamental de la dynamique, écrire l’expression de la vitesse d’un électron en fonction du temps, de UAB, de la distance d, des constantes générales et du vecteur v1
.
1.6) En déduire l’expression du vecteur position d’un électron rIM
t. Ecrire les composantes X et Y dans le repère (IX, IY) du vecteur position en fonction des constantes générales, de UAB, de d, du temps, de v0 et de l.
1.7) Etablir l’expression de l’équation cartésienne de la trajectoire définie par X = f (Y).
1.8) Soit un point M’ de coordonnées (X’, Y) appartenant à l’axe Iz, son ordonnée Y étant la même que celle du point M. Donner la relation entre X’, Y et l.
1.9) Définir la position de l’électron par rapport au point M’ en fonction du signe de UAB. On exprimera la différence X – X’ en fonction des constantes générales, d, UAB, v0, l et Y.
1.10) Pour les deux cas UAB < 0 et UAB > 0, représenter la trajectoire de l’électron et les points M et M’.
1.11) Etablir le module de la vitesse v2 de l’électron au niveau de la grille G2, en fonction des constantes générales, UAB et v0 ; dépend-il de la distance d ?
1.12) Soit 2 l’angle que fait le vecteur vitesse de l’électron avec l’axe IX à la sortie de la grille G2. Démontrer qu’entre les deux grilles le produit scalaire j.v
est constant.
1.13) En déduire une relation entre 1,2, v1 et v2.
1.14) La région (2) située au-delà de la grille G2 et également vide, est intérieure à un cylindre métallique connecté avec G2. Justifier que le champ électrique dans l’espace (2) est nul. Quelle est la trajectoire de l’électron dans cette région (2) ?
1.15) Exprimer v2 en fonction de v1, UAB et UAC.
1.16) Les deux grilles G1 et G2 sont très proches et on néglige la distance d. Construire sur un schéma la trajectoire du faisceau d’électrons pour les deux cas suivants :
UAB = 80 V et UAB = -120 V. On donne 1 = 45°.
On déterminera dans chaque cas la valeur de 2.
1.17) Par analogie avec l’optique géométrique, donner, dans les deux cas, « l’indice de réfraction » de la région (2) par rapport à la région (1) pour le dioptre constitué par le système de grilles.
1.18) Dire en quoi le système de grilles peut être utile pour la focalisation du faisceau d’électrons.
Partie 2 : Plaques de déflexion
Dans cette partie, l’oscilloscope n’est pas pourvu du système de deux grilles étudié dans la partie précédente. Les électrons accélérés entre cathode chaude et anode pénètrent en O1, avec une vitesse v0 = 30000 km.s-1 parallèlement à l’axe O1z dans un dispositif de déflexion composé de deux paires de plaques parallèles ; Pl et P2 sont horizontales alors que Q1 et Q2 sont verticales. Les électrons, après passage dans ce système de déflexion poursuivent leur trajectoire jusqu’à frapper un écran fluorescent sur lequel leur trace se matérialise sous forme d’un spot lumineux. La géométrie du système est donnée en figure 2.
Le mouvement des électrons dans le système de déflexion est rapporté aux axes O1x, O1y et O1z munis des vecteurs unitaires i
, j et k
orthonormés.
Les plaques Pl et P2 d’une part, et les plaques Q1 et Q2 d’autre part, sont symétriques par rapport à l’axe Oz. L’écartement entre les paires de plaques est le même, d = 2,0 cm et leur longueur, parallèlement à O1z est = 5,0 cm.
On admet que le champ électrique est nul à l’extérieur du volume délimité par les plaques et que le dispositif est enfermé dans une ampoule scellée dans laquelle règne un vide poussé. On admet que le champ électrique produit par chaque paire de plaques est uniforme et normal aux plaques qui le produisent.
Soit D = 25 cm la distance entre le centre K du système de déflexion et le point O3 au centre de l’écran.
La position S de la trace est rapportée aux axes O3X et O3Y munis des vecteurs orthonormés i etj
. On notera que les repères utilisés dans cette partie ne coïncident pas avec ceux de la partie 1.
2.1) On établit entre P1 et P2 une différence de potentiel UY VP1 VP2 et une différence de potentiel nulle entre les plaques Q1 et Q2. Etablir l’expression de la force qui agit sur un électron situé dans le champ et l’accélération de cet électron dans le système Olxyz en fonction des constantes générales, d et UY.
2.2) En déduire, par intégration, l’équation cartésienne de la trajectoire d’un électron qui pénètre dans le système de déflexion sous la forme y = f (z) en fonction des constantes générales, d, UY et v0.
2.3) Montrer que, quand il est sorti du système des plaques de déflexion, la trajectoire de l’électron est une droite passant par le point K.
2.4) Exprimer les coordonnées du spot S sur l’écran en fonction des constantes générales, d, UY, v0, et D.
La tension UY VP1VP2 étant maintenue comme précédemment, on établit maintenant une différence de potentiel UX VQ1 VQ2 entre les plaques Q1 et Q2.
2.5) Etablir les expressions des vecteurs vitesse et position de l’électron à l’instant t en fonction des constantes générales, d, UX, UY et v0.
2.6) En déduire l’expression de la position M1 et de la vitesse v1
de l’électron à la sortie du dispositif de déflexion.
2.7) Ecrire les expressions en fonction du temps des coordonnées x, y, z de l’électron à un instant t postérieur à tl, instant où l’électron quitte le dispositif de déflexion.
2.8) Montrer que la trajectoire ultérieure semble provenir du centre K.
2.9) Exprimer les coordonnées du spot à l’écran en fonction des tensions UX et UY. 2.10) Application numérique : calculer la position du spot pour UX = 70 V et UY = 120 V.
