PT 2019-2020 14-02-2020 DEVOIR SURVEILLE n° 5

PT 2019-2020 14-02-2020 DEVOIR SURVEILLE n° 5

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

L’usage de calculatrice est interdit pour les 1

^er

et 2

^ème

problèmes, et autorisé pour le 3

^ème

problème.

Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.

Vous devez traiter les 3 problèmes sur 3 copies différentes.

Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie

« blanche ».

Barème Ramassé à Premier problème 35 % 15h00 Deuxième problème 28 % 16h00 Troisième problème 37 % 17h00

Vous avez tout intérêt à faire dans l’ordre : le 1^er problème, puis le 2^ème problème, et enfin le 3^ème problème !

Vous êtes libres de commencer le problème suivant avant que je ramasse les copies (vous pouvez par exemple commencer le 2^ème problème avant 15h00).

PREMIER PROBLEME : Biométrie de l’œil par interférométrie à cohérence partielle (d’après banque PT 2019)

Ce problème représente 35 % du barème.

L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.

I) Obtention d’interférences :

1) Longueur de cohérence temporelle d’une source lumineuse :

a) Décrire le modèle des trains d’onde en précisant, sur un schéma, la période de l’onde et le temps de cohérence (c’est-à-dire la durée moyenne) du train d’onde.

b) Donner l’ordre de grandeur du temps de cohérence d’un LASER.

c) Calculer le temps de cohérence pour une source de largeur spectrale Δλ = 50 nm et de longueur d’onde dans le vide λ0 = 820 nm.

d) La longueur de cohérence temporelle dans le vide (Lc) d’une source est la longueur occupée dans l’espace par un train d’onde se propageant dans le vide. Déterminer littéralement puis numériquement Lc pour la source précédente.

e) Quelle serait la longueur de cohérence temporelle d’une source parfaitement monochromatique ?

2) Interférences de 2 ondes :

On considère deux sources ponctuelles S1 et S2, cohérentes, en phase, émettant de manière isotrope une lumière monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ0 et d’intensité I1 et I2. On étudie les interférences éventuelles en un point P d’un milieu homogène d’indice de réfraction n, à la distance d1 de S1 et d2 de S2.

a) Définir la différence de chemin optique δ en P entre l’onde issue de S2 et celle issue de S1, en fonction de d1, d2 et de l’indice n du milieu.

b) Etablir la formule de Fresnel donnant l’intensité lumineuse I(P) en P, en fonction de I1, I2, δ et λ0. c) Dans le cas où I1 = I2 = I0, l’intensité a pour expression (notée « relation (a) » dans toute la suite) :

I(P) = 2 I0 {1 + cos(Φ)}.

Expliciter Φ en fonction de δ et des données.

II) Interféromètre de Michelson réglé en lame d’air :

Un interféromètre de Michelson est réglé en lame d’air et éclairé par une source S, ponctuelle, monochromatique, de longueur d’onde dans le vide λ0. Un écran Ecr est placé dans le plan focal image d’une lentille convergente.

La figure 1 donne le schéma de principe de cet interféromètre pour lequel on supposera la séparatrice Sp

idéale (infiniment mince, division d’amplitude à 50 % et n’introduisant aucun déphasage). Le miroir M’ est fixe ; M est mobile.

Figure 1

On note « onde 1 » l’onde issue de S se réfléchissant sur M’ et « onde 2 » celle se dirigeant vers M. La différence algébrique de chemin optique entre l’onde 2 et l’onde 1, évaluée en un point P de l’écran Ecr, est notée δ.

A l’état initial, les deux miroirs sont équidistants de Sp. On déplace alors M d’une distance algébrique x (x > 0 pour un éloignement de M) : l’interféromètre est réglé en « lame d’air ».

1) A partir d’un schéma clair (à tracer sur la copie), montrer que la différence de chemin optique dans cette situation est : δ = 2.na.x.cos(i). Que représente i ? Que représente na ?

2) Qu’observe-t-on sur l’écran (aucun calcul n’est demandé, on attend juste une description de l’écran) ? 3) On diminue alors x en déplaçant M de manière à obtenir, sur l’écran, une intensité lumineuse I(P)

uniforme (teinte plate). Expliquer en 5 lignes maximum quelle est la manipulation à effectuer et ce que l’on voit sur l’écran au fur et à mesure de ce réglage.

III) Mesure de position :

On revient au réglage de l’interféromètre en lame d’air et en teinte plate (M et M’ équidistants de Sp, chacun à la distance d0).

On modifie la source : la source S, ponctuelle, monochromatique, de longueur d’onde dans le vide λ0, est à présent au foyer principal objet d’une lentille convergente L0 (figure 2).

Un détecteur est placé au foyer principal image (noté O) d’une lentille convergente L. Ce détecteur enregistre l’intensité lumineuse au point O {I(O)} au fur et à mesure du déplacement x du miroir M.

A partir de l’état initial (M et M’ équidistants de d0 de Sp), on translate M’ d’une distance inconnue x1.

On examine ici la possibilité de repérer la position x1

du miroir M’ en mesurant le déplacement x du miroir

M à l’aide de la courbe enregistrée I(O) = f(x). Figure 2

Les notations (1) et (2) des faisceaux et de la différence de chemin optique sont les mêmes qu’en II).

1)

a) Reproduire la figure 2 et tracer la marche des faisceaux 1 et 2 qui se recombinent au point O.

b) Expliciter alors la différence de chemin optique δ en O en fonction de x, x1 et des données optiques.

c) On note p l’ordre d’interférence ; rappeler la définition de p.

d) On note x0 le déplacement de M générant un état interférentiel d’ordre 0. Expliquer pourquoi la détection de l’ordre 0 permettrait de mesurer x1 à partir de la mesure de x0.

2) Cas où la source est parfaitement monochromatique :

a) A partir de la « relation (a) », donner l’expression de I(O) en fonction de x, x1 et des données optiques.

b) On suppose que l’intensité est maximale lorsque x = 0.

α) Déterminer les positions x de M générant des maximas d’intensité.

β) Représenter graphiquement I(O) en fonction de x.

c) Est-il possible de repérer l’état d’interférence d’ordre 0 sur la courbe I(O) lorsque la source est parfaitement monochromatique ?

3) La source est à faible cohérence temporelle : Dans une première approche, on considère que :

 Pour observer des interférences entre 2 ondes issues d’une même source, il faut δL_c.

 Dans le domaine où δ L_c, l’intensité lumineuse résultant des interférences en O est donnée par la « relation (a) » ;

 Si δ L_c, il n’y a plus d’interférence et l’intensité conserve la valeur 2I0 constante indépendante de δ.

 Pour les applications numériques : λ0 = 800 nm ; na = 1,00 ; Lc = 1,80 µm.

a) Pour l’état d’interférence d’ordre 0 : quelle est la position théorique (x0) de M ? Pourquoi l’intensité de cette frange est-elle maximale ?

b) Déterminer littéralement les valeurs minimale (x-) et maximale (x+) de x entre lesquelles il y a interférences.

c) Déterminer littéralement puis numériquement le nombre de maximas d’intensité détectables.

d) Faire une représentation graphique de l’intensité I(O) en fonction de x, pour x 



 



 

 _

a c a

c

- n

x L n , -L

x .

e) Expérimentalement, on détecte l’état d’interférence d’ordre 0 par un maximum d’intensité correspondant à un déplacement x0 de M (voir III-3-a).

α) Expliquer pourquoi la courbe I(O) = f(x) ne permet pas de trouver exactement x0 mais seulement un encadrement de x0.

β) Justifier alors que le meilleur estimateur de x0 est le milieu de l’intervalle x-, x+ (déterminé en III-3- b) avec une incertitude Δx0 = Lc/2na.

Une étude plus détaillée conduit à l’expression I(O) = 2 I0 {1 + V(x).cos(Φ)}

différente de la « relation (a) ».

Le terme V(x) est lié au profil spectral de la source.

La figure 3a donne l’allure d’un enregistrement de I(O) en fonction de x.

On conditionne le signal I(O) en supprimant sa composante continue et en détectant son enveloppe positive. On obtient le signal utile Iu (figure 3b).

Figure 3a : sur cette figure, on observe 3

maximas

Figure 3b

IV) Application à la biométrie de l’œil :

Pour mesurer les épaisseurs intéressantes de l’œil, on utilise un biomètre.

En ophtalmologie, les biomètres dérivent de l’interféromètre de Michelson en remplaçant le miroir M’ par l’œil à mesurer (figure 4), chaque interface biologique jouant successivement le rôle de M’.

Le faisceau 1 arrivant sur l’œil est partiellement réfléchi par la première interface (en A sur la figure 4), la partie transmise se réfléchissant partiellement sur l’interface suivante (en B) et ainsi de suite.

Les faisceaux sont assez fins pour que l’on puisse considérer les interfaces comme planes ; la réflexion sur une interface sera assimilée à celle qui aurait lieu sur un miroir plan M’ de même position.

Le détecteur en O fournit, après détection d’enveloppe, le signal utile Iu de la figure 5, au fur et à mesure du déplacement x du miroir M.

Le pic de référence (x = xA = 0) correspond au signal issu de la réflexion en A ; le pic en xB correspond au signal issu de la réflexion en B.

On note : Dc la distance AB ; nc l’indice de réfraction du milieu biologique compris entre A et B.

Données : λ0, na, Lc, nc.

Figure 4

Figure 5

1) Expliciter la différence de chemin optique en O (δB/2) entre le faisceau 1 se réfléchissant en B et le faisceau 2, en fonction de x, Dc et des données.

2) A partir des résultats de III-3, déterminer la valeur théorique de xB ; 3) En déduire l’expression littérale de Dc.

V) Enregistrement (figure 6) :

Lors d’un examen ophtalmologique, le miroir M est translaté sur une distance suffisamment grande pour recueillir des informations sur les différentes structures de l’œil selon le principe décrit dans les questions précédentes.

Certains pics (P1, P2, P3, P4, P5 et P6), repérés automatiquement par le logiciel de traitement du signal, correspondent chacun à une interface biologique, le pic P1 représente l’interface air-cornée (voir document figure 7). L’axe horizontal est proportionnel au déplacement du miroir M, l’axe vertical représente la réponse du détecteur.

Figure 6 : exemple de courbe obtenue avec un biomètre

a) Indiquer quel élément du globe oculaire se situe entre les pics P1, P2, P3, P4, P5 et P6. b) L’épaisseur de l’humeur vitrée de l’œil étudié est Dv (Dv = 16,14 mm).

En déduire l’épaisseur du cristallin LT, en expliquant clairement la méthode utilisée.

Figure 7 : Documents

Indice de réfraction des structures transparentes de l’œil

 Indice de la cornée : nc = 1,376

 Indice de l’humeur aqueuse : naq = 1,345

 Indice du cristallin théorique : nct = 1,406 (au centre)

 Indice de l’humeur vitrée : nv = 1,344

Epaisseur centrale de la cornée : CCT Ordre de grandeur : 300 à 800 µm

Profondeur de la chambre antérieure contenant l’humeur aqueuse : AD

Ordre de grandeur : 2 à 6 mm

Epaisseur du cristallin : LT Epaisseur de la rétine : RT Ordre de grandeur : 200 µm

DEUXIEME PROBLEME : Etude d’un spectroscope à réseau Ce problème représente 28 % du barème.

L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.

Un spectroscope est un appareil destiné à étudier le spectre d’une source lumineuse. Un collimateur permet de réaliser un faisceau de rayons parallèles qui va éclairer un réseau. Un viseur permet ensuite d’étudier la lumière ayant traversé le réseau. L’observation se fait à l’infini.

Dans le plan xOy est placé un réseau plan par transmission noté (R) de N fentes parallèles de largeur quasi-nulle selon Ox (largeur très faible devant la longueur d’onde), de longueur infinie selon Oy (longueur très grande devant la longueur d’onde) et équidistantes de a (pas du réseau). Il est éclairé par une onde plane progressive monochromatique de longueur d’onde λ, de vecteur unitaire dans la direction de propagation u₀

appartenant au plan xOz et faisant l’angle i avec Oz. On s’intéresse à la lumière diffractée dans la direction du vecteur unitaire u

. On note θ l’angle de u

avec Oz.

L’onde lumineuse diffractée dans la direction caractérisée par l’angle , résulte de la superposition des N ondes cohérentes émises par les fentes.

Les angles i et  sont comptés à partir de la normale au réseau, positivement dans le sens trigonométrique (figure ci-dessous).

I) Questions préliminaires :

1) Proposer le schéma d’un dispositif qui, en pratique, permet d’observer la lumière ayant traversé le réseau. On rappelle que l’observation se fait à l’infini.

2) Montrer que u

appartient au plan xOz.

II) Diffraction à l’infini : formule des réseaux :

Soit  la différence de marche entre deux rayons consécutifs. Sur la figure précédente, par exemple, le rayon (2) présente un retard de marche H2I2 à l’incidence et une avance de marche I1H1 à l’émergence, par rapport au rayon (1) (les angles I₁Hˆ₂I₂ et I₂Hˆ₁I₁ valent

2

).

3) Exprimer, en fonction de H2I2 et I1H1 la différence de marche  entre les rayons (1) et (2). En déduire, en fonction de a, i et , une autre expression de .

4) Etablir, en expliquant clairement votre démarche, la relation fondamentale des réseaux liant la condition d’interférences constructives à la valeur de la différence de marche entre deux motifs consécutifs.

En déduire la formule des réseaux, donnant, pour une longueur d’onde  et un angle d’incidence i donnés, les angles p des maxima principaux de lumière diffractée, d’ordre p. On notera n le nombre de traits par unité de longueur.

III) Expression de l’intensité résultant de l’interférence à N ondes :

On note s₁ l’amplitude complexe diffractée par la première fente.

On note

     

λ

i sin θ - sin πa 2

 .

5) Exprimer l’amplitude complexe s₂ diffractée par la deuxième fente en fonction de s₁ et de .

Exprimer l’amplitude complexe s_k diffractée par la k^ième fente en fonction de s₁, de k et de .

Exprimer l’amplitude complexe s_N diffractée par la N^ième fente en fonction de s₁, de N et de .

6) En déduire l’amplitude complexe s diffractée par le réseau de N fentes. Montrer alors que l’intensité I diffractée dans la direction θ peut s’écrire :

2

0

sin 2 N

2 sin N I I



















 



 



 



 

 , où I0 est une constante.

7) Montrer que I passe par des maxima principaux lorsque  = 2  p, où p est entier.

Montrer qu’entre deux maxima principaux, I s’annule N-1 fois.

Tracer l’allure de la courbe I().

Calculer la largeur Δ

 

 , puis Δ



sin

 

θ



des pics principaux.

8) Si N est suffisamment grand, on peut montrer que I est pratiquement nulle pour tout θ sauf pour les maxima principaux précédents. Retrouver alors la formule des réseaux et montrer que l’étude des positions des maxima permet de déterminer le pas du réseau, a.

IV) Spectroscopie :

9) Le réseau est éclairé sous incidence normale par une lampe spectrale et on obtient pour une raie de longueur d’onde λ = 0,60 µm des maxima pour sin

 

 = 0,15 et sin

 

 = 0,30 (spectre du 1^er et du 2^ème ordre). En déduire le nombre de traits par unité de longueur, n, et le pas du réseau, a.

10) La largeur des pics principaux limite la possibilité de distinguer deux raies de longueurs d’onde trop proches. On considère que des raies sont séparées si les maxima de même ordre des deux longueurs d’onde sont au moins séparés de la demi-largeur d’un pic principal. En déduire la valeur minimale







pour que les raies soient séparées par le réseau précédent. Cette valeur dépend-elle de l’ordre p ? 11) La lampe au mercure possède une raie double telle que λ1 = 0,5770 µm et λ2 = 0,5791 µm. A quelle

couleur correspondent ces longueurs d’onde ? Dans quel ordre p sont-elles séparées par le réseau si N

= 1000 ?

TROISIEME PROBLEME : Interférences et diffraction (d’après banque PT 2007)

Ce problème représente 37 % du barème.

L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.

Dans tout ce problème, le milieu considéré est, sauf mention contraire, assimilé au vide. On se place dans le cadre de l’approximation scalaire.

A toute grandeur du type s s₀ cos



t₀



, on associe s s₀ e^{it0} et s₀  s₀ e^i0, respectivement grandeur complexe et amplitude complexe associées à s.

On considère une onde plane monochromatique émergeant d’une lentille éclairée par une source ponctuelle placée en son foyer objet. Cette lumière, de longueur d’onde λ, éclaire, sous incidence normale, un diaphragme D plan, dont l’ouverture est totalement transparente.

Un point M de l’ouverture du diaphragme est repéré par ses coordonnées x et y et l’axe Oz est perpendiculaire au plan du diaphragme.

On place, derrière le diaphragme, une lentille mince convergente L, d’axe Oz, de centre optique Ω et de focale image f’. L’observation se fait « à l’infini », sur un écran E placé dans le plan focal image de la lentille, et muni du système d’axes O’x’, O’y’, O’z’.

1) On se place dans les conditions de Gauss. Qu’est-ce que ça signifie ?

I) Cas d’une ouverture rectangulaire :

On suppose que le diaphragme D est un rectangle de centre O, de largeur l et de longueur L.

2) Donner l’ordre de grandeur de la taille de la tâche centrale de diffraction sur chacun des axes O’x’ et O’y’ en fonction de l, L,  et f’.

3) Que devient la figure de diffraction dans le cas d’une fente allongée parallèle à l’axe Ox (on se place donc dans le cas L >> ) ? Faire un dessin de la figure de diffraction. Préciser l’ordre de grandeur de la largeur de la tâche centrale si l = 25 µm, λ = 0,50 µm et f’ = 1,0 m.

4) Que devient cette largeur si l → 0 (fente infiniment fine).

II) Cas de deux fentes :

Le diaphragme D est maintenant constitué de deux fentes « infinies » (L >> ) « infiniment fines » (l <<

) parallèles à l’axe Ox, et centrées en y = a et en y = - a avec a = 500 µm.

5) Déterminer la différence de marche  entre les deux ondes interférant en un point M’ de l’écran E.

Exprimer I(y’) et tracer la courbe I/Imax. Déterminer l’interfrange.

6) Un dispositif convenable, placé devant une des fentes, permet de remplacer progressivement, sur une épaisseur e = 3,4 cm traversée par la lumière, le vide par de l’air, dont l’indice optique n dans les conditions de l’expérience est a priori inconnu.

Calculer la nouvelle différence de marche et montrer que la figure d’interférences est alors translatée.

On constate que la figure d’interférences se translate de 1,0 cm. En déduire la valeur numérique de l’écart d’indice (n-1).

7) On enlève le dispositif précédent, et on remplace la source monochromatique par une source de lumière blanche (dans la lumière émise, sont présentes toutes les longueurs d’onde comprises entre 0,40 µm et 0,80 µm). On place alors la fente d’entrée d’un spectroscope au niveau de l’écran, parallèlement aux fentes, et à la position y’ = 1,0 cm.

Calculer les valeurs des longueurs d’onde du domaine visible qui sont absentes du spectre obtenu.

Conclure.

III) Cas de trois fentes :

On remplace la source de lumière blanche par la source monochromatique de longueur d’onde λ, et on ajoute aux deux fentes infiniment fines, centrées en y = - a et y = a, une troisième fente infiniment fine centrée en y = 0.

On note s₀ l’amplitude complexe diffractée par la fente centrale.

On note

λ δ π  2

 , où  a été défini à la question 5) (différence de marche entre les deux fentes les plus extrêmes).

8) Exprimer l’amplitude complexe s_a diffractée par la fente située en y = - a en fonction de s₀ et de .

Exprimer l’amplitude complexe s_a diffractée par la fente située en y = a en fonction de s₀ et de .

9) En déduire l’amplitude complexe s diffractée par les 3 fentes. Exprimer l’intensité I(y’) et tracer la courbe I/Imax.

IV) Cas d’une ouverture précédée d’un prisme de verre :

Le diaphragme D est à nouveau une fente allongée parallèle à l’axe Ox, centrée en y = 0, et de largeur l. On dispose devant la fente une lame prismatique de verre d’indice n = 1,5 et de faible angle au sommet θ

= 0,05 rad. L’épaisseur de la lame suit la loi e(y) = e0 – θ y (figure ci-dessous).

10) Exprimer, de façon approchée, l’angle Φ de déviation d’un rayon par le prisme, au sens de l’optique géométrique.

On sait que c’est dans cette direction que sera centrée la figure de diffraction, c’est là que l’intensité lumineuse sera la plus grande (au niveau de l’image géométrique de la source).