Énoncé Dans tout le problème

Énoncé

Dans tout le problème

¹

, on désigne par :

E un espace euclidien orienté de dimension trois.

B = ( − → i , − →

j , − →

k ) une base orthonormée directe de E .

−

→ u un vecteur unitaire de E de coordonnées a , b , c dans B . D la droite vectorielle de E engendrée par − → u .

On notera < , > le produit scalaire de E . Préambule

On considère une l'équation d'inconnue réelle x où µ désigne un paramètre réel non nul : x

³

− x

²

+ µ = 0

1. Déterminer les valeurs de µ pour lesquelles cette équation admet trois racines réelles distinctes.

2. Déterminer les solutions réelles de cette équation lorsque l'une d'entre elles est double.

Partie I

Pour tout réel λ non nul, on note f

λ

l'application de E dans E dénie par :

∀− → x ∈ E : f

_λ

( − → x ) = − → x + λ < − → x , − → u > − → u 1. Montrer que f

_λ

est un endomorphisme de E .

2. a. Déterminer la valeur λ

0

de λ pour laquelle f

λ

est un automorphisme orthogonal autre que Id

E

.

b. Caractériser f

λ₀

par sa matrice dans la base B .

c. Déterminer l'ensemble des vecteurs de E invariants par f

λ0

. Donner alors la nature de f

_λ0

en précisant ses éléments géométriques.

Partie II

Soit g l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est

G =





a b c c a b b c a





1d'aprèes Mines d'Albi 1993

1. Montrer que g est une rotation vectorielle si et seulement si a , b , c sont solutions de l'équation

x

³

− x

²

+ p = 0 où p désigne un réel d'un intervalle I que l'on précisera.

On pourra utiliser l'identité suivante

a

³

+ b

³

+ c

³

− 3abc = (a + b + c)((a

²

+ b

²

+ c

²

) − (ab + bc + ac))

2. Lorsque g est une rotation vectorielle de E avec b et c réels non nuls et égaux, déter- miner l'axe et une mesure de l'angle en précisant l'orientation de l'axe.

Partie III

Soit r une rotation vectorielle de E d'axe D , une mesure de son angle orienté autour de

−

→ u est θ .

1. Montrer que pour tout élément − → x de E on a la relation

r( − → x ) =< − → x , − → u > − → u + cos θ ( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u + sin θ ( − → u ∧ − → x )

2. Réciproquement, montrer que tout endomorphisme vériant la relation précédente est la rotation vectorielle d'angle θ autour de − → u .

3. Soit ϕ l'endomorphisme de E dont la matrice relative à B est

Φ =





a

²

ab − c ac + b ab + c b

²

bc − a ac − b bc + a c

²





Montrer que ϕ est une rotation vectorielle que l'on précisera.

4. Soit ψ le demi-tour vectoriel d'axe D

a. En utilisant III 1., expliciter ψ( − → x ) où − → x est un élément quelconque de E . b. Construire la matrice de ψ relative à B

Partie IV

Soit r la rotation d'axe D et d'angle θ autour de − → u . Soit s la symétrie vectorielle ortho- gonale par rapport au plan P orthogonal à D . On note δ = s ◦ r .

1. Montrer que si r n'est pas Id

E

alors δ est une isométrie vectorielle de E dont − →

0

E

est

le seul vecteur invariant

2. Pour quelles valeurs de θ l'application δ se réduit-elle à s ? à l'homothétie vectorielle de rapport -1 ?

3. Soit f un endomorphisme vériant pour tout − → x de E la relation

f ( − → x ) = ε < − → x , − → u > − → u + cos θ ( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u + sin θ ( − → u ∧ − → x ) avec = ±1 .

Montrer que cette relation caractérise les isométries vectorielles de E . Classier suivant les valeurs de ε et θ . On précisera dans chaque cas le rôle de D et la nature de l'ensemble des vecteurs invariants.

Corrigé Préambule

1. On forme le tableau de variations de la fonction polynomiale :

−∞ 0

²₃

+∞

µ +∞

% & %

−∞ µ −

₂₇⁴

Cette fonction prend trois fois la valeur 0 si et seulement si µ est strictement positif et µ −

₂₇⁴

strictement négatif. La condition demandée est donc

µ ∈

0, 4 27

2. Les racines doubles sont à chercher parmi les racines de la dérivée. Les seules possibilités sont les suivantes

0 est racine double si et seulement si µ = 0 . L'autre racine est alors 1 . 2

3 est racine double si et seulement si µ = 4

27 . L'autre racine est alors − 1 3 .

Partie I

1. L'application f

λ

est clairement à valeurs dans E . Elle est linéaire car le produit scalaire est bilinéaire.

2. a. D'après le cours, f

λ

est un automorphisme lorsqu'il conserve la distance. C'est à dire

∀− → x ∈ E : kf

λ

( − → x )k

²

= k− → x k

²

Or :

kf

λ

( − → x )k

²

= k− → x k

²

+ λ

²

< − → x , − → u >

²

+2λ < − → x , − → u >

²

Donc

kf

λ

( − → x )k

²

= k− → x k

²

⇔ λ < − → x , − → u >

²

(λ + 2) = 0

Ceci se produit (pour tous les − → x ) lorsque 0 ou −2 . La valeur 0 conduit à l'identité.

On en déduit

λ

₀

= −2

b. Si la matrice des coordonnées de − → x dans B est



 x y z





celle de f

₋₂

( − → x ) est



 x y z



 − 2(ax + by + cz)



 a b c





On ne déduit la matrice cherchée :

Mat

_B

f

₋₂

=





1 − 2a

²

−2ab −2ac

−2ab 1 − 2b

²

−2bc

−2ac −2bc 1 − 2c

²





c. Un vecteur − → x est invariant par f

₋₂

si et seulement si < − → x , − → u >= 0 . L'ensemble des vecteurs invariants est donc l'hyperplan (Vect − → x )

^⊥

. L'automorphisme f

₋₂

est la symétrie orthogonale (réexion) par rapport à ce plan.

Partie II

1. L'endomorphisme g est une rotation vectorielle si et seulement si sa matrice G est orthogonale et de déterminant 1 . Ce qui, après calcul du produit et du déterminant, se traduit par :

(

_t

G G = I

3

det G = 1 ⇔



 

 

a

²

+ b

²

+ c

²

= 1 ac + ab + bc = 0 a

³

+ b

³

+ c

³

− 3abc = 1 L'énoncé nous signale l'identité

a

³

+ b

³

+ c

³

− 3abc = (a + b + c) (a

²

+ b

²

+ c

²

) − (ab + bc + ac) On peut donc former d'autres systèmes équivalents au premier :



 

 

a

²

+ b

²

+ c

²

= 1 ac + ab + bc = 0 a + b + c = 1

⇔

( ac + ab + bc = 0 a + b + c = 1

car a

²

+ b

²

+ c

²

= (a + b + c)

²

− 2(ac + ab + bc) .

Lorsque g est une rotation, (a, b, c) sont les trois racines réelles du polynôme réel (x − a)(x − b)x − c) = x

³

− (a + b + c)x

²

+ (ab + ac + bc)x − abc = x

³

− x

²

+ p pour p = −abc . D'après le préambule, ce polynôme admettant trois racines réelles on doit avoir p ∈]0,

₂₇⁴

[ .

Réciproquement, si p ∈]0,

₂₇⁴

[ , les trois racines a , b , c du polynôme x

³

− x

²

− p vérient ( ac + ab + bc = 0

a + b + c = 1 et dénissent donc une rotation g .

2. Lorsque g est une rotation avec b = c , on se retrouve dans le cadre des racines doubles de la question 2. du préambule.

Si b = c = 0 et a = 0 alors g est l'identité.

Si b = c =

²₃

et a = −

¹₃

alors la matrice de g dans une base orthonormée est à la fois symétrique et orthogonale. C'est donc (cours) la matrice d'une symétrie orthogonale directe. C'est une symétrie par rapport à une droite (demi-tour) ou encore une rotation d'angle π . Après résolution d'un système linéaire, on trouve que l'axe est dirigé par un vecteur de coordonnées



 1 1 1





Remarque. Pour un angle π , l'orientation de l'axe est sans importance.

Partie III

1. Le produit scalaire et le produit vectoriel permettent d'exprimer explicitement la dé- composition orthogonale d'un vecteur − → x dans Vect − → u et (Vect − → u )

^⊥

−

→ x =< − → u , − → x > − → u + ( − → u ∧ − → x ) − → u

Pour montrer cette formule, notons − → y le projeté orthogonal de x sur (Vect − → u )

^⊥

. Alors :

−

→ x =< − → u , − → x > − → u + − → y ⇒ ( − → u ∧ − → x ) = − → u ∧ − → y

⇒ ( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u = ( − → u ∧ − → y ) ∧ − → u = k− → u k

²

− → y − < − → y , − → u > − → u = − → y

−

→ x

−

→ u ∧ − → x ( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u

< − → u , − → x > − → u

(Vect − → u )

^⊥

Fig. 1: Décomposition orthogonale pour la question III.1.

De plus, la famille (( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u , − → u ∧ − → x , − → u ) est une base ortogonale directe dont le premier vecteur est le projeté ortogonal de − → x . On en déduit l'eet d'une rotation d'angle θ autour de − → u :

r( − → x ) =< − → x , − → u > − → u + cos θ ( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u + sin θ ( − → u ∧ − → x )

Remarque. La base orthogonale est directe car :

det (( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u , − → u ∧ − → x , − → u ) = det ( − → u ∧ − → x , − → u , ( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u )

= k( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u k

²

> 0

On peut former une base orthonormée directe : 1

k− → u ∧ − → x k ( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u , 1 k− → u ∧ − → x k

−

→ u ∧ − → x , − → u

2. D'après la démonstration de la question précédente, il est évident que la formule dénit une rotation vectorielle d'angle θ autour de − → u .

3. La matrice Φ de ϕ se décompose en S + A avec :

A =





a

²

ab ac ab b

²

bc ac bc c

²



 S =





0 −c b

c 0 −a

−b a0





Chacune de ces matrices peut s'interpréter. Considérons un vecteur − → u de coordonnées (a, b, c) dans la base B .

La matrice de − → x →< − → x , − → u > − → u dans B est S . En eet :

(ax + by + cz )



 a b c



 =





a

²

x + aby + acz abx + b

²

y + bcz acx + bcy + c

²

z



 =





a

²

ab ac ab b

²

bc ac bc c

²







 x y z





La matrice de − → x → − → x ∧ − → u dans B est A . En eet :



 a b c



 ∧



 x y z



 =



 bz − cy cx − az ay − bx



 =





0 −c b

c 0 −a

−b a 0







 x y z





On pourrait aussi considérer la matrice Z de − → x → ( − → x ∧ − → u ) ∧ − → u mais en fait il est inutile de la calculer. Il sut de remarquer que

Φ = S + A = S + cos π

2 Z + sin π 2 A On en déduit que ϕ est la rotation d'angle π

2 autour de − → u 4. a. D'après III.1. l'expression du retournement est

−

→ x →< − → x , − → u > − → u +cos π( − → u ∧− → x )∧− → u +sin π( − → u ∧− → x ) =< − → x , − → u > − → u −( − → u ∧− → x )∧− → u

b. D'après la question précédente, la matrice du demi-tour est S − Z . On a donc besoin ici de calculer la matrice Z de − → x → ( − → x ∧ − → u ) ∧ − → u .



 bz − cy cx − az ay − bx



 ∧



 a b c



 =





(c

²

+ b

²

)x − aby − acz

−abx + (a

²

+ c

²

)y − bcz

−acx − bcy + (a

²

+ b

²

)z





On en déduit la matrice Z : Z =





c

²

+ b

²

−ab −ac

−ab a

²

+ c

²

−bc

−ac −bc a

²

+ b

²





puis la matrice cherchée qui est égale à S − Z soit





a

²

− c

²

+ b

²

2ab 2ac 2ab −a

²

+ b

²

− c

²

2bc 2ac 2bc −a

²

− b

²

c

²





Partie IV

Dans cette partie, r est la rotation d'angle θ autour de − → u , la réexion de plan (Vect( − → u ))

^⊥

est notée s et δ est la composée s ◦ r . L'automorphisme orthogonal δ est donc une rotation- miroir.

1. La matrice de δ dans une base orthonormée directe ( − → a , − → b , − → u ) est





cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0

0 0 −1





Comme δ( − → x ) = − → x si et seulement si − → x ∈ ker(δ − Id

_E

) . On calcule le déterminant det(δ − Id

_E

) :

cos θ − 1 − sin θ 0 sin θ cos θ − 1 0

0 0 −2

= −2 (cos θ − 1)

²

+ sin

²

θ

= −4(1 − cos θ)

Si cos θ 6= 1 c'est à dire si θ n'est pas congru à 0 modulo 2π ou encore si r 6= Id

_E

, ce déterminant est non nul donc 0

_E

est le seul vecteur invariant par δ .

2. L'application δ est égale à s si et seulement si r = Id

_E

c'est à dire si θ est congru à 0 modulo 2π .

L'application δ est égale à −Id

E

si et seulement si r = −s c'est à dire si r est le demi-tour d'axe Vect( − → u ) ou encore θ est congru à π modulo 2π .

3. On xe − → u et θ . La nature de f se déduit des questions précédentes.

Si ε = 1 , f est la rotation r d'angle θ autour de − → u . L'ensemble les points invariants par f est le plan (Vect( − → u ))

^⊥

.

Si ε = −1 , f est la rotation-miroir s ◦ r , composée de la rotation r d'angle θ autour de

−

→ u et de la réexion par rapport au plan (Vect( − → u ))

^⊥

. Le vecteur nul est le seul vecteur

invariant par f .