PT 2020-2021 18-09-2020 DEVOIR SURVEILLE n° 1
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L’usage de calculatrice est interdit pour l’ensemble des problèmes constituant ce devoir.
Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.
Vous devez traiter les 4 problèmes sur 4 copies différentes.
Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie
« blanche ».
Barème Ramassé à Premier problème 33 % 15h00 Deuxième problème 15 % 16h00 Troisième problème 23 % 16h30 Quatrième problème 29 % 17h00
Vous avez tout intérêt à faire dans l’ordre : le 1er problème, puis le 2ème problème, puis le 3ème problème, et enfin le 4ème problème !
Vous êtes libres de commencer le problème suivant avant que je ramasse les copies (vous pouvez par exemple commencer le 2ème problème avant 15h00).
PREMIER PROBLEME : Stabilité d’un système linéaire en mécanique et en électronique
Ce problème représente 33 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
1) Mécanique :
Une particule M, supposée ponctuelle, de masse m, se déplace dans le creux d’une calotte de glace de forme circulaire de centre O de rayon de courbure l (cas a), puis sur le sommet d’une calotte de glace de forme circulaire de centre O de rayon l (cas b). On suppose qu’il n’y a pas de frottement solide, mais simplement un « faible » frottement de type fluide f - v
M
, avec > 0, et que le déplacement se limite au plan perpendiculaire à ez
. On note R le référentiel, supposé galiléen, lié aux calottes.
On s’intéresse tout d’abord au cas a.
a) Déterminer l’équation du mouvement de M pour de petits angles.
b) D’après l’équation précédente, le système est-il stable ? c) Déduire de l’équation précédente la position d’équilibre.
d) Que se passe-t-il si l’on écarte très légèrement la masse de sa position d’équilibre ? On rappelle que le frottement fluide est « faible ». Donner la forme de la solution (t) sans chercher à expliciter les constantes d’intégration. Discuter de la stabilité.
On s’intéresse ensuite au cas b.
e) Déterminer l’équation du mouvement de M pour de petits angles.
f) D’après l’équation précédente, le système est-il stable ? g) Déduire de l’équation précédente la position d’équilibre.
h) Que se passe-t-il si l’on écarte très légèrement la masse de sa position d’équilibre ? Donner la forme de la solution θ(t) sans chercher à expliciter les constantes d’intégration. Discuter de la stabilité.
2) Electricité :
Considérons un circuit R L C (cas a’), avec R « petite » (« faible » amortissement) et s(t) la tension aux bornes de R, et un circuit R L C avec un amplificateur (en pointillés sur le schéma) d’impédance d’entrée infinie, de gain G = 2, et d’impédance de sortie nulle (cas b’).
On s’intéresse tout d’abord au cas a’.
a) Etablir l’expression de la fonction de transfert e Hs.
b) En déduire l’équation différentielle reliant e(t) et s(t). La simplifier pour e(t) = 0 (régime libre).
c) D’après l’équation précédente, le système est-il stable ?
Pour la suite, on considérera que e(t) = 0.
d) Déduire de l’équation précédente s(t) en « régime établi ».
e) Que se passe-t-il si une légère perturbation écarte le signal de sortie de son régime établi ? On rappelle qu’on a un « faible » amortissement. Donner la forme de la solution s(t) sans chercher à expliciter les constantes d’intégration. Discuter de la stabilité.
f) Peut-on faire une analogie avec l’étude mécanique précédente ?
On s’intéresse ensuite au cas b’.
g) Etablir l’expression de la fonction de transfert e Hs.
h) En déduire l’équation différentielle reliant e(t) et s(t). La simplifier pour e(t) = 0 (régime libre).
i) D’après l’équation précédente, le système est-il stable ?
Pour la suite, on considérera que e(t) = 0.
j) Déduire de l’équation précédente s(t) en « régime établi ».
k) Que se passe-t-il si une légère perturbation écarte le signal de sortie de son régime établi ? Donner la forme de la solution s(t) sans chercher à expliciter les constantes d’intégration. Discuter de la stabilité.
l) Peut-on faire une analogie avec l’étude mécanique précédente ?
DEUXIEME PROBLEME : Circuits RL et RLC (d’après banque PT 2009)
Ce problème représente 15 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
Donnée numérique : ln(7) 2
On considère une bobine (b) alimentée par une tension u
t Ueff 2cos
t et parcourue par un courant variable i
t Ieff 2cos
t -
. On se place dans le cadre de l’approximation des états quasi- stationnaires.On adopte comme modèle équivalent de la bobine (b) : une bobine d’inductance propre L et de résistance R.
1) Donner les expressions de L et de R en fonction de Ueff, Ieff, et .
On considère maintenant le circuit résonant constitué de la bobine (b) en série avec un condensateur de capacité C0 et un interrupteur K. Le modèle électrique est alors un circuit RLC (Figure 1). A t = 0, le condensateur est initialement chargé, la tension à ses bornes vaut vc(0) = U0 (U0 < 0), et on ferme l’interrupteur. On posera
0
0 LC
1
et
L 0
2 m R
. Le facteur de qualité du circuit vaut
m 2 Q 1 .
Figure 1
2) Etablir les équations différentielles auxquelles satisfont i(t) et vc(t).
3) Les résoudre lorsque m < 1.
Un enregistrement du courant pendant la décharge du condensateur est donné à la figure 2 ci-dessous.
Figure 2
4) Montrer comment la connaissance du rapport des amplitudes I1 et I2 et la durée N.T1 (voir figure 2 ci- dessus) permet de trouver les valeurs de 0 et de m, puis de L et R.
Application numérique : C0 = 22 nF, N = 3, T1 = 0,4 ms. En utilisant le graphe de la figure 2, déterminer 0, m, L et R.
TROISIEME PROBLEME : Alimentation électrique d’un four à induction (d’après banque PT 2009)
Ce problème représente 23 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
On modélise électriquement un four à induction par une bobine inductive de résistance R et d’auto- inductance L.
1) Transfert de puissance à un dipôle inductif.
On maintient une tension u Umcos
t aux bornes d’une bobine inductive de résistance R et d’auto- inductance L. L’intensité du courant électrique est alors : iImcos
t
.Les données sont : L, R, Um.
Pour les applications numériques, on prendra :
R = 1.102 ; L = 4.102 lorsque f = 4,0 kHz ; Um = 1,5 V.
a) Déterminer littéralement :
) L’amplitude Im et la valeur efficace I, en fonction de et des données ;
) La puissance électrique moyenne P transférée à la bobine ;
) La valeur maximale Pmax de P, pour R, L et Um fixés ;
) Le taux de transfert de puissance TP = Pmax
P .
b) Calculer numériquement la valeur de TP pour la fréquence f = 4,0 kHz.
2) Amélioration du transfert de puissance.
On ajoute un condensateur de capacité C en série avec la bobine précédente.
Cet ensemble est alimenté par la tension précédente u Umcos
t .a) Donner l’expression littérale du taux de transfert TP, Pmax étant le même qu’en 1)a).
b)
) Etablir l’expression littérale de la valeur C0 de C permettant un transfert optimal de puissance électrique à la bobine, à la fréquence imposée f = 4,0 kHz.
) Calculer numériquement C0 et TP(C0). Conclure.
c) Tracer, après une étude asymptotique, une représentation graphique de TP en fonction de C.
d) Lorsque C = C0, donner l’expression littérale de Im et . 3) Introduction d’une charge non ferreuse dans la bobine.
On réalise le circuit ci-contre.
Le GBF délivre une tension
t cos Uu m .
Um = 1,5 V r = 3.101 f = 4,0 kHz
La sensibilité verticale sur les deux voies est de 0,5 V/division.
a) La bobine étant « vide », on règle la valeur de la capacité à C = 37,5 nF pour obtenir l’oscillogramme n°1 (rappel : Vpp est la tension crête à crête). Déduire de l’oscillogramme n°1 les valeurs, lorsque la bobine est « vide », de la résistance Rv de cette bobine et de son inductance « à vide » Lv.
b) On insère un morceau d’aluminium (substance non ferreuse) dans la bobine ; on observe alors un décalage des courbes (oscillogramme n°2). Déterminer le déphasage de i par rapport à u.
c) Pour obtenir l’oscillogramme n°3, on doit faire passer la capacité à la valeur C’ = 43,7 nF.
Déterminer, lorsque la bobine contient un morceau d’aluminium, les valeurs de sa résistance Rc et de son inductance Lc.
4) Pilotage du four à induction.
La charge mise à fondre dans le four change les paramètres électriques R et L de ce four ; en particulier, l’inductance L baisse en cours de chauffe.
On désire que le four travaille constamment à puissance optimale.
Dans la pratique, on choisit C de manière à optimiser le transfert de puissance « à froid », puis on régule en cours de chauffe en jouant sur un autre paramètre.
Préciser quel est ce paramètre et quel doit être le sens de son évolution en cours de chauffe. Justifier votre réponse.
QUATRIEME PROBLEME : Filtres pour enceinte acoustique
Ce problème représente 29 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
Une enceinte acoustique simple est constituée de deux haut-parleurs (un woofer pour les basses fréquences et un tweeter pour les hautes fréquences) assimilés à des résistances pures. Le signal de sortie de l’amplificateur doit être dirigé à l’aide de filtres vers l’un ou l’autre des haut-parleurs. Ces filtres sont uniquement composés d’inductances et de condensateurs.
Le filtre 1 est un filtre passe-bas de BUTTERWORTH caractérisé par une fonction de transfert de module :
6
0
1 H 1
.
1) Vérifiez que
2 31 1 2j x 2 j x j x H 1
avec
0
x
convient.
2) On considère le quadripôle L1, C, L2 chargé par une résistance R représenté par le document suivant.
a) Déterminer la fonction de transfert reliant la tension de sortie à la tension d’entrée de ce quadripôle.
b) Sachant que R = 8 (valeur normalisée de l’impédance d’un haut-parleur), déterminer L1, L2 et C pour que la fonction de transfert soit celle d’un filtre de BUTTERWORTH passe-bas, de pulsation de coupure à – 3 dB égale à 6000 rad.s-1.
c) Donner l’allure du signal de sortie obtenu pour un signal créneau de période T du type : 0 < t <
2
T : ve = 1 V, 2
T < t < T : ve = 0 V pour les valeurs de T suivantes : 10 ms, 1 ms et 0,1 ms.
3) Déterminer le module de la fonction de transfert H du deuxième filtre tel que dans le dispositif ' utilisé, la puissance moyenne totale fournie par l’amplificateur est indépendante de la fréquence (utiliser un raisonnement énergétique simple). Que peut-on en déduire au sujet de l’admittance d’entrée des deux filtres en parallèle ? Vérifier que
2 33
2 1 2j x 2 j x j x x
H j
avec
0
x
convient (filtre passe-haut de BUTTERWORTH d’ordre 3).
4) On considère le quadripôle C1, L, C2 chargé par une résistance R représenté ci-après :
a) Déterminer la fonction de transfert reliant la tension de sortie à la tension d’entrée de ce quadripôle.
b) Sachant que R = 8 (valeur normalisée de l’impédance d’une enceinte acoustique), déterminer C1, C2 et L pour que la fonction de transfert soit celle d’un filtre de BUTTERWORTH passe-haut, de pulsation de coupure à – 3 dB égale à 6000 rad.s-1.
c) Donner l’allure du signal de sortie obtenu pour un signal créneau de période T du type : 0 < t <
2
T : ve = 1 V, 2
T < t < T : ve = 0 V pour les valeurs de T suivantes : 10 ms, 1 ms et 0,1 ms.
