PT 2018-2019 29-03-2019 DEVOIR SURVEILLE n° 6

PT 2018-2019 29-03-2019 DEVOIR SURVEILLE n° 6

Durée : 4h

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

L’usage de calculatrice est interdit pour les 1

^er

et 2

^ème

problèmes, et autorisé pour les 3

^ème

et 4

^ème

problèmes.

Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.

Vous devez traiter les 4 problèmes sur 4 copies différentes.

Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie

« blanche ».

Barème Ramassé à Premier problème 11 % 14h00 Deuxième problème 20 % 15h00 Troisième problème 31 % 16h00 Quatrième problème 38 % 17h00

Vous avez tout intérêt à faire dans l’ordre : le 1^er problème, puis le 2^ème problème, puis le 3^ème problème, et enfin le 4^ème problème !

Vous êtes libres de commencer le problème suivant avant que je ramasse les copies (vous pouvez par exemple commencer le 2^ème problème avant 14h00).

PREMIER PROBLEME :Thérémine – Modèle explicatif de l’influence des mains (d’après banque PT 2018)

Ce problème représente 11 % du barème.

L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.

On s’intéresse à un instrument de musique qui est un ancêtre des instruments électroniques et qui est encore utilisé de nos jours pour sa musicalité particulière : le thérémine, présenté en concert à Paris en 1927.

Aucune connaissance relative aux ondes sonores n’est requise. Les documents 2 et 3 donnent les informations nécessaires.

Figure 1 : Thérémine

Document 1 : Description du thérémine

Grâce à un thérémine, le musicien crée des signaux électriques pour engendrer in fine à partir de ceux-ci des ondes sonores perçues par les auditeurs.

Le thérémine est un boitier électronique avec deux antennes qui produit de la musique sans que l’instrumentiste ne touche l’instrument. Une antenne verticale est dite antenne de tonalité ou pitch car on commande la hauteur de la note en faisant varier la distance de la main droite à l’antenne verticale.

L’antenne horizontale en forme de boucle est utilisée pour faire varier l’intensité du son selon la position de la main gauche (figure 1). La sortie du son, proche de celui d’une scie musicale, se fait par un haut- parleur. Cet instrument exige de l’instrumentiste une grande précision des mouvements de ses mains et une quasi-immobilité du reste du corps : la note juste est difficile à atteindre. Les morceaux joués sont lents.

Document 2 : Caractéristiques des sons : hauteur et intensité

La hauteur d’un son est la fréquence du fondamental. Les harmoniques décroissants avec le rang participent au son global. L’oreille perçoit la hauteur même si le fondamental est quasi-inexistant !

Intensité sonore :

On obtient des effets musicaux en jouant certaines notes de manière plus intense que d’autres.

Le son est généralement restitué par un haut-parleur qui transforme un signal électrique en son.

L’intensité du son est une fonction croissante de l’amplitude du signal électrique.

Document 3 : Audibilité

L’oreille humaine moyenne est sensible aux sons dont la fréquence est dans le domaine ]20 Hz, 20 kHz[.

Un son grave est un son de basse fréquence, un son aigu de haute fréquence.

L’antenne de tonalité (pitch) est reliée à un circuit oscillant (L0, C0). Le caractère conducteur du corps humain de l’instrumentiste fait que l’ensemble (antenne de tonalité, main droite en face) revient à placer un condensateur de capacité Ch1 (figures 2, 3 et 4) en parallèle sur le condensateur de capacité C0. De même, l’antenne de volume introduit une capacité en parallèle sur son circuit électrique Ch2 (figures 2, 3 et 4).

Figure 2 : Schéma-bloc A fonctionnel d’un thérémine

Figure 3 : Schéma-bloc B d’un thérémine

Figure 4 : Circuit oscillant des antennes de tonalité ou de volume La position des mains influe sur la valeur des capacités Chi.

En particulier, la position de la main droite influe sur la valeur de la capacité Ch1 (c’est ce que nous allons étudier ici), et donc in fine sur la hauteur du son (non étudié ici).

Dans ce problème, nous allons justifier l’existence des condensateurs de capacités variables Chi

engendrées par les mains de l’instrumentiste.

La permittivité diélectrique du vide vaut 0 = 8,85.10^-12 F.m^-1. On assimile la permittivité de l’air à celle du vide.

1- Définir ce qu’est un condensateur et ce qu’est sa capacité en électrostatique.

2- On considère un condensateur plan (figure 5). Les armatures ont une surface S et sont distantes de d avec d << S . On néglige les effets de bord. Etablir, en le justifiant, l’expression du champ électrostatique E

qui règne dans l’espace entre les armatures planes en fonction de la densité surfacique de charge  de l’armature chargée positivement.

En déduire l’expression de la différence de potentiel U = (V1 – V2) entre les deux armatures. Exprimer la capacité du condensateur en fonction de 0, S et d.

Figure 5 : condensateur plan 3- Modélisation de l’influence des mains

En première approche, on utilise le modèle plan suivant (figure 6) :

- l’antenne constitue l’armature 1 d’un condensateur plan de potentiel V1 et de surface S, - l’autre armature de potentiel nul est constituée par :

 le corps immobile de l’instrumentiste à la distance d de l’armature 1,

 avec sa main droite « en avant » du corps, modélisée par une surface plane de surface s << S. S est l’aire totale des armatures en regard.

Exprimer la capacité Ch1 en fonction de 0, S, s, x et d.

Figure 6 : modèle plan

4- L’instrumentiste déplace très légèrement la main d’une quantité x petite devant x. Exprimer la nouvelle capacité de l’ensemble.

Quelle est la variation Ch1 de la capacité au premier ordre en fonction de 0, s, x et x ? Faire l’application numérique pour s = 100 cm², x = 20 cm et x = 0,5 cm. Commenter.

5- Le modèle est trop simpliste pour traduire la capacité de l’ensemble antenne et instrumentiste. Il faut évidemment tenir compte de la géométrie de l’antenne qui est un cylindre de hauteur h et de rayon r.

Des études sur les antennes conduisent à une évaluation de la capacité de la forme



 



  d

h Ln 2

h C_a0 2⁰

en

l’absence d’instrumentiste. La présence de l’instrumentiste avec une main à la distance x introduit une modification de la capacité égale à



 



 

d x Ln 2 10 C_a0 ⁰ h

 . Calculer l’ordre de grandeur de Ca0/Ca0 pour

une antenne de hauteur h = 50 cm, de diamètre d = 1 cm avec une distance x = 20 cm entre la main droite et l’antenne. On donne log 2 = 0,30.

DEUXIEME PROBLEME :Théorie des tubes à vide (d’après banque PT 2018)

Ce problème représente 20 % du barème. L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.

Un musicien crée des signaux électriques (ou des sons convertis en signaux électriques) pour engendrer in fine à partir de ceux-ci des ondes sonores perçues par les auditeurs.

On utilise encore parfois de nos jours, pour réaliser l’amplification, des tubes à vide (lampes) plutôt que des montages à transistor car les mélomanes en préfèrent la musicalité.

Une triode (figure 1) est un composant électronique formé d’une ampoule à vide dans laquelle sont insérées trois électrodes : une cathode K, une anode A et une grille G.

Figure 1 : lampe triode

La triode se compose d’une cathode K qui émet des électrons, d’une anode A ou plaque et d’une grille G de commande, placée entre les deux très près de la cathode, à l’intérieur d’une enceinte de verre dans laquelle on a fait le vide. La cathode est au potentiel nul (ou masse), la grille à un potentiel UG < 0 et l’anode au potentiel UA > 0. Un circuit conducteur extérieur contenant un générateur de tension relie l’anode à la cathode et un autre de même type la grille à la cathode (figure 2). Un dispositif annexe de chauffage porte la cathode K à une température suffisante pour qu’il y ait un nuage d’électrons autour de la cathode. En jouant sur le potentiel de la grille, une quantité plus ou moins grande d’électrons arrive sur l’anode. On a donc créé un générateur d’intensité commandé par la tension de grille UG. Le montage avec ou sans grille est représenté ci-dessous figure 2.

Figure 2

On suppose que les électrodes sont planes de surface S, parallèles, orthogonales à x’x. Les grandeurs dans le tube à vide ne dépendent que de x. La distance cathode-anode vaut d. On confond la cathode K avec le plan x = 0.

1-a- Rappeler le théorème de l’énergie cinétique.

1-b- En supposant que les électrons sont émis par la cathode chauffée sans vitesse initiale et qu’on n’a pas placé de grille (montage 1 de la figure 2), exprimer l’énergie cinétique des électrons qui arrivent à l’anode.

1-c- A quelle condition sur le potentiel UA le passage du courant est-il possible ? 1-d- Dans quel sens est-il réellement dirigé à travers l’ampoule ?

1-e- Expliquer pourquoi on peut ainsi réaliser le dipôle D de la figure 3, ayant la caractéristique de la figure 4.

Le composant D est un dipôle passif fonctionnant comme un interrupteur K commandé par la tension U = e – S.

- Si U < 0, l’interrupteur K est ouvert (courant électrique i nul), D est à l’état bloqué.

- Si U = 0, l’interrupteur K est fermé, un courant électrique circule de E vers S (sens passant), D est à l’état passant.

Figure 3 : dipôle D

Figure 4 : caractéristique du dipôle D

2- Comme on ne peut pas considérer les électrons indépendants les uns des autres, on utilisera une description avec une densité volumique d’électrons n(x), une densité volumique de courant

x x -en(x) v(x)e e

j -

j  

  , supposée indépendante de x, au moins par morceaux. Rappeler à quelle équation différentielle (dite équation de Poisson) obéit le potentiel V(x). En déduire l’équation différentielle (1) qui traduit le lien entre V(x), v(x), j et 0 pour un faisceau d’électrons qui se déplacent tous dans le même sens.

3- On considère toujours le montage sans grille 1. On suppose que les électrons sortent de la cathode K avec une énergie cinétique initiale m_e v²₀

2

1 et qu’on peut toujours leur appliquer le théorème de l’énergie cinétique individuellement. Par souci de simplification de notation, on posera la valeur de l’énergie mécanique initiale sous la forme _m0 m_e v²₀ eV₀

2

E 1  .

Exprimer l’équation (2) qui donne v(x) en fonction de e, me, V0 et V(x). A quelle condition sur V(x) un plan x = Cste = a est-il atteint par les électrons ?

4- La répartition des électrons autour de K implique que la fonction potentiel V(x), entre x = 0 et x = d, est une fonction décroissante puis croissante de x, allant de 0 à UA, représentée figure 5. On note xm et – Vm = Vmin les coordonnées du minimum de V(x). La densité du courant d’électrons sortant de la cathode imposée par le chauffage vaut j₀ -j_max e_x

 .

Figure 5

On admettra qu’il y a conservation de l’énergie mécanique des électrons se déplaçant au sein de la distribution de charges.

4-a- Représenter graphiquement l’énergie potentielle d’un électron en fonction de sa position x au sein de la distribution.

4-b- Représenter sur le même graphe l’énergie mécanique pour V0 < Vm. Expliquer pourquoi l’intensité du courant est nulle.

4-c- Représenter sur le même graphe l’énergie mécanique pour V0 > Vm. Expliquer alors pourquoi l’intensité se sature à la valeur Imax. Expliciter dans ce cas Imax en fonction de S et jmax.

5- Pour l’état intermédiaire V0 = Vm, on a une intensité i telle que 0 < i < Imax. 5-a- En quelle position x = x0 la vitesse des électrons s’annule-t-elle ?

5-b- Que vaut le champ électrique en ce plan ?

On admet que les électrons peuvent repartir de x = x0 vers l’anode A et vers la cathode K.

5-c- Quelle est la densité volumique de courant j - je_x

 en fonction de i et S pour x > x0 ? 6- On est toujours dans le cas V0 = Vm.

On note j_ -j_ e_x

 et j_ j_ e_x

 les densités volumiques de courant associées aux électrons qui vont dans le sens des x croissants et dans le sens des x décroissants pour x < x0. On note n⁺(x) et n^-(x) les densités correspondantes des électrons.

6-a- A partir de la loi aux nœuds en x = x0, établir le lien entre j⁺, j^- et j.

6-b- Donner j⁺ et j^- en fonction de i, Imax et S, en utilisant le fait que le flux d’électrons sortant de la cathode est imposé par le chauffage.

6-c- Montrer que pour une même valeur de x, la norme notée v(x) de la vitesse est la même quelque soit le sens de déplacement.

6-d- Etablir la densité volumique de charges (x) en fonction de v(x), i, Imax et e. En déduire que la grandeur j de l’équation (1) doit être remplacée par

S i - I

j2 ^max .

7- La combinaison des équations (1) et (2) conduit à l’équation différentielle suivante :



0



²¹

e 0 2 2

V V(x) m

ε 2e j dx

V(x)

d   

Une double intégration permet de déterminer que, dans la situation intermédiaire, on a la relation

   

0 e

4 0 3

0 ε

2e j m x

- x V(x)

V   pour d  x  x0. Montrer qu’on obtient une équation caractéristique en état intermédiaire de la forme ip



V0  UA



²³.

Fin des questions

Quand on s’intéresse au montage 2 de la figure 2 avec grille donc à celui de la lampe triode, la situation de la grille portée à un potentiel UG placée entre l’anode et la cathode rend l’étude précédente beaucoup plus difficile à mener mais on peut établir la loi de Child qui donne le courant i d’une triode en fonction des potentiels UG de la grille et UA de la cathode : ip



μ U_G  U_A



²³ avec comme dans la question précédente un coefficient p qui est lié à la géométrie du tube à vide. On appelle µ le coefficient d’amplification.

Pour une lampe donnée, on trace les courbes expérimentales de l’intensité i (notée aussi IA) en fonction du potentiel de l’anode UA, pour une valeur fixée du potentiel de grille UG : ce réseau des caractéristiques de fonctionnement de la triode est représenté figure 6.

Figure 6 : caractéristiques d’une triode Fin du problème

TROISIEME PROBLEME :Sonde à effet Hall (d’après banque PT 2006)

Ce problème représente 31 % du barème.

L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.

On considère une plaque rectangulaire d’épaisseur h et de largeur L.

Figure 1

1. Etude de l’effet Hall

La plaque est parcourue par un courant d’intensité I, uniformément réparti sur la section de la plaque et de densité de courant volumique J Ju_x

 .

La conduction électrique est assurée par des porteurs mobiles identiques, de charge q, de nombre par unité de volume noté n.

La plaque est placée dans un champ magnétique uniforme B Bu_z

 créé par des sources extérieures. On néglige le champ magnétique créé par le courant I dans la plaque devant B

. 1.1. Exprimer le vecteur vitesse v

des porteurs de charge dans la plaque en fonction de J Ju_x

 , n et q.

1.2. Montrer qu’il existe en régime permanent un champ électrique, perpendiculaire à Ox, appelé champ électrique de Hall E_H

. Exprimer les composantes de E_H .

1.3. Déterminer, en régime permanent, la valeur de la différence de potentiel transversale VH = V(A1) – V(A2) où A1 et A2 sont deux points de même abscisse x et d’ordonnées respectives

2 -L y_A1 et

2 y_A2 L.

Montrer que VH, tension de Hall, peut s’écrire VH = IB h C_H

. Expliciter la constante CH.

1.4. Pour un sens de courant et de champ magnétique donnés, quelle information concernant le phénomène de conduction apporte le signe de la tension de Hall VH ?

1.5. On peut utiliser deux matériaux : l’un qualifié de conducteur métallique, l’autre de semi-conducteur, dont les caractéristiques sont les suivantes :

n : densité en m^-3 q Conductivité γ en S.m^-1 Conducteur métallique 7.10²⁸ - 1,6.10^-19 C 6.10⁷

Semi-conducteur de type P 2.10²² 1,6.10^-19 C 3.10² a) Calculer la constante de Hall CH pour les deux matériaux.

Afin d’obtenir une tension de Hall de valeur absolue maximale pour ce capteur, quel matériau doit- on préférer ?

b) Pour une intensité I = 1 A et un champ magnétique B = 0,1 T, calculer VH pour deux épaisseurs h = 1 mm ou 0,1 mm pour le matériau choisi.

Quelle épaisseur est-il préférable d’utiliser ?

1.6. On souhaite établir la relation entre le champ électrique E

total dans la plaque et la densité de courant J

en présence du champ magnétique B . Soit E ' E'u_x

 la composante du champ électrique colinéaire à J

: on pose J γE'

 . Montrer qu’en présence du champ magnétique, on a ^{J γ}



^{E C}H ^{J B}









   .

1.7. Pour le semi-conducteur de type P considéré précédemment, tracer dans un plan xOy de la plaque les vecteurs

γ J

 , E

et les lignes équipotentielles en présence du champ magnétique.

1.8. Soit θ l’angle entre les vecteurs J et E

: θ =

 

^{J,E .}

Calculer la valeur de θ pour un champ magnétique extérieur B = 1 T.

2. Capteur de courant à effet Hall

Une sonde à effet Hall, d’épaisseur h, est insérée dans l’entrefer d’un circuit magnétique torique d’épaisseur pratiquement égale à h et de section S, voir figure 2 ci-dessous.

Dans toute cette partie 2, l’épaisseur de la sonde vaut h = 1,5 mm et la section de l’entrefer vaut S = 1 cm².

Le matériau dont est constituée la sonde a une constante de Hall CH = 4.10^-4 m³.C^-1.

La sonde à effet Hall est parcourue par un courant d’intensité constante I = 100 mA.

Le courant à mesurer Ip traverse le plan xOz du circuit magnétique torique au centre de celui-ci.

Il produit un champ magnétique B

dont les lignes de champ sont canalisées dans le circuit magnétique.

On admet que le champ magnétique dans l’entrefer est uniforme, de direction parallèle à Oz, et a sensiblement pour valeur ^{0 p} u_z

h I

B µ 

 .

2.1. Capteur de courant à boucle ouverte

Figure 2

a) A l’aide du résultat de la question 1.3., montrer que la tension de Hall VH peut s’écrire : VH = K.I.Ip. Expliciter la constante K.

b) Pour µ0 = 4π.10^-7 H.m^-1, calculer la valeur numérique de K.

Calculer VH pour un courant Ip = 500 A.

c) Pour amplifier la tension VH, on utilise un montage à A.L.I. supposé idéal.

Exprimer la tension vs en fonction de VH, R1 et R2.

d) On souhaite obtenir une tension de sortie vs = ks × Ip avec ks = 10 mV/A.

Proposer des valeurs pratiques pour les résistances R1 et R2. 2.2. Capteur de courant à boucle fermée (voir figure 3 ci-dessous)

Ce type de capteur de courant à effet Hall utilise un bobinage secondaire autour du tore, composé de Ns

spires, et parcouru par un courant d’intensité is. Le courant is produit un champ magnétique B_s

dont les lignes de champ sont canalisées dans le circuit magnétique.

On admet que le champ B_s

dans l’entrefer est uniforme, de direction parallèle à Oz, et qu’il a sensiblement pour valeur ^{0 s s} u_z

h i N

-µ 



 



 .

Ce courant is est fourni par un « amplificateur de puissance » dont la tension de sortie vérifie la relation : vs = A . vH (avec A > 0).

Le bobinage secondaire a une résistance R et une inductance propre L.

La tension de sortie du capteur de courant, vc, est prélevée aux bornes de la résistance Rc.

Figure 3 a) Dans cette question, on suppose que Ip est nulle.

On suppose que l’énergie magnétique, associée à Bs, est localisée principalement dans l’entrefer.

Donner l’expression de l’énergie magnétique stockée dans l’entrefer Wm due au bobinage secondaire.

En déduire la valeur de l’inductance propre L du bobinage secondaire.

Calculer sa valeur numérique pour Ns = 100 spires.

On se place en régime variable pour le courant à mesurer ip(t).

Ce courant crée également dans l’entrefer un champ magnétique égal à ^{0 p} u_z h

(t) i

µ 



 



 .

b) Etablir l’équation différentielle régissant l’intensité is(t) et la mettre sous la forme suivante : α.i (t)

(t) dt i

(t)

τdi^s  _s  _p

Exprimer τ et α en fonction des éléments L, R, Rc, A, CH, h, I, Ns de ce capteur de courant, et de µ0. c) Pour R = 100 Ω, Rc = 10 Ω et A = 1000, calculer les valeurs numériques de τ et α.

d) On applique un échelon de courant : ip(t) = 0 A pour t < 0, et ip(t) = I0 = 10 A pour t > 0.

Déterminer l’expression de la tension de sortie du capteur vc(t), en utilisant notamment les notations τ et α, et la représenter graphiquement. Calculer numériquement

0 limite c

I

v .

QUATRIEME PROBLEME :Quelques analogies électriques et magnétiques (d’après banque PT 2007) Ce problème représente 38 % du barème. L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.

On se propose dans ce problème d’étudier différents phénomènes électromagnétiques, en géométrie cylindrique.

Un point M de l’espace sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z), l’axe Oz étant l’axe de symétrie de révolution des phénomènes étudiés.

La base



^u_r^,u_θ



est l’image de la base



ux ,uy



par la rotation d’axe Oz et d’angle θ.

Dans les parties 1 et 2, on considère un cylindre d’axe Oz, de section droite circulaire de rayon R, et de hauteur h supposée très grande devant R.

Dans les parties 1 et 2, le champ électromagnétique est permanent, tandis que dans la partie 3, on s’intéresse à la propagation d’un champ variable dans le temps, sans se préoccuper des champs permanents.

On donne ci-dessous les expressions des opérateurs dans le système des coordonnées cylindriques.

θ z

r u

z u f θ f r u 1 r f f

grad   







 





z a θ a r 1 r

) a (r r a 1

div ^{r θ z}







 



 



 



 











 





 









θ - a r a r r 1

r - a z a

z - a θ a r 1

a rot

θ r z r

θ z



2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

z f θ

f r

1 r r f r r 1 z

f θ

f r

1 r f r 1 r Δf f







 



 











 







 



 





Le référentiel du laboratoire est supposé galiléen.

On donne la relation de passage pour E

en présence de charges surfaciques séparant deux milieux 1 et 2 de part et d’autre de cette surface chargée : ₁₂

0 1

2 n

ε E σ -

E  

 , où E₁ et E₂

sont respectivement les champs dans les milieux 1 et 2 au voisinage immédiat de la surface, n₁₂

est le vecteur unitaire normal localement à cette surface et allant du milieu 1 vers le milieu 2, et  est la densité surfacique de charges.

On donne la relation de passage pour B

en présence de courants surfaciques séparant deux milieux 1 et 2 de part et d’autre de cette nappe de courant : B₂ -B₁ μ₀ j_S n₁₂



 , où B₁ et B₂

sont respectivement les champs dans les milieux 1 et 2 au voisinage immédiat de la nappe de courant, n₁₂

est le vecteur unitaire normal localement à cette surface et allant du milieu 1 vers le milieu 2, et j_S

est le vecteur densité de courant surfacique.

1. Champ créé par le cylindre

1.1. Le cylindre, fixe dans le référentiel du laboratoire, est uniformément chargé en volume avec une densité volumique de charge ρ.

a. A l’aide du théorème de Gauss, déterminer le champ électrique créé en tout point M de l’espace et vérifier que le potentiel scalaire à l’extérieur du cylindre peut s’écrire sous la forme :



 



 

R ln r α

V(r) , si l’on fait le choix de la convention V = 0 en r = R.

b. Déterminer V(r ≤ R) et représenter l’allure des graphes des fonctions V(r) et E(r) = E(M).u_r , pour tout r > 0.

c. Calculer le laplacien de V à l’extérieur du cylindre. Commenter.

1.2. Le cylindre n’est plus chargé, mais est parcouru par un courant volumique uniforme et permanent de densité j ju_z

 .

A l’aide du théorème d’Ampère, déterminer le champ magnétique créé en tout point de l’espace.

On pose u_z

R ln r β

A 



 



  . Calculer rotA

. A quelle condition sur  le champ magnétique à l’extérieur du cylindre vaut B rotA

 ? (Dans ce cas, A

est appelé potentiel vecteur).

2. Action d’un champ extérieur sur le cylindre

2.1. Le cylindre est maintenant un conducteur neutre de conductivité γ. Il est placé dans un champ électrique permanent et uniforme, parallèle à l’axe Oz, E E₀ u_z

 .

a. Déterminer le vecteur densité de courant volumique j

, puis le champ magnétique qui en résulte en tout point intérieur au cylindre.

b. A partir de l’expression de la puissance volumique cédée par le champ à la matière, déterminer la puissance dissipée par effet Joule dans tout le cylindre, sur la hauteur h.

c. Déterminer le flux du vecteur de Poynting à travers la surface latérale du cylindre, et commenter physiquement le résultat.

2.2. On place maintenant ce cylindre, conducteur et neutre, dans un champ électrique appliqué (créé par un dispositif externe, non étudié ici) permanent et uniforme, perpendiculaire à l’axe Oz, E E₀ u_x

 .

a. Lorsque l’équilibre électrostatique est atteint, il n’y a pas de courant dans le conducteur. En utilisant la loi d’Ohm locale, que vaut le champ électrique à l’intérieur du cylindre ?

b. On cherche le champ électrique résultant à l’extérieur du cylindre ; pour cela on cherche le potentiel scalaire solution de l’équation ΔV = 0 sous la forme V(r, θ) = g(r) cosθ.

Ecrire l’équation différentielle satisfaite par la fonction g et en chercher 2 solutions g1 et g2 sous la forme r^p.

c. La fonction g étant de la forme A g1 + B g2, en déduire l’expression des composantes du champ électrique dans la base cylindrique, sans chercher à déterminer les constantes A et B, qui seront obtenues dans les questions qui suivent.

d. Loin du cylindre, le champ électrique doit être égal à E₀ u_x

; en déduire l’une des constantes.

e. Que devient la relation de passage du champ électrique à la traversée de la surface du cylindre, de rayon R ?

f. En déduire l’autre constante, puis la densité surfacique de charges σ(R, θ) qui apparaît à la surface du cylindre.

2.3. Le cylindre est constitué d’un matériau supraconducteur. Il est placé dans un champ magnétique appliqué, permanent et uniforme B B₀ u_y

 . Le champ électrique est supprimé.

Un supraconducteur a pour propriété d’expulser les lignes de champ magnétique de sorte que le champ magnétique à l’intérieur du cylindre est nul lorsque l’équilibre est atteint.

a. On admet qu’à l’extérieur du cylindre, le potentiel vecteur A

peut se mettre sous la forme uz

cosθ g(r)

A 

 où g est de la même forme que dans la partie 2.2. On notera A’ et B’ les deux nouvelles constantes.

En déduire le champ magnétique résultant à l’extérieur du cylindre, sachant que B rotA

 ; les constantes A’ et B’ seront déterminées par une démarche assez analogue à celle des questions 2.2.d à 2.2.f.

b. Déterminer la densité surfacique de courant j_s(R,θ)

qui apparaît à la surface du cylindre.

c. Le supraconducteur perd ses propriétés si ce courant surfacique dépasse une valeur critique jsc. En déduire la valeur critique du champ magnétique à ne pas dépasser.

3. Puissance transportée par un câble coaxial

Un câble coaxial est constitué de 2 cylindres parfaitement conducteurs de même axe Oz ; le premier est plein, de rayon R1 ; le second est creux, et de rayon interne R2 supérieur à R1. Le vide règne entre les deux cylindres, supposés de longueur très grande devant R1.

Une onde électromagnétique se propage dans cet espace vide compris entre les deux cylindres.

On suppose que le champ électrique associé à cette onde est de la forme :

r 0(r)cos(ω t -k z)u E

t) (M,

E 

 , où ω et k sont des constantes positives.

3.1. A partir des équations de Maxwell, établir l’équation de propagation (de D’Alembert) du champ électrique dans le vide.

3.2. A partir des équations de Maxwell :

a. Déterminer la fonction E0(r), sachant que E0(R1) = E1 ;

b. Déterminer le champ magnétique associé à l’onde ; on rappelle qu’on exclut de l’étude tout champ permanent.

3.3. Déduire des résultats des questions 3.1 et 3.2.a l’expression de k en fonction de ω (relation de dispersion). Commenter.

3.4. Déterminer, en fonction de z et t, les densités surfaciques de charge σ1 et σ2 ainsi que les courants surfaciques j_S1

et j_S2

qui apparaissent sur les surfaces cylindriques, de rayons R1 et R2 des deux conducteurs parfaits (un conducteur parfait est un conducteur de conductivité infinie, non précisé par l’énoncé original, mais notion pas encore abordée en cours).

3.5. Exprimer le vecteur de Poynting et sa valeur moyenne temporelle.

3.6. En déduire la puissance moyenne rayonnée par l’onde, dans l’espace inter-conducteur, à travers une section droite (z = constante) du câble.

Calculer sa valeur pour E1 = 5000 V.m^-1, R1 = 1,00 mm, R2 = 1,50 mm.

On donne ε0 = 8,84.10^-12 F.m^-1 et µ0 = 1,26.10^-6 H.m^-1.