PT 2019-2020 18-10-2019 DEVOIR SURVEILLE n° 2
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L’usage de calculatrice est interdit pour le 1
erproblème, et autorisé pour les 2
èmeet 3
èmeproblèmes.
Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.
Vous devez traiter les 3 problèmes sur 3 copies différentes.
Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie
« blanche ».
Barème Ramassé à Premier problème 30 % 14h30 Deuxième problème 20 % 15h30 Troisième problème 50 % 17h00
Vous avez tout intérêt à faire dans l’ordre : le 1er problème, puis le 2ème problème, et enfin le 3ème problème !
Vous êtes libres de commencer le problème suivant avant que je ramasse les copies (vous pouvez par exemple commencer le 2ème problème avant 14h30).
PREMIER PROBLEME : Ecoulement sanguin (d’après banque PT 2019)
Ce problème représente 30 % du barème.
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
Jean-Marie POISEUILLE (1797-1869) est un médecin français diplômé de l’école polytechnique (X1815).
On lui doit, entre autre, une méthode de mesure de la pression sanguine et plusieurs études sur la circulation sanguine qui l’amenèrent à poser les lois d’écoulement dans les tuyaux.
Figure 1
I) Ecoulement dans un tuyau :
Un liquide visqueux newtonien incompressible (masse volumique ρ, viscosité dynamique η) s’écoule dans un tuyau cylindrique horizontal de rayon R et de longueur L.
Le régime d’écoulement est laminaire et stationnaire
avec un débit volumique Dv. Figure 2
La vitesse en un point situé à la distance r de l’axe du tuyau, de symétrie axiale, obéit à la loi :
z2
u R . - r 1 B r
V
.
Le nombre de Reynolds s’écrit
η ρR V
Re 2 m , Vm étant la vitesse moyenne du fluide dans une
section droite du tuyau.
Les données sont : ρ, η, R, L et le débit volumique (ou débit en volume) Dv.
1) Expliciter le coefficient B en fonction des données.
2) Le module de la force F tangentielle exercée par le fluide, à cause de sa viscosité, sur la paroi interne du tuyau, est : 2 Dv
R η L 8
F .
a) Démontrer cette relation en précisant clairement le raisonnement.
b) Préciser sur un schéma le sens de cette force.
3) Le maintien du mouvement stationnaire du fluide nécessite une différence entre la pression à l’entrée du tuyau (Pe) et la sortie (Ps) : Pe – Ps = F / R2. Justifier qualitativement cette relation.
4) En déduire l’expression Pe – Ps = Rh.Dv et expliciter la résistance à l’écoulement Rh en fonction des données.
II) Perte de charge :
1) En dynamique des fluides, on appelle charge la quantité E =
2 z v g P
2
.
a) Quelle est l’unité de E dans le système international ? b) Rappeler l’équation de Bernoulli pour un fluide parfait.
2) Pour tenir compte de la dissipation d’énergie, on modifie la relation de Bernoulli en introduisant un terme de perte de charge.
La formule de Darcy donne la forme des pertes de charges régulières : Pc =
2 . V R 2 . L f
2
m
, Pc ayant la même unité que E.
a) Faire une analyse dimensionnelle du coefficient f.
b) A quoi correspondent les pertes de charges régulières ? c) Donner 2 exemples d’autres types de pertes de charges.
3) Le diagramme (de Moody) ci-dessous (figure 3) donne f en fonction de Re. En abscisse (respectivement ordonnée) sont portées les valeurs de Re (respectivement f) mais en échelle logarithmique (échelle log / log).
Figure 3
a) La partie droite du diagramme fait apparaitre un réseau de courbes dépendant de la rugosité relative du tuyau (notée /D sur la figure 3).
Un tuyau rugueux possède des aspérités dont la taille a pour valeur moyenne (en mètre) ; la rugosité relative est le rapport sans dimension /D (D : diamètre du tuyau).
L’évaluation du coefficient f peut se faire avec la relation expérimentale de Colebrook :
f . R
2,51 3,71.D
log ε 2 - f 1
e
.
Justifier, à l’aide de la relation de Colebrook, l’allure du diagramme de Moody pour des nombres de Reynolds très élevés.
b) Préciser comment Re permet de distinguer deux types d’écoulement et identifier la zone de ce diagramme associée à chaque type d’écoulement.
c) La partie gauche du diagramme fait apparaitre une droite.
) Montrer que cela correspond à une relation du type : f = K .Re.
) Déterminer, à partir des valeurs lues sur la figure 3 et du tableau ci-dessous, les valeurs approchées des constantes K et .
x 2 3,2 3,7 6,5 log(x) 0,3 0,5 0,6 0,8
4) Application à l’écoulement étudié en I) :
Les données et les notations sont celles de I) (données : ρ, η, R, L et Dv).
a) Trouver le lien entre Dv et la vitesse moyenne Vm.
b) Trouver une relation liant Pe – Ps, f et les données, en utilisant la relation de Bernoulli tenant compte des pertes de charges données par la formule de Darcy (II-2)).
c) Déduire des questions précédentes (I) et II-4)) le lien théorique entre f et le nombre de Reynolds Re. d) Comparer au résultat trouvé en II-3-c) ; conclure.
5) Application à la circulation sanguine :
Le sang est un liquide incompressible visqueux circulant dans le corps à travers un réseau d’artères, artérioles, capillaires, veinules, veines (figure 4).
Figure 4
Les échanges biochimiques se font à travers le réseau capillaire d’un organe pour lequel on mesure (figure 5) :
En A : pression moyenne PA = 4,0.103 Pa pour un débit volumique DVA = 1,8 L/min ;
En B : PB = 1,6.103 Pa.
a) Déterminer, à partir de la relation I-4), la résistance totale RhAB à l’écoulement entre A et B, en utilisant les unités (à préciser) du
système international. Figure 5
b) La figure 6 représente un modèle ramifié du réseau capillaire.
En moyenne, chaque vaisseau capillaire possède une longueur L = 1 mm, un rayon r = 3 µm, une résistance à l’écoulement Rhcap = 1,2.1019 SI.
Evaluer littéralement le nombre N1 de capillaires de ce modèle ramifié (sur la figure 6, chaque trait épais représente 1 capillaire) en fonction de RhAB et Rhcap.
Figure 6
DEUXIEME PROBLEME : Etude d’une turbine à gaz
Ce problème représente 20 % du barème.
L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.
On considère une turbine à gaz schématisée sur le dessin ci-dessous. Le gaz qui décrit le cycle est l’air considéré comme un gaz parfait. On ne tient pas compte de l’écoulement du gaz.
Partant de l’état 1 (P1 = 1,00 bar, T1 = 300 K), le gaz passe dans un turbocompresseur dans lequel il subit une compression adiabatique réversible (état 2 : P2 = 6,50 bar, T2). Ensuite il passe dans une chambre de combustion (E1), où il est mélangé avec une petite quantité de carburant dont on néglige la masse. Le gaz subit une transformation isobare réversible et passe à l’état 3 (P3, T3 = 1300 K). Le gaz subit ensuite une détente adiabatique réversible dans une turbine (T) pour arriver à l’état 4 (P4, T4). Enfin, il se refroidit de manière isobare réversible en retournant à l’état 1.
On donne pour l’air :
= 1,40
Masse molaire M = 29,0 g.mol-1
Constante des gaz parfaits R = 8,314 J.K-1.mol-1 On raisonnera sur une masse de 1 kg de gaz.
1) Déterminer l’expression de T2 et de T4 en fonction de T1, P1, P2 et T3. Effectuer les applications numériques.
2) Représenter le cycle dans un diagramme de Watt (P, V) sans respecter l’échelle. S’agit-il d’un cycle moteur ou récepteur ?
3) Déterminer les expressions des capacités thermiques à volume constant cv et à pression constante cp de 1 kg de gaz.
4) Déterminer les expressions des transferts thermiques reçus par le gaz entre les états 2 et 3 (Q23) et entre les états 4 et 1 (Q41). Effectuer les applications numériques.
5) Déterminer l’expression du travail total reçu par le gaz W sur le cycle. Effectuer l’application numérique.
6) La turbine entraîne le turbocompresseur par l’intermédiaire d’un arbre. Déterminer le travail nécessaire à l’entraînement du compresseur et la part que cela représente dans le travail total fourni par la turbine.
7) Déterminer l’expression du rendement Q23
η W en fonction des températures. Effectuer l’application
numérique.
TROISIEME PROBLEME : Etude d’une centrale géothermique (d’après banque PT 1999)
Ce problème représente 50 % du barème.
L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.
Le séparateur est un réservoir dont l’unique rôle est de séparer les deux phases : le liquide saturant à la partie inférieure, la vapeur saturante sèche à la partie supérieure (la pression qui y règne est constante).
On supposera cet élément calorifugé.
Le détendeur est un organe statique (pas de partie mobile) permettant d’adapter la pression à une valeur imposée. On supposera que l’évolution du fluide y est adiabatique.
Le surchauffeur est un échangeur permettant de surchauffer la vapeur saturante sèche provenant du séparateur S2 par échange thermique avec la vapeur saturante sèche provenant du séparateur S1. On supposera que les évolutions du fluide y sont isobares.
Présentation de l’installation : La vapeur humide (titre de vapeur égal à 0,25) provenant du forage est admise dans le séparateur S1 où règne une pression P1 égale à 7 bars (1 bar = 105 Pa). De ce séparateur, il sort d’une part la vapeur saturante sèche qui est dirigée vers le surchauffeur ou la turbine T1 et d’autre part le liquide saturant. Ce liquide saturant, après passage dans le détendeur, est envoyé dans le séparateur S2 où règne une pression P5 égale à un bar. De ce séparateur, il sort d’une part la vapeur saturante sèche, dirigée vers le surchauffeur puis vers la turbine T2, et d’autre part le liquide saturant rejeté vers l’extérieur. La vapeur saturante sèche sortant du séparateur S2 est surchauffée jusqu’à la température de 140°C (T7 = 140 °C = 413 K) grâce à la condensation totale d’une partie de la vapeur saturante sèche provenant du séparateur S1. Le liquide saturant sortant du surchauffeur est réintroduit dans le séparateur S2 après passage dans le détendeur. Après passage dans les turbines T1 et T2, la vapeur humide parvient au condenseur où la pression est maintenue à la valeur de 0,1 bar. Le liquide saturant provenant du condenseur est rejeté vers l’extérieur. La puissance mécanique utile, notée Pu, est disponible sur l’arbre commun aux deux turbines.
Hypothèses :
- Les détentes dans les turbines Tl et T2 sont supposées adiabatiques réversibles.
- On négligera les pertes mécaniques dans les turbines.
- Dans tout ce problème, les variations d’énergies cinétique et potentielle du fluide seront négligées.
Les tableaux de valeurs numériques de la vapeur d’eau saturée, remis avec le sujet, précisent, pour une pression ou une température donnée, les caractéristiques du liquide saturant (point M’) et celles de la vapeur saturante sèche (point M’’).
Les notations adoptées sont précisées sur le diagramme de Mollier ci-contre.
Question 1 : Rappeler les expressions du titre de vapeur, noté x(M), du point M, en fonction de h’, h’’, h(M), d'une part, s’, s’’ et s(M) d’autre part.
Première partie : Etude de la détente dans la turbine Tl :
Important : pour résoudre cette partie, on n’utilisera que les tableaux de valeurs numériques de la vapeur d’eau saturée.
Question 2 :
2a. Préciser pression (en bar), température (en °C), enthalpie massique (en kJ.kg-1) et entropie massique (en kJ.kg-l.K-1) au point 2.
2b. Calculer le titre de vapeur au point 3. En déduire son enthalpie massique.
2c. Calculer le travail indiqué massique de la détente, noté wi,T1.
Seconde partie : Etude de l’installation :
Question 3 : Démontrer que l’évolution dans un détendeur est isenthalpe.
Question 4 :
4a. Placer les points 2, 3, 6, 7 et 8 sur le diagramme (h, s) remis avec le sujet. Lire l’enthalpie massique des points 7 et 8.
4b. En utilisant les tableaux de valeurs numériques de la vapeur d’eau saturée, déterminer l’enthalpie massique aux points 1, 4, 5, 6, 9 et 10.
4c. Remplir le tableau fourni avec le sujet, précisant pression, température, enthalpie massique et titre de vapeur aux points 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10.
Préciser le calcul de x5 et x8.
Troisième partie : Bilan de l’installation : Notations : on notera :
M1 : le débit massique de vapeur humide obtenu par forage pénétrant dans le séparateur S1. M2 : le débit massique de vapeur saturante sèche sortant du séparateur S1.
M3 : le débit massique de liquide saturant sortant du séparateur S1.
M4 : le débit massique de vapeur saturante sèche sortant du séparateur S2 et pénétrant dans le surchauffeur, puis la turbine T2.
M5 : le débit massique de vapeur saturante sèche pénétrant dans le surchauffeur et retournant dans le séparateur S2.
R1 : le débit massique de liquide saturant, provenant de S2 et rejeté vers l’extérieur.
R2 : le débit massique de liquide saturant, provenant du condenseur et rejeté vers l’extérieur.
Donnée : M1 = 250 kg.s-1 Question 5 :
5a. Calculer les débits massiques M2 et M3. 5b. Calculer les débits massiques M4 et M5. 5c. Calculer les débits massiques R1 et R2. Question 6 :
6a. Calculer le travail indiqué massique de la détente, noté wi,T2 .
6b. Calculer Pu la puissance mécanique utile disponible sur l’arbre commun des turbines.
6c. Comparer la puissance mécanique utile obtenue précédemment avec celle disponible sur l’arbre de la turbine lors de l’étude de l’installation simplifiée (comportant uniquement le séparateur S1 alimentant en vapeur saturée la seule turbine T1).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P (bar)
T (°C) 140
h (kJ.kg-1)
x 0,25
