Terminale S2 Jeudi 17 septembre 2002
DEVOIR SURVEILLE n°2
Exercice n°1 :
Soit (O, i ,
j ) un repère orthonormé.
1. Soit g la fonction définie sur par : g(x) = 2x3 + 6x2 + 7x + 1.
a. Construire le tableau de variations complet de g sur ,
b. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α dont on déterminera une solution à 10-2 près par excès,
c. En déduire le signe de g(x).
2. Soit f(x)= x4+4x3+7x2+2x + 2
a. Démontrer que x4 + 4x3 + 7x2 + 2x + 2 = (x + 1)4 + (x − 1)² puis en déduire que f est définie sur ,
b. Démontrer que f est dérivable sur et déterminer sa dérivée, c. Donner les variations de f ainsi que les limites aux bornes.
3. Soit h(x) = (x + 1)2 + 1
2 On note Cf et Ch les courbes représentatives de f et h .
a. Démontrer que pour tout x : f(x) − h(x) =
− 4x − 1 4
(x +1)4+(x −1)² +(x +1)2+1 2 b. Etudier la position relative de Cf et Ch.
Exercice n°2 :
Soit f, la fonction définie sur par : f(x)= sin(x)
(
cos(x)+1)
. 1. Justifier que l’on peut réduire l’intervalle d’étude à [ 0 ; π ].2. Montrer que f’(x) =
(
cos(x) + 1) (
2cos(x) − 1 puis dresser le tableau de variations de f sur [ 0 ; π ])
(on justifiera les signes trouvés dans le tableau).
3. On appelle T la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 0. Déterminer une équation de T.
4. Construire T et Cf sur l’intervalle [ – π ; 3π ] en justifiant la construction.
