DEVOIR SURVEILLE n°2

Terminale S2 Jeudi 26 septembre 2002

DEVOIR SURVEILLE n°2

Exercice n°1 :

Soit f la fonction définie sur ₊ par : f(x) = cos(x)+3 x – 2.

1. Les opérations classiques sur les limites permettent-elles de calculer la limite en +  ? 2. a. Donner un encadrement de f(x) pour x positif

b. En déduire la limite de f(x) en + 

Exercice n°2 :

Soit f la fonction définie sur ] –  ; 1 [ ∪ ] 1 ; +  [ par : f(x)=2x3+2x2−10x +11 2

(

)

On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,

 i ,

 j ).

1. Montrer que f peut s’écrire sous la forme : f(x) = x + 3 + 5 2(x −1)2 2. a. Calculer la limite de f aux bornes de son intervalle de définition

b. Déterminer les asymptotes à la courbe

c. Etudier la position relative de la courbe C et de la droite ∆ d’équation : y = x + 3 3. On admet que le tableau de variations de f est le suivant :

x

f(x)

- 1 2.7

6,5

+

a. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l’intervalle ] – 4 ; – 1 [.

b. Donner une valeur approchées de α à 10^-2 près par défaut.

c. Combien l’équation f(x) = 10 admet-elle de solutions dans l’intervalle ] 1 ; +  [ ? Justifier.

4. Quels sont les points d’intersection de C avec l’axe des ordonnées ? l’axe des abscisses ? 5. Tracer dans le repère (O,

 i ,



j ) les asymptotes, la courbe C, α et les points d’intersection avec les axes

Exercice n°3 :

Soit f la fonction définie par f(x) = a + 1 (x − b)2

où a et b sont des réels à déterminer.

Cf est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O,

 i ,

 j ) 1. Déterminer le domaine de définition de f

2. a. Etudier la limite de f en +  b. Etudier la limite de f en b

3. En déduire les réels a et b sachant que les droites d’équation x = 2 et y = 5 sont des asymptotes à la courbe Cf

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Correction du DS n°1

Exercice n°1 :

1. Non, car la limite en +  de la fonction cosinus n’existe pas.

2. a. –1  cos(x)1 ⇔ 2  cos(x) + 3 4

⇔ 2

xcos(x) + 3

x 4

x

⇔ 2

x – 2  f(x) 4 x – 2 b. lim

x → +

2

x – 2 = – 2 et lim

x → +

4

x – 2 = – 2 donc, d’après le théorème des gendarmes : lim

x → + f(x) = – 2 Exercice n°2 :

1. x +3 + 5 2(x −1)2

= 2(x + 3)(x − 1)²+5 2(x −1)^{2 =}

(2x + 6)(x² − 2x +1)+5 2(x −1)^{2 =}

2x³+2x²−10x +11 2(x −1)^{2 =} f(x) 2. a. lim

x → − x + 3 = –  lim

x → − x − 1 = − d'où lim

x → − 2(x – 1)² = +  donc, lim

x → –

5

2(x – 1)² = 0 conclusion : lim

x → − f(x) = –  lim

x → + x + 3 = +  lim

x → + x − 1 = + d'où lim

x → + 2(x – 1)² = +  donc, lim

x → +

2(x – 1)²5 = 0 conclusion : lim

x → + f(x)= +  lim

x → 1⁻ x + 3 = 4 lim

x → 1⁻ x − 1 = 0⁻ d'où lim

x → 1⁻ 2(x – 1)² = 0⁺ donc, lim

x → 1⁻

2(x – 1)²5 = +  conclusion : lim

x → 1⁻ f(x) = +  lim

x → 1⁺ x + 3 = 4 lim

x → 1⁺ x − 1 = 0⁺ d'où lim

x → 1⁺2(x – 1)² =0⁺ donc, lim

x → 1⁺

2(x – 1)²5 =+  conclusion : lim

x → 1⁺ f(x) = + 

b. La droite d’équation x = 1 est une asymptote verticale à la courbe f(x) − ( x+ 3) = 5

2(x – 1)² or, lim

x → −

2(x – 1)²5 = 0 et lim

x → +

2(x – 1)²5 = 0

donc, la droite d’équation y = x + 3 est une asymptote oblique à la courbe en –  et en +  c. f(x) − ( x+ 3) = 5

2(x – 1)² donc, f(x) − ( x+ 3) >0 soit f(x) > x+ 3 conclusion : C est toujours au dessus de ∆

3. a. f est strictement croissante sur ] -  ; 1 [, donc sur ] – 4 ; – 1 [

elle réalise donc une bijection de ] – 4 ; – 1 [ sur ] f(−4) ; f(−1) [ = ] – 9 ; 2,625 [

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or, 0 appartient à ] – 9 ; 2,625 [ donc, l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ] – 4 ; – 1 [ b. f(−3,15) = − 0,048

f(−3,14) = 0,006 0 ∈ ] − 0,048 ; 0,006 [ donc, α ∈ ] −3,15 ; −3,14 [ conclusion : α = − 3,15

c. ■ f est strictement décroissante sur ] 1 ; 2,7 [

elle réalise donc une bijection de ] 1 ; 2,7 [, sur ] 6,5 ; +  [

or, 10 appartient à ] 6,5 ; + [ donc, l’équation f(x) = 10 admet une unique solution sur ] 1 ; 2,7 [

■ f est strictement croissante sur ] 2,7 ; +  [

elle réalise donc une bijection de ] 2,7 ; +  [ , sur ] 6,5 ; +  [

10 appartient à ] 6,5 ; + [ donc, l’équation f(x) = 10 admet une unique solution sur] 2,7 ; +  [ conclusion : l’équation f(x) = 10 admet 2 solutions sur ] 1 ; +  [

4. ■ Le point d’intersection A avec l’axe des ordonnées est le point dont l’abscisse est nulle :

f(0) = 11 2 donc, A





 0 ; 11

2

■ Le point d’intersection B avec l’axe des abscisses est le point dont l’ordonnée est nulle :

il faudrait résoudre f(x) = 0, ce qui n’est pas possible par le calcul.

Par contre d’après le 3.a, f(x) = 0 admet α comme solution dans ] -  ; 1 [, et

f(x) > 6,5 pour le reste de la courbe.

Donc, B(α ; 0)

Exercice n°3 :

1. D_f = ] -  ; b [ ∪ ] b ; +  [ 2. a. lim

x → + x − b = + donc lim

x → + (x − b)² = +  et lim

x → +

1

(x − b)² = 0 conclusion : lim

x → + f(x) = a b. lim

x → b x − b = 0 donclim

x → b (x − b)² = 0⁺ et lim

x → b

(x − b)²1 = +  conclusion : lim

x → b f(x)= + 

3. La droite d’équation x =2 est une asymptote donc : lim

x → 2 f(x)= +/−. D’après 2.b, b =2 La droite d’équation y = 5 est une asymptote donc : lim

x →  f(x) = 5. D’après 2.a, a = 5

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2