PT 2018-2019 19-10-2018 DEVOIR SURVEILLE n° 2

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Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

L’usage de calculatrice est interdit pour les 1

et 2

problèmes, et autorisé pour les 3

et 4

problèmes.

Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.

Vous devez traiter les 4 problèmes sur 4 copies différentes.

Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie

« blanche ».

Barème Ramassé à Premier problème 13 % 14h00 Deuxième problème 21 % 15h00 Troisième problème 31 % 16h00 Quatrième problème 35 % 17h00

Vous avez tout intérêt à faire dans l’ordre : le 1^er problème, puis le 2^ème problème, puis le 3^ème problème, et enfin le 4^ème problème !

Vous êtes libres de commencer le problème suivant avant que je ramasse les copies (vous pouvez par exemple commencer le 2^ème problème avant 14h00).

PREMIER PROBLEME : Modèle d’accéléromètre angulaire – Conséquences d’une stimulation thermique (d’après banque PT 2002)

Ce problème représente 13 % du barème.

L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.

L’homme possède deux ensembles d’accéléromètres angulaires et linéaires, situés dans l’oreille interne, qui participent au maintien de l’équilibre. Ils sont implantés dans un os crânien appelé rocher. Les capteurs d’accélérations angulaires sont appelés canaux semi-circulaires. Il y en a trois, dans trois plans quasi orthogonaux, permettant de détecter les mouvements de rotation dans toutes les directions. On s’intéresse ici au canal semi-circulaire externe situé dans un plan quasi horizontal quand l’homme se tient debout, tête droite. On peut amener le canal semi-circulaire externe dans un plan quasi vertical en inclinant la tête en avant ou en arrière.

Un canal semi-circulaire externe est représenté ci-après ; c’est une structure en anneau remplie d’un liquide appelé endolymphe. Un diaphragme, appelé cupule, obture complètement l’anneau.

Dans tout le problème, on assimile le capteur à un tube en forme de tore noté {T}, de section droite circulaire. Le rayon moyen du tore est R ; le rayon de la section circulaire du tube est a.

L’endolymphe sera considéré comme un liquide incompressible, noté {L}, de masse volumique , remplissant {T}. On considère que la cupule, notée {C}, a un volume et une masse négligeables.

Données : a = 0,15 mm R = 2 mm  = 1020 kg/m³ On remarque que a est suffisamment faible pour que :

 on puisse assimiler un élément de {L} à un point matériel situé à la distance R du centre ;

 on puisse considérer que la pression est uniforme en tout point d’une section droite de {T}.

Une stimulation thermique provoque une différence de température entre deux points diamétralement opposés du canal semi-circulaire.

L’effet d’une irrigation est maximal après quelques dizaines de secondes et on estime alors la différence de température T(tM) à 0,7 °C.

Cet écart de température engendre un écart de masse volumique  du liquide {L} ce qui entraîne, de part et d’autre de la cupule, une différence de pression que l’on cherche à présent à évaluer avec les hypothèses suivantes :

 {T} est immobile dans le plan vertical ; l’axe Oz est orienté par la verticale ascendante.

 on repère un point du canal par l’angle  et {C} par l’angle C.

Soient A et B deux points situés de part et d’autre de la cupule, on appelle pression transcupulaire la différence de pression : P = P(B) – P(A).

1) Rappeler la relation donnant la petite différence de pression dP = P(M’) – P(M) en fonction de la petite différence d’altitude dz = z(M’) – z(M) de deux points d’un fluide, de masse volumique , immobile dans le champ de pesanteur uniforme g

.

2) Dans cette question la cupule est située sur l’axe Oz et l’écart de température conduit aux masses volumiques suivantes :

() = 2 pour 0 <  < 

() = 1 pour - <  < 0

On note P0 la pression transcupulaire dans cette hypothèse.

Donner P0 en fonction de R, de  = 1 - 2

et de g, accélération de la pesanteur.

3) Influence de la position de la stimulation.

La cupule est toujours sur l’axe Oz, mais l’effet de la stimulation thermique ne se fait ressentir que sur une portion de {L}.

On donne :

() = 2 pour S - L <  < S + L

() = 1 sinon.

Déterminer P en fonction de la valeur P0

obtenue à la question 2 et des angles. On mettra le résultat sous la forme d’un produit de plusieurs termes simples, c’est-à-dire ne comportant aucune somme.

4) Influence de la position de la cupule.

On tient compte maintenant de la position de la cupule repérée par l’angle C. On a toujours :

() = 2 pour S - L <  < S + L

() = 1 sinon.

Déterminer P en fonction de la valeur P0

obtenue à la question 2 et des angles. On mettra le résultat sous la forme d’un produit de plusieurs termes simples, là encore.

Commenter.

5) Influence de la position du canal.

On reprend, pour les masses volumiques, les hypothèses de la question 2, mais le plan de {T} est incliné d’un angle  par rapport au plan horizontal, la cupule étant située dans le plan zOx.

Déterminer P en fonction de P0 et des angles en factorisant jusqu’à obtenir un produit de plusieurs termes simples.

La stimulation thermique a-t-elle un effet si le canal est horizontal ?

6) On fait l’hypothèse que la masse volumique de {L} ne dépend que de la température. Le coefficient de dilatation L =

T P

V V

1 







 de {L} est constant et égal à L = 4,4.10^-4 K^-1. 6-1) Trouver une relation entre (yE) = 1 , (yl) = 2 et T = T(yE) – T(yl).

6-2) On pose  = 1 - 2 avec 2 = 1020 kg.m^-3. On considère ρ2

Δρ très petit devant 1. Exprimer ΔT en fonction de L et d’un développement limité au 1^er ordre en

ρ2

Δρ.

6-3) Calculer, dans le cadre du modèle de la question 5, la valeur absolue de la pression transcupulaire qui résulte d’une stimulation thermique pour α = 90°, g = 9,8 m.s^-2, ΔT = 0,7 K.

7) On admet que ΔP = 2 π ρ R² θ. Déterminer l’accélération angulaire.

Peut-on comparer cette accélération aux accélérations physiologiques subies par la tête ?

8) Selon vous, quel est l’intérêt clinique des stimulations thermiques par rapport aux stimulations physiologiques ?

DEUXIEME PROBLEME : Un dispositif original de climatisation (d’après banque PT 2015)

Ce problème représente 21 % du barème. L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème. Les calculs numériques seront faits avec un ou deux chiffres significatifs à l’appréciation des candidats.

Une possibilité de climatisation porte le nom de « déphaseur ». Elle est particulièrement efficace au printemps et en automne, lorsque, d’une part, la température en fin d’après-midi peut monter à des valeurs inconfortables, et que, d’autre part, la température à l’aube peut descendre à des valeurs très fraîches.

Le dispositif proposé a une enveloppe latérale adiabatique, contenant de l’eau immobile, de longueur 3 m et traversé par de l’air sous 1 bar. Le volume d’eau est de 220 L. Le volume d’air dans 1 m de canal est de 50 L.

Au début le dispositif est uniformément à 15 °C. A l’aide d’un ventilateur on y fait passer de l’air atmosphérique à 30 °C avec un débit de 30 L.s^-1 à l’entrée. L’air ressort à 15 °C pendant que, couche par couche, l’eau se réchauffe. On peut faire fonctionner le dispositif ainsi, par exemple, par forte chaleur, en cours d’après-midi, pour écrêter le pic de température.

L’eau a une chaleur massique c = 4,18 kJ.K^-1.kg^-1 ; l’air a une masse volumique 1 kg.m^-3 ; l’air a une masse molaire M = 30 g.mol^-1 et la constante des gaz parfaits vaut R = 8,32 J.K^-1.mol^-1.

1) Calculer cp, la capacité calorifique massique de l’air à pression constante en justifiant les hypothèses faites.

Pour la suite, on prendra cp = 1 kJ.kg^-1.K^-1.

2) Déterminer la différence relative de masse volumique de l’air entre les températures extrêmes.

Commenter le résultat.

3) Quelle est la puissance thermique perdue par l’air ?

4) Estimer la durée maximale (en heures) pour laquelle le dispositif peut fonctionner selon le régime décrit.

5) Calculer la puissance du ventilateur. Définir et calculer une efficacité pour ce dispositif.

6) Retrouver l’efficacité d’un réfrigérateur réversible fonctionnant entre deux sources. Estimer cette valeur pour un fonctionnement entre 15 °C et 30 °C. Quelle serait, à votre avis, l’efficacité d’une machine réelle du commerce ? Pourquoi ?

7) Le fonctionnement du déphaseur est-il cyclique ? Comment peut-on ramener le dispositif à l’état initial à 15 °C ? Quelle en est la conséquence sur l’efficacité ?

8) Justifier le nom de déphaseur.

TROISIEME PROBLEME : Machine à vapeur

Ce problème représente 31 % du barème.

L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.

Dans une machine à vapeur, 1,00 mol d’eau, contenue dans un cylindre fermé par un piston mobile, décrit le cycle 1, 2, 3, 4, 1 représenté dans le diagramme de Clapeyron ci-contre (les échelles ne sont pas respectées).

Les évolutions 1-2 et 3-4 sont isentropiques ; les évolutions 2-3 et 4-1 sont isobares.

Au cours de l’évolution 2-3, l’eau reçoit (algébriquement) la chaleur QF d’une source froide dont la température est égale à TF = 373 K.

Au cours de l’évolution 4-1, l’eau reçoit (algébriquement) la chaleur QC d’une source chaude dont la température TC est égale à T1. Données :

Etat 1 2 3 4

P en bar 20,0 1,00 1,00 20,0

T en K 373 373

Pression de vapeur saturante PS (485 K) = 20,0 bar.

Chaleur latente molaire de vaporisation à 373 K : Lvm = 46,8 kJ.mol^-1. R = 8,314 J.K^-1.mol^-1.

1) Indiquer sous quelle forme (liquide, vapeur sèche, mélange liquide-vapeur) se trouve l’eau dans chacun des états 1, 2, 3, 4.

2) Donner l’allure du cycle en coordonnées entropiques (T, s), puis en coordonnées enthalpiques (h, s) (diagramme de Mollier), et enfin en coordonnées des frigoristes (log P, h). On justifiera l’allure de chaque transformation.

3) Indiquer, en justifiant la réponse, le signe du travail W reçu par l’eau au cours d’un cycle.

4) Etablir les relations :

W + QC + QF = 0 (1) T 0

Q T Q

F F C

C   (2)

5) Définir le rendement thermodynamique r de la machine. Déduire des relations (1) et (2) que r est inférieur à un rendement maximum rC que l’on exprimera en fonction de TC et TF. Nommer rC.

6) L’évolution 1-2 est adiabatique et réversible. Au cours de cette évolution, l’eau est assimilée à un gaz parfait de coefficient isentropique  = 1,20.

Calculer le volume V2 de l’eau au point 2.

Calculer la température T1 et le volume V1 de l’eau au point 1.

Calculer la capacité thermique molaire à volume constant de la vapeur d’eau Cvm. Calculer le travail W12 reçu par l’eau au cours de l’évolution 1-2.

7) Calculer le travail W23 et la chaleur Q23 reçus par l’eau au cours de l’évolution 2-3. On négligera le volume molaire du liquide.

8) Justifier que la variation de volume entre les points 3 et 4 est négligeable.

Calculer le travail W41 reçu par l’eau au cours de l’évolution 4-1. On négligera le volume molaire du liquide.

9) Calculer le travail W reçu par l’eau au cours du cycle, puis la chaleur Q41 reçue pour l’évolution 4-1.

Calculer les rendements r et rC définis à la question 5).

10) Analyser les causes d’irréversibilités.

11) En réalité, la température de la source chaude est supérieure à T1 et celle de la source froide est inférieure à 373 K. Pourquoi ?

Comparer dans ce cas le rendement de la machine à la valeur de r calculée ci-dessus.

QUATRIEME PROBLEME : Etude du cycle Beau de Rochas à admission partielle (d’après banque PT 2000)

Ce problème représente 35 % du barème.

L’usage de calculatrice est autorisé pour ce problème.

Dans un moteur thermique, un piston se déplace dans un cylindre entre deux positions extrêmes : le point mort haut (noté PMH) et le point mort bas (noté PMB). Le volume balayé s’appelle la cylindrée (notée Cy). Le volume d’une même masse de fluide (pendant le temps de fermeture des soupapes) varie donc entre une valeur maximale V1 et une valeur minimale V2 (on a donc V1 - V2 = Cy). La régulation de la puissance d’un moteur à allumage commandé est effectuée en diminuant la pression et la quantité de mélange introduit dans le cylindre au moyen d’une vanne papillon. Le moteur est supposé constitué d’un seul cylindre. Le fonctionnement d’un moteur thermique quatre temps à allumage commandé, à admission partielle, peut se schématiser, en diagramme de Clapeyron, suivant le cycle donné en annexe (voir en fin de sujet).

0-1 : soupape d’admission ouverte : admission, à pression constante, du mélange dans le cylindre (soupape d’échappement fermée).

1-2 : fermeture de cette soupape : compression supposée adiabatique.

2-3 : allumage et combustion stœchiométrique instantanée : apport de chaleur isochore.

3-4 : détente supposée adiabatique.

4-5 : ouverture de la soupape d’échappement : échappement (les produits de combustion se détendent dans la conduite d’échappement).

5-6 : balayage, à pression constante, du cylindre (le gaz d’échappement est repoussé vers l’extérieur lors de la remontée du piston).

6-0 : fermeture de la soupape d’échappement : évolution des gaz résiduels supposée isochore (hypothèse simplificatrice).

Hypothèses :

- Le fluide gazeux (mélange air - carburant, puis produits de combustion) en évolution dans le moteur est assimilé à de l’air, supposé se comporter comme un gaz parfait défini par sa capacité thermique massique à pression constante, notée cp et par sa capacité thermique massique à volume constant, notée cv.

- Toutes les évolutions sont supposées réversibles.

- On raisonnera pour une masse unitaire de gaz située dans le cylindre (entre la fermeture et l’ouverture des soupapes : évolution 1-2-3-4).

- Les énergies cinétiques et potentielles seront négligées.

Définitions :

- Pouvoir comburivore du carburant, noté Pco : c’est le rapport entre la masse d’air et celle de carburant lorsque la combustion est stœchiométrique.

- Pouvoir calorifique inférieur du carburant, noté Pci : c’est la quantité de chaleur libérée par la combustion stœchiométrique (à volume constant) d’un kg de carburant.

Notations : on notera

- Pl et T1 : pression et température du gaz aspiré dans le cylindre.

- P5 : pression d’échappement.

-  = cp / cv et r = cp - cv

-  = V1 / V2, appelé taux volumétrique de compression ;  = P3 / P2 et b = P5 / P1.

Etude des évolutions 1-2, 2-3 et 3-4 (soupapes fermées).

1) Exprimer littéralement les températures T2, T3, T4 et les pressions P2, P3, P4 en fonction de T1, P1, ,  et .

2) Donner l’expression littérale des travaux massiques (w1-2, w2-3 et w3-4) et des quantités de chaleur massiques (q1-2, q2-3 et q3-4) échangés lors de ces trois évolutions. Ces quantités seront exprimées en fonction de T1, cv, ,  et .

Etude de la combustion (supposée stœchiométrique).

3a) Exprimer littéralement la quantité de chaleur massique q2-3 en fonction de Pci et Pco. En déduire l’expression littérale de T3 et  en fonction de cv, T2, Pci et Pco.

3b) Application numérique : T1 = 293 K, b = 2,00, P5 = 1,00 bar (donc P1 = 0,500 bar),  = 8,00,  = 1,40, cv = 713 J.kg^-1.K^-1, Pco =15,0 kg d’air par kg de carburant et Pci = 41500 kJ/kg de carburant.

Calculer T2, P2, , T3, P3, T4 et P4.

Etude des évolutions de transvasement (0-1 et 5-6).

4a) Exprimer littéralement les travaux massiques w01, w56 en fonction de T1, cv, ,  et b.

4b) Préciser la valeur numérique des travaux échangés lors des évolutions 4-5 et 6-0.

Etude globale du cycle.

5a) Exprimer littéralement le travail massique utile, noté wu fourni par le cycle. Cette quantité sera exprimée en fonction de T1, cv, , ,  et b.

5b) En déduire l’expression littérale du rendement de ce cycle, noté th, en fonction de , ,  et b.

5c) Application numérique : b = 2,00,  = 8,00,  = 1,40 et  calculé lors de la question 3b.

Etude du cas particulier du cycle atmosphérique Beau de Rochas.

Ce cycle est obtenu lorsque la pression d’admission est égale à la pression d’échappement : c’est-à-dire pour b = 1,00.

6a) Donner l’expression littérale du rendement de ce cycle, noté th,0 , en fonction de  et .

6b) Application numérique :  = 8,00 et  = 1,40.

Comparaison du cycle Beau de Rochas atmosphérique et celui à admission partielle.

En réalité, nous étudions un moteur dont la cylindrée Cy est égale à 2,00 litres (on rappelle que V1 - V2 = Cy). On ne raisonne donc plus pour une masse unitaire de gaz. On supposera (hypothèse simplificatrice) que T0 = T1.

7a) Pour chacun de ces cycles, donner l’expression littérale de la masse de gaz aspirée dans le cylindre en fonction de P5, T1, r, Cy et b. On notera M la masse aspirée lors du cycle à admission réduite et M0 celle aspirée lors du cycle atmosphérique.

7b) Application numérique : calculer M pour chaque cycle avec P5 = 1,00 bar, T1 = 293 K, r = 285,2 J.kg^-1.K^-1, Cy = 2,00 litres et b = 2,00.

7c) On note wu le travail utile massique pour le cycle à admission partielle et wu,0 celui correspondant au cycle atmosphérique. Donner l’expression littérale du coefficient k ainsi défini : k = (M.wu) / (M0.wu,0).

On exprimera k en fonction de th, th,0 et b.

7d) Application numérique : Calculer k avec b = 2,00, th et th,0 calculés précédemment.

7e) Donner une signification au coefficient k.

ANNEXE