DEVOIR SURVEILLE N 3

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DEVOIR SURVEILLE N 3

DUREE : 2H

Exercice 1

Soit ABC un triangle et D le point tel que : D  C

1) Montrer que D est le barycentre des points A ; B et C munis des coefficients que l'on précisera.

2) Soit ^{H bar}^

    

^^{,3 ; C,1}



^{et soit}^{K bar}^

    

^^{,2 ; D,1}



Construire les points H et K.

3( Montrer que K est le barycentre des points ;



^{B; 1}^



^;

 

^{C;1 .}

4 En déduire que les points H ; B et K sont alignés. (

Exercice 2

On considère les fonctions f et g définies par : ^{f x}

 

^₄¹



^x²^^2x



^et^g(x)^ ^x

Soient

 

^C ^et

 

C' les courbes représentatives respectivement de f et g dans un repère orthonormé



O; i ; j .



1) Dresser les tableaux de variations de f et g.

2) Construire

 

^C ^et

 

C' dans le même repère



O; i ; j .



3) Résoudre graphiquement l’inéquation : g(x) 1 f(x)  .

Exercice 3

Soit f l’application définie deIRvers IR^ par :

f(x)  x

²

  x 2

1) a/ Vérifier que :

 ^{ } ^{x I R} 

^;

f( 1 x) f(x)   

b/ f est-elle injective ? Justifier votre réponse.

2) a/ Résoudre dans IR l’équation

f(x) 1 

.

b/ f est-elle surjective ? Justifier votre réponse.

Exercice 4

Soit

(u )

_n la suite définie par :

 

0 n 1 n

u 1 ; u n 2 u ; n I N 2 n 1



   



On pose :

v

_n

u

ⁿ

 n 1



,pour tout

n I N 

et _n ^{n 1} _{k 1}

k 0

S k

2



 

 

^{pour tout}

^{n I N} ^

^

1)a)Montrer que la suite

(v )

_{n n IN}_ est géométrique

b) Déterminer l’expression de

v

_n puis de

u

_nen fonction de n.

2) Montrer que :  ^{ } ^{n I N}

^



^;

^S

ⁿ

^{ } ^{1 u}

ⁿ^.

MATHEMATIQUES

NIVEAU : 1^ère SC.M

DEVOIR SURVEILLE N 3