Devoir maison 6 Dans tout le problème, la permittivité électrique de l’air est égale à celle du vide, notée

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26/01/2016 TSI2, Lycée Jules Ferry DM6

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Devoir maison 6

Dans tout le problème, la permittivité électrique de l’air est égale à celle du vide, notée ₀ et égale à

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8,85.10^ F m. ^ . De même, la perméabilité magnétique de I'air est égale à celle du vide, notée ₀ et égale à 4 .10 ^⁷H m. ^¹.

1) Câble coaxial

Les câbles coaxiaux sont utilisés comme moyen de transmission d’informations. Ils sont conçus pour transmettre des signaux sans trop d’atténuation et pour assurer une protection contre les perturbations extérieures. On les utilise notamment pour les câbles d’antenne de télévision, pour transmettre des signaux audio-numériques, ainsi que pour des interconnexions dans les réseaux informatiques.

1) Enoncer le théorème d’Ampère relatif à la circulation d’un champ magnétostatique B le long d’un contour fermé C constitué de points M et s’appuyant sur une surface S. On notera ^{j P}

 

la densité de courant en un point P de la surface S.

On considère un câble coaxial cylindrique de longueur supposée infinie, constitué d’un conducteur central plein de rayon R1 parcouru par un courant uniforme d’intensité I et d’un conducteur périphérique évidé, de rayon intérieur R2, de rayon extérieur R3 (R1 < R2 < R3) et parcouru par un courant uniforme également d’intensité I mais circulant en sens inverse par rapport au courant du conducteur central.

On notera ez le vecteur direction unitaire de l’axe commun des deux conducteurs. Soit un point M situé à une distance r de l’axe du câble (figure 4).

Figure 4

2) Montrer que le champ magnétique B créé au point M est orthoradial.

3) Montrer qu’il peut se mettre sous la forme BB r e

 

_ où est une fonction de r uniquement.

4) Préciser alors la forme des lignes de champ.

5) Montrer que le champ magnétique B créé au point M est nul si r > R3.

6) Expliquer alors l’intérêt du câble coaxial par rapport à un fil simple parcouru par un courant de même intensité.

7) Calculer les densités de courant j1 et j2 respectivement du conducteur central et du conducteur périphérique en fonction des courants I1 et I2 et des rayons R1, R2 et R3.

8) En appliquant le théorème d’Ampère à un contour C que l’on précisera, donner l’expression de la composante du champ magnétique créé au point M en fonction de ₀, I, r, R1, R2 et R3, dans chacun des trois cas suivants :

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a) r < R1

b) R1 < r < R2

c) R2 < r < R3.

9) Vérifier la continuité du champ B pour r = R1 puis pour r = R2. 10) Dessiner le graphe de la fonction ^{B r}

 

.

11) On note :

2

2 0 m

w B

  , la densité volumique d’énergie magnétique. Par intégration sur le volume inter-conducteur, exprimer l’énergie magnétique Wm du câble coaxial en fonction de I, ₀, R1, R2 et h, la longueur du câble coaxial.

12) Exprimer l’inductance L du câble de longueur h en fonction de ₀, R1, R2 et h.

13) Donner la valeur numérique de L pour R1 = 10 cm, R2 = 20 cm et h = 50 cm.