Mathématiques
Devoir maison n°6
Révisions pour l’épreuve commune 1èresS2 et S4
À rendre le 5 janvier 2016
Exercice 1 Carré et bicarré (2014) Le plan est muni d’un repère
O ;→ı ,→ . On donne les points A (−1 ; 1) et B (1 ; 10).
On considère la courbeC d’équationy = x2 et sur celle-ci, un point mobile M x;x2
avec x∈R− {−1}. On rappelle la formule donnant la distance entre 2 points :
AB = p
(xB−xA)2+ (yB−yA)2
1. a) Résoudre l’équation 9x2+ 2x−7 = 0.
b) Résoudre l’équation bicarrée : x4 − 10x2 + 9 = 0.
2. a) Démontrer que AB2= 85.
b) Déterminer AM2 et BM2 en fonction de x.
c) Démontrer que ABM est un triangle rectangle en A si et seulement si 9x2 + 2x − 7 = 0.
d) À l’aide des résultats de la question 1), déterminer alors les coordonnées du point M tel que ABM soit un triangle rectangle en A.
3. a) Démontrer que ABM est un triangle rectangle en M si et seulement si x4 − 10x2 + 9 = 0.
b) À l’aide des résultats de la question 1), démontrer qu’il existe trois points M tels que ABM soit rectangle en M.
On déterminera les coordonnées de cha- cun de ces points, qui seront notés M1, M2 et M3.
Exercice 2 Géométrie (2012) Soit ABC un triangle.
On considère les points I et J définis par les égalités vectorielles suivantes :
−→
AI= 1 3
−→
AB et
−→
AJ= 2
−→
AC Les droites (BC) et (IJ) sont sécantes en un point K.
Le but de l’exercice est de déterminer la po- sition exacte du point K sur la droite (BC), autrement dit de déterminer le réel k tel que
−→
BK = k
−→
BC.
1. Faire une figure et placer soigneusement les points I, J et K.
2. On se place dans le repère
A ;AB−→,AC−→
. Quelles sont les coordonnées des points A, B, C dans ce repère ?
3. Calculer les coordonnées des points I et J.
4. Démontrer qu’une équation de la droite (IJ) est 6x+y−2 = 0.
5. Déterminer l’équation réduite de la droite (BC).
6. En déduire que le point K a pour coordonnées 1
5; 4 5
.
7. Finalement, déterminer la valeur du réelk.
Exercice 3 Dérivation (2013)
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x y
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5 6
×A B×
Cf
On considère la fonction f définie par f(x) = 2x+ 2
x−2 et Cf sa courbe représenta- tive dans un repère
O ;→ı ,→ .
1. Déterminer l’ensemble de définition def. 2. Soit A le point d’intersection de Cf avec l’axe
des abscisses. On a tracé la tangente en A à Cf . Soit B le point d’intersection de Cf avec l’axe des ordonnées.
a) Déterminer graphiquement f0(−1) en vous justifiant rapidement.
b) Déterminer f0(x) puis l’équation de la tangente à Cf en B.
Bonus !
Répondez à l’énigme de la quinzaine sur :
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