Devoir maison n ◦ 6

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 6

À rendre le lundi 12 novembre

Durée : 2 heures pour le premier jet Toute calculatrice interdite

Notations.

Dans ce sujet,nest un entier naturel non nul et on note :

• Mn(R)laR-algèbre des matrices carrées réelles de taillen.

• M_n,1(R)leR-espace vectoriel des matrices ànlignes et une colonne.

• GL_n(R)le groupe des matrices inversibles deM_n(R).

• I_n la matrice unité deM_n(R).

• Idl’application identité deRⁿ.

• Pour une matriceA∈Mn(R),^tA est sa matrice transposée.

Si x1, . . . , xn sont des réels, on note diag (x1, . . . , xn) la matrice diagonale de Mn(R) qui admet pour coefficients diagonaux les réelsx₁, . . . , x_n dans cet ordre.

Si pest un entier naturel non nul, on noterak.k_∞ la norme infinie surR^p : six= (x1, . . . , xp), alorskxk∞= max

1≤i≤p|xi|.

Si a∈R^p et r >0, on noteB∞(a, r)la boule ouverte de centreade rayonrpour la normek.k∞. Objectifs.

SoitAune matrice deMn(R), on dit qu’une matriceRdeMn(R)est une racine carrée deAlorsqueR²=A.

On noteRac(A)l’ensemble des racine carrées deA, c’est-à-dire

Rac(A) = {R∈M_n(R)/ R²=A}.

Le problème propose de déterminer les racines carrées de A dans différents exemples, (on pourra constater qu’une matrice peut parfois admettre une infinité de racines) et étudier quelques propriétés topologiques deRac(A).

Exemple 1 : détermination de Rac(A) lorsqueA possède n valeurs propres distinctes.

On suppose que la matriceA∈Mn(R)admetnvaleurs propres réellesλ1< λ2<· · ·< λn.

1. Justifier l’existence d’une matriceP ∈Mn(R)inversible telle queA=P DP⁻¹où on noteD= diag (λ1, λ2, . . . , λn), puis montrer que :R est une racine carrée deAsi et seulement si la matriceS=P⁻¹RP est une racine carrée deD.

2. Racines carrées deD.

SoitS une racine carrée deD.

a. Montrer queDS=SD.

b. En déduire que la matriceS est diagonale.

c. On note alorsS= diag (s1, . . . , sn). Que vauts²_i lorsquei∈ {1, . . . , n}?

d. Que peut-on dire deRac(A)siAadmet une valeur propre strictement négative ?

1

e. Si on suppose toutes les valeurs propres deApositives ou nulles, déterminer les racines carrées de la matrice D. On pourra poserε_i∈ {−1,+1}pour i∈ {1, . . . , n}.

3. Écrire toutes les racines carrées deAà l’aide de la matriceP. Combien de racines carréesA admet-elle ? (On discutera selon le signe des valeurs propres deA.)

4. Application.

Écrire toutes les racines carrées deA=





11 −5 5

−5 3 −3

5 −3 3



à l’aide de la matriceP que l’on déterminera.

Exemple 2 : détermination de Rac(A) lorsqueA est la matrice nulle deMn(R).

Dans cet exemple, on cherche à déterminer les racines carrées de la matrice nulle.

SoitR∈Mn(R), une matrice carrée de la matrice nulle.

5. Soitf l’endomorphisme deRⁿ dontR est la matrice dans la base canonique deRⁿ. On note rle rang def. a. ComparerIm (f)etKer (f)puis montrer quer≤ ⁿ₂.

b. On supposef non nul, doncr≥1. Soit(e₁, . . . , e_r)une base deIm (f)que l’on complète avec(e_r+1, . . . , e_n−r) pour former une base deKer (f). Pouri∈ {1, . . . , r}, on noteui le vecteur tel quef(ui) =ei.

Montrer que la famille B= (e1, . . . , e_n−r, u1, . . . , ur)est une base deRⁿ puis écrire la matrice def dans la base B. On noteraM_r cette matrice.

6. a. Déterminer les racines carrées dansM_n(R)de la matrice nulle.

b. Application : déterminer dansM4(R), les racines carrées de la matrice nulle.

Exemple 3 : détermination de Rac(A) lorsqueA=In. 7. SoitRune racine carrée de l’unitéI_n.

a. Vérifier queRest une matrice inversible.

b. Montrer queR est semblable à une matrice diagonale que l’on décrira.

8. DéterminerRac(I_n). On pourra poserε_i∈ {+1,−1}pour i∈ {1, . . . , n}.

Étude topologique de Rac(A).

SiAest une matrice deMn(R)qui a pour coefficients(ai,j)_1≤i,j≤n, on définit une norme en posantN(A) = max

1≤i,j≤n|ai,j|.

On munitMn(R)de cette normeN.

9. Fermeture deRac(A).

SoitAune matrice deM_n(R). Montrer queRac(A)est une partie fermée deM_n(R).

10. Étude du caractère borné deRac(In).

a. Un exemple instructif.

Pour tout entier naturel q, on pose Sq =

1 0 q −1

. Calculer S_q². Rac(I2) est-elle une partie bornée de M₂(R)?

b. Rac(In)est-elle une partie bornée deMn(R)pourn≥3? c. Application : pour cette question,n≥2.

Montrer qu’il n’existe pas de norme k · k surmultiplicative sur GL_n(R), c’est-à-dire vérifiant pour tous A et B dansGLn(R),kABk ≥ kAk · kBk.

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