Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir maison n˚6
Pour le vendredi 14 juin.
Exercice 1 (Sym´etrie orthogonale de R2) On rappelle que :
• pour tout (x1, y1)∈ R2, (x2, y2)∈ R2, le produit scalaire de (x1, y1) et (x2, y2) est d´efini par :
<(x1, y1),(x2, y2)>= x1x2+y1y2
• pour tout (x, y)∈R2, la norme de (x, y) est d´efinie par :
||(x, y)|| =p
x2 +y2.
Soit u0 un vecteur non nul fix´e de R2. Soit l’application s d´efinie par : s:R2 →R2 ; u7→u−2 < u, u0>
< u0, u0>u0.
1. Dans cette premi`ere question, on r´epondra aux questions pos´ees en utilisant les propri´et´es alg´ebriques du produit scalaire, sans introduire de composante de vecteur.
(a) Justifier que s est bien d´efinie.
(b) Montrer que s est un endomorphisme de R2. (c) Montrer que s est une sym´etrie deR2. 2. On pose u0 = (α0, β0).
(a) Calculer s(x, y) pour tout (x, y)∈R2.
(b) D´eterminer les ´el´ements caract´eristiques de s et les interpr´eter g´eom´etriquement.
(c) Identifier la sym´etrie s et en donner une interpr´etation g´eom´etrique.
Exercice 2 (Une expression ≪ utile≫ de l’image d’un projecteur)
Soit E un K-espace vectoriel, o`uK d´esigne R ouC. Soit pun projecteur de E. Montrer que : Im(p) = Ker(p−idE).
