Mathématique ECS 1 15 déc. 2017
Devoir maison 6.
Sous-espaces vectoriels.Dans chacun des cas suivants, montrer queF est un sous-espace vectoriel de l’espace vectorielE.
1 E =R3, F =
x y z
∈R3|2x−y=z
2 E =C(R), F ={u∈E| lim
x→+∞u(x) =u(0)}
3 E =R[X], F ={P ∈E|P(−1) =P(1)}
4 E =RN, F ={(un)n∈N∈E|limnun= 0}
5 E =C1(R), F =
u∈E|
Z 1 0
u(x)dx=u(0)
Familles libres, familles liées
6 On considère le R-espace vectorielR3 et les trois vecteurs
e1 =
2 1 1
, e2=
1 2 1
, e3=
1 1 2
La famille(e1,e2,e3) est-elle libre ? liée ?
7 On considère le C-espace vectorielC3 et les trois vecteurs
e1=
1 0
−1
, e2=
i
−i 1
, e3 =
0 1
−1 +i
La famille (e1,e2,e3) est-elle libre ? liée ?
8 On considère l’espace vectoriel des fonctions de classe C∞ de Rdans R. Soit f, g et h les trois fonctions définies surRpar
f(x) = e−x , g(x) =xe−x , h(x) =x2e−x La famille(f, g, h)est-elle libre ? liée ?
9 Dans R[X], on considère les polynômes
P1(X) =X2+ 1, P2(X) =X2+X+ 1, P3(X) = 1−X La famille(P1, P2, P3) est-elle libre ? liée ?
1
10 DansRn[X], on considère, pour 0≤k≤n, les polynômes
Pk(X) = (X−1)k La famille(Pk)k est-elle libre ? liée ?
Familles génératrices.
11 DansR2[X], on considère les polynômes
P1(X) =X2+ 1, P2(X) =X2+X+ 1, P3(X) = 1−X La famille(P1, P2, P3) est-elle génératrice deR2[X]?
12 On considère le C-espace vectorielC3 et les trois vecteurs
e1 =
1 0
−1
, e2 =
0
−i 1
, e3 =
0 1 1 +i
La famille (e1,e2,e3) est-elle génératrice deC3?
13 On considère le R-espace vectorielR3 et les trois vecteurs
e1=
1
−1
−1
, e2=
1 a 2
, e3 =
2 b 1
Quelle relation doivent vérifier les réels aetb pour que Vect(e1,e2) =Vect(e1,e3)? Somme de sous-espaces vectoriels
14 SoitE un espace vectoriel etA, B, C trois sous-espaces vectoriels deE tels que
A∩B =A∩C, A+B =A+C, B⊂C Montrer que B =C.
15 SoitH =n
(x, y, z)∈C3
x+ 2iy−z= 0o
ete le vecteur(1,1,1).
Montrer que H est un sous-espace vectoriel de C3 et que la droite vectorielle Ce est un supplémentaire deH.
16 SoitH = n
P ∈R[X]
P(0) =P0(0) = 0 o
etG=R1[X].
Montrer queH etGsont supplémentaires dansR[X].
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